z^(n/m)-z0=0

[richy]

Hi

(Nicht nur) Ich habe ein Problem bei der Loesung der Gleichung :
z^(n/m)-z0=0 also

z^(n/m)=z0
**********
n,m element N und Teilerfremd
z,z0 element C

Bei quanten.de hab ich schon um Hilfe gebeten, aber anscheinend wurde mein Thread dort uebersehen. Der Loesungsweg fuer m=1 ist mir bekannt.
Das sind die n-ten Wurzeln von z0, die auf einem Kreis mit Mittelpunkt (0,0) und dem Radius r=|z0| in der komplexen Ebene liegen.
Und den Kreis in n gleiche Segmente teilen.

Dazu kann man folgende Umformungen verwenden.
Als Beispiel habe ich zunaechst mal z0=i gewahlt.
Allgemein kann man arg(z0) und |z0| verwenden.

[M_Hammer_Kruse]

Hallo richy,

(-i)^(1/3)= .8660254038 - .5000000000*i ist zwar richtig, aber es ist nicht die einzige Lösung. Schließlich hat eine dritte Wurzel im komplexen drei Werte, die um 120° auseinanderliegen. Und einer der übrigen beiden ist der, um den es geht.

Mit dem Wissen, daß z^(n/m) mehrdeutig ist, löst sich Dein Problem in Wohlgefallen auf. Du mußt Dich bei der Probe nur jeweils für den "richtigen" Wert entscheiden. Wenn Du tiefer in die Thematik einsteigen willst, dann solltest Du Dich mit Funktionentheorie beschäftigen und speziell gleich mal nach "Riemannsches Blatt" googeln.

Gruß, mike

[Wolfi]

Und du möchtest die Gleichung nach z lösen?

[Wolfi]

Ich habe mir gerade folgenden Ansatz überlegt:
Man könnte z in ein Produkt aufspalten: z=r*e^(I*phi)
r wäre dann der Betrag von z und e^(I*phi) die komplexe Phase.
Dasselbe natürlich für z0=r0*e^(I*phi0)
Die Gleichung lautet dann: r^(m/n)*e^(I*phi*m/n)=r0*e^(I*phi0)
Für die Lösung müssen natürlich sowohl der Betrag, als auch die komplexe Phase gleich sein.
Betrag: r kann man aus der Gleichung leicht bestimmen: r=r0^(n/m) wobei der Ausdruck natürlich, wie M_Hammer_Kruse gesagt hat, mehrdeutig ist, und mehrere Lösungen besitzt. Die Lösung, die Element R ist, ist die, die wir suchen.
Phase: Phi zu bestimmen ist ebenfalls keine Zauberei mehr: phi=phi0*n/m .
Tja, wenn ich nicht irgendwo bei meinen Überlegungen etwas übersehen habe, ist das schon die Lösung.

LG, Wolfi

[M_Hammer_Kruse]

Hallo Wolfi,

da ist gar kein Aufspalten nötig.

Aus z^(n/m)=z0 folgt unmittelbar z=z0^(m/n). Und der Rest ist nur noch Rechnen mit komplexen Zahlen.

Also berechnet man erstmal den Betrag von z als |z|=|z0|^(m/n). Und dann das Argument einer Lösung: arg(z)=(m/n)*arg(z0).

Die weiteren Lösungen liegen jetzt auf dem Kreis um den Ursprung durch z, jeweils im Abstand 2*pi/n voneinander. Und fertig.

Ob eine davon überhaupt reell ist, hängt von den konkreten Werten von z0, m und n ab.

Gruß, mike

[richy]

Hi mike, hi wolfi
Recht herzlichen Dank fuer euer Bemuehen, eure Antworten.

Aber: Ich meine nicht dass damit alle meine Frage beantwortet sind.
Das "Riemannsches Blatt" Ja, damit wohl eher.
Ich weiss, das mein Problem auf so etwas hinauslaueft.
Kann damit aber ehrlich gesagt bisher wenig anfangen.
Ist es sehr schwierig das "Riemannsche Blatt" zu verstehen ?
Wie, oder ueberhaupt kann man daraus Regeln ableiten um meine
Problematik zu interpretieren ?
Letzendlich zu loesen. Daran bin ich interessiert.
Wenn dies nicht gelingen kann.
Wenigstens die Einsicht warum dies nicht gelingen kann.
Welche Spezialfaelle kann man unterscheiden ?
Eine Arbeitsanweisung, Existiert eine solche ?
In welchen Faellen ergibt ein Algo Loesungen der die Probe erfuellt ?
Im Prinzip sind die Loesungen mir relativ wurscht.
Naja nicht wirklich.

Ich moechte wissen welches Gesetz dahintersteckt !
z_k^(m/n) kann ich natuerlich auch umformen.
Wann erfuellt dies aber die Gleichung z^(n/m)-z_k=0
Ich kann doch nicht einfach behaupten, dass sich hier geisterhafte Probleme mit der Definition ergeben. Wenn dem so waere,dann waere dies die allergroesste Enttaeuschung der Mathematik fuer mich.

Die genante Aufgabenstellung scheint mir hoffnugsvoll fuer noch
manche angenehme mathematische Taetigkeit.
Aber wie gesagt.
Ich moechte nicht wie Jl so dumm sterben wie ich geboren wurde.
Darum wuerde ich mich gerne um einen Loesungsalgo bemuehen der die Aufgabenstellung so loest, dass die Probe erfuellt wird.

@mike
Fuer z^(1/3)=i gibt es nur eine Loesung (wirklich ?) :
z=-i
Und diese ist in der Probe falsch !
Denn
(-i)^(1/3)= .8660254038 - .5000000000*i
und nicht -i

da kann ich nicht nachtraeglich mit Nebenwerten von (-i)^(1/3)
rumdeuteln. Die Probe ist einfach falsch !
Oder sehe ich das falsch ?

[M_Hammer_Kruse]

Hallo Richy,

Dein Problem ist nicht anderes als eine Verallgemeinerung des bekannten Themas, daß eine quadratische Gleichung zwei Lösungen hat.

Es wundert sich ja auch niemand, daß die Wurzel aus 4 sowohl 2 als auch -2 ist. Es gibt eben zwei Zahlen, welche die Eigenschaft haben, daß ihr Quadrat 4 ist.

Entsprechendes gilt für die dritte Wurzel aus i. Es gibt eben drei Werte. Das gilt natürlich für jede dritte Wurzel.

Ebenso wie die beiden Werte einer zweiten Wurzel durch Multiplikation mit -1 auseinander hervorgehen, unterscheiden sich die Werte einer dritten Wurzel durch den Faktor -1/2+i/2*wurzel(3). Wenn Du diese komplexe Zahl omega nennst, dann kannst Du feststellen,
daß omega²=-1/2-i/2*wurzel(3) und omega³=1 ist.

Der Faktor omega, um den sich die Werte einer dritten Wurzel unterscheiden, ist seinerseits ein Nebenwert der dritten Wurzel aus 1. Das ist bei der zweiten Wurzel genauso: Die Werte der zweiten Wurzel unterscheiden sich um den Faktor -1, und das ist der Nebenwert der zweiten Wurzel aus 1.

Wenn Du dies weiterdenkst, bekommst Du für die (vier!) Werte der vierten Wurzeln den Faktor i. Denn es ist i^4=1. Und für die fünften Wurzeln bekommst Du den Faktor cos(72°)+i*sin(72°). Das ist eine fünfte Einheitswurzel.

Mit diesen Überlegungen verliert Deine Fragestellung nach der Lösung von z^(n/m)-z0=0 alle Rätselhaftigkeit. Die Lösung ist eben n-deutig, weil Du eine n. Wurzel ziehen mußt.

Gruß, mike

[richy]

Hi
@wolfi
Auf deine Idee bin ich auch schon gekommen und habe sie ausprobiert.
Allerdings verstehe ich unter Aufspalten wohl etwas anderes :
Diese Umformung :

Methode A)

z^(n/m)=z0
z^(1/m)=z0^(1/n)
|z|^(1/m)*exp(i*1/m*(arg(z)+2*k*Pi))=
|z0|^(1/n)*exp(i*1/n*(arg(z0)+2*r*Pi))

wird erfuellt durch :
|z|^(1/m)=|z0|^(1/n)
|z|=|z0|^(m/n)
*************
und
(*)
exp(i*1/m*(arg(z)+2*k*Pi))=
exp(i*1/n*(arg(z0)+2*r*Pi)=

Forme ich weiter um ....
exp(i*1/m*(arg(z)+2*k*Pi))=
exp(i*1/n*(arg(z0)+2*r*Pi)

(i*1/m*(arg(z)+2*k*Pi))=
(i*1/n*(arg(z0)+2*r*Pi)

(arg(z)+2*k*Pi))=m/n*(arg(z0)+2*r*Pi)
arg(z)=m/n*(arg(z0)+2*r*Pi)-2*k*Pi

dann sehe ich, dass mir dies wenig bringt.Ich habe immer noch die
falsche Loesungsmethode. Setze ich das Argument (den Winkel) ein,
so erhalte ich ueber (-2*k*Pi) kein anderes Ergebnis.
Was mache ich hier falsch ?
ImSchritt (*) habe ich Logarithmiert. Muss ich hier nochmals die
Mehrdeutigkeit beachten ?

[Uli]

[richy]

Hi Uli

Ok, ein bischen bin ich schon weitergekommen.
Die 3 Loesungen von z^(1/3)=i habe ich auch schon bestimmt.
Nur der 1 te Nebenwert erfuellt die Probe.
Mikes Argument ist korrekt. Die Problematik sehe ich schon ein.
Wenn es auch seltsam ist:

[Uli]

[richy]

Hi Uli, all
Haben wir, auf jeden Fall ich, bisher nicht die Begriffe" Loesung" und "Probe einer Loesung" bichen durcheinander gebracht ?
Insbesonders auch bezueglich der Anzahl ?

Die Gleichung

z^(1/3)=i hat meiner Meinung nach keine drei Loesungen sondern nur eine:
z=i^3=i*i*i=-i
Es geht mir also auch keine Loesung verloren.
Und die Umformung ist zulaessig.

Erst wenn ich die Loesung verifizieren will ergibt sich die Mehrdeutigkeit !
Ich habe 3 Werte zur Auswahl
Und einer davon ist i der auf die richtige Probe i fuehrt
Und damit ist -i die richtige Loesung.
(Doofes Beispiel weil i und -i. Muss man ja durcheinander kommen

Es war falsch von mir von 3 Loesungen zu sprechen. Es gibt nur eine: -i
Es gibt aber 3 Werte die ich verifizieren kann um die Loesung zu ueberpruefen.

[Lucas]

Ich habe nicht verstanden, warum man nicht algebraisch auflösen und z = z0^(m/n) benutzen darf ?


Gruss, Lucas

[Uli]

[richy]

@Lucas
Ich meine man darf nach z aufloesen.
Die Ergebnisse nach der Methode waren richtig nur meine Probe nicht.

@Uli