Kleiner SRT Einstiegskurs

[as_string]

Hallo!

Also, nach Anregung von WWetterwachs habe ich mich entschieden mal einen Versuchsballon zu starten, und die SRT möglichst anschaulich zu erklären. Da fängt es aber schon an, schwierig zu werden. Für den einen mag eine Art der Erklärung besonders anschaulich sein, für den anderen eine ganz andere.
Ich selbst finde ja Minkowski-Diagramme besonders anschaulich und will es deshalb zum großen Teil mit deren Hilfe versuchen. Allerdings habe ich auch schon gehört, dass das andere damit überhaupt nicht gut verstehen. Mal sehen, wie es funktioniert.

Die Idee ist ist komplett spontan und ich habe mir da jetzt noch kein wirkliches Konzept überlegt, wenn ich auch schon länger mit dem Gedanken schwanger gehe, so etwas in dieser Art zu machen. Ich werde jetzt einfach mal spontan anfangen zu schreiben, was mir so einfällt. Wir werden dann ja sehen, wie es sich entwickelt. Das soll also nicht festgeschrieben sein, sondern je nach Fragen und Anregungen passend erweitert, angepasst, ergänzt oder vielleicht komplett verworfen werden. Vielleicht wird es am Ende ja richtig gut und man könnte dann nochmal alles schön zusammen schreiben und als PDF oder so anbieten, wer weiß...

Mit anderen Worten: Ich würde mich sehr freuen, wenn sich viele hier beteiligen könnten.

So jetzt mal los:
1. Minkowski-Diagramm / Raumzeit-Diagramm
Da es in der SRT ja um die Transformation von Ereignis-Koordinaten, also den drei Raumkoordinaten und einer Zeitkoordinate von Ereignissen beliebiger Art, geht, erscheint es sinnvoll zu sein, dafür ein Diagramm zu zeichnen, in dem die Koordinaten des Diagramms irgendwie etwas mit den Raumzeit-Koordinaten des betrachteten Vorgangs zu tun haben. Die erste Schwierigkeit ist jetzt aber, dass wir in einem solchen Diagramm nur zwei Koordinaten zur Verfügung haben, aber die Raumzeit ja aus vier Koordinaten besteht. Man macht also zuerst einmal die Vereinfachung, dass man zunächst nur Vorgänge mit einer einzigen Raumdimension betrachtet und die zweite Dimension der Zeichnung mit der Zeit belegt. Ich habe also eine Raumachse, die ich auf die x-Achse legen möchte, und eine Zeitachse, wofür ich die y-Achse verwenden möchte. Das sieht dann erstmal einfach so aus:



Wir haben also eine Achse mit der Raumkoordinate x und eine, die ich "ct" genannt habe. Das bedeutet, dass ich für die y-Koordinaten nicht einfach nur die Zeit in Sekunden oder so nehme, sondern die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit multipliziere, bevor ich die Koordinaten in das Diagramm einzeichne. Damit komme ich dann auch auf eine Längeneinheit, wie ich es auch für die x-Achse habe. Man wird später sehen, dass das verschiedene Vorteile hat.

[as_string]

Eines der Postulate Einsteins besagt ja, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem immer gleich sein muss, nämlich c. Angenommen, ich habe eine Blitzlampe und stehe im Ursprung meines Koordinatensystems (also x=0). Ich lasse die Lampe zum Zeitpunkt t=0 einmal kurz aufblitzen. Das Licht soll sich in alle Richtungen ausbreiten. Ich will jetzt diesen Lichtblitz in mein Minkowski-Diagramm einzeichnen.
Ich weiß, dass die Koordinaten, die meine Wellenfront haben muss, einmal:
x = c·t
sein muss, sie bewegen sich ja mit der Lichtgeschwindigkeit. Allerdings soll ja meine Lampe in alle Richtungen Licht abgeben, also habe ich auch noch eine Wellenfront bei:
x = -c·t
also einmal nach rechts und einmal nach links. Diese beiden kann ich in mein Diagramm von eben einzeichnen und bekomme dabei gerade die Winkelhalbierenden geliefert, also Geraden, die durch den Ursprung gehen und bei denen x=y, bzw. x=-y gilt (jetzt in Diagramm-Koordinaten, ich habe ja für die y-Koordinate im Diagramm einfach schon c·t genommen). Das sieht dann so aus:


Welcher Geschwindigkeit entspricht das jetzt aber? Wir wissen, dass er nach der Zeit c·t die Strecke x=c·t·tan(15°) zurück gelegt hat, indem wir einfach ein entsprechendes rechtwinkliges Dreieck anlegen (so eine Art "umgekehrtes" Steigungsdreieck...). Deshalb bekommen wir für die Geschwindigkeit:
v=c·tan(15°) = 0,268·c = 8,04·10^7 m/s

[as_string]

1.1 Gleichzeitigkeit

Wir wollen nun zwei Ereignisse haben, die gleichzeitig stattfinden und gleich weit von der ct-Achse entfernt sind. Gleichzeitig in unserem betrachteten Inertialsystem bedeutet ja, dass sie auf der x-Achse oder einer parallelen dazu stattfinden müssen.
Wenn wir wissen, dass die beiden Ereignisse gleiche Entfernung vom Ursprung haben, eines also bei x und eines bei -x stattfindet, dann kann man feststellen, ob diese gleichzeitig stattfanden, wenn ein Lichtblitz der am Ort und zum Zeitpunkt der beiden Ereignisse jeweils ausgesendet werden soll, gleichzeitig bei x=0 eintrifft. Also in etwa so:


Was jetzt noch fehlt sind die Längeneinheiten auf den Achsen des bewegten Systems. Mal sehen, was mir dazu noch einfällt. Für heute soll es aber auch mal genug sein.

Gruß
Marco

[pauli]

[WWetterwachs]

Nein Pauli müsste er nicht. Ich glaube noch denkst du zu kompliziert (Spar dir das lieber für später auf!).

ct ist die Zeit die unser Lichtstrahl benötigt um die angegebene Strecke zurückzulegen. Bei der Bewegung unseres Lichtstrahles vergeht durchaus Zeit.
Ich glaube hier spielt einem leicht die Y-Achse einen Streich. Die Multiplikation mit der Konstanten C verschiebt den Maßstab der Tabelle. Ließe man diese weg, nähert sich der Lichtstrahl, je nach Masseinheiten, der X-Achse sehr stark an.
Es vergeht 1 Sekunde und der Lichtstrahl legt 300K Meter zurück.

Läge unser Lichtstrahl genau auf der X-Achse so wäre er unendlich schnell, also in der Zeit=0 die Strecke X zurückgelegt, wobei X gegen unendlich geht.
_________________
Ich hab sogar die Nutzungsbedingungen gelesen.

[as_string]

Hallo!

Freut mich, dass sich immerhin schon zwei Leute dafür interessieren!

@pauli: Ich denke auch, dass Du da schon Gedankenspiele rein bringst, wie "was würde passieren, wenn ich mich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen würde", die erstens wirklich reine Phantasie sind, weil ein massebehafteter Körper sich nicht mit c bewegen kann, und die Antworten darauf auch sehr mit Vorsicht zu genießen sind. Vielleicht können wir uns später darüber noch Gedanken machen.

Allerdings: Es geht nicht um die Zeit, die für den Lichtstrahl vergehen würde (für den mag vielleicht wirklich keine Zeit zu vergehen, keine Ahnung), sondern die Zeit in unserem eigenen Inertialsystem. Da benötigt der Lichtstrahl auf jeden Fall eine gewisse Zeit, um eine gewisse Strecke zurück zu legen.

Gruß
Marco

[pauli]

ok, ich verstehe was ihr meint

[yoshi]

[as_string]

Hallo!

[as_string]

Hallo!

Wollen wir mal ein wenig weiter machen.

Wir haben jetzt schon gesehen, dass es vom gewählten Inertialsystem abhängt, ob zwei Ereignisse gleichzeitig sind oder das eine vor oder nach dem anderen stattfindet. Das ist natürlich schon ziemlich "hart"! Immerhin hat die feste Reihenfolge von vorher und nachher auch etwas damit zu tun, ob ein bestimmtes Ereignis auf ein anderes einen Einfluss haben kann oder nicht. Wenn ich z. B. eine Bombe mit einer Zündschnur dran habe, dann kann diese ja nicht in die Luft gehen bevor ich die Zündschnur angezündet habe. Es kann ja nicht von der willkürlichen Wahl des Bezugssystems abhängen, ob das Anzünden vor oder nach der Detonation erfolgt. (Etwas schreckhaftere Gemüter können sich hier auch gerne einen Silvester-Kracher vorstellen... )

Dieses Prinzip nennt man Kausalität. Die Ursache muss immer vor der Wirkung stattfinden. Das legt nahe, dass es eine feste Abfolge von Ereignissen geben müsse. In der SRT ist das aber nicht mehr so, sondern die Reihenfolge ist in bestimmten Grenzen vom frei wählbaren Inertialsystem abhängig. Das ist ein Punkt, der erstmal ganz direkt dem "gesunden Menschenverstand" widerspricht und bei dem viele Kritiker auch Schwierigkeiten haben, wie ich meine. Ohne diesen Zusammenhang aber selbst so deutlich zu erfassen. Das war für mich, als ich das erste Mal etwas von der SRT hörte, auch ein Punkt, wo ich gesagt habe: "Das kann doch nicht stimmen!"

Aber trotzdem bleibt die Kausalität in der SRT erhalten, was übrigens für die Quantenmechanik so nicht mehr stimmt. Ich denke, dass das auch der Hauptgrund ist, weshalb man die RT immer noch als klassische Theorie bezeichnet.

Wie das sein kann wird uns noch später etwas intensiver beschäftigen. Ich wollte das nur schon mal vorweg nehmen, weil es eben auch für mich im SRT-Lernprozess ein wichtiger Punkt war. Hier möchte ich eigentlich erstmal nur so viel sagen: Ereignisse, die in einem Inertialsystem gleichzeitig, aber nicht am selben Ort stattfinden, können in anderen zwar hintereinander stattfinden, sind dann aber so weit entfernt, dass ein Lichtstrahl im maximal möglichen Zeitintervall niemals die Entfernung zurück legen kann, die nötig wäre, um den Ort des anderen Ereignisses zu erreichen. Da die Lichtgeschwindigkeit nach der SRT auch gleichzeitig die maximal mögliche Geschwindigkeit für eine Informationsübertragung darstellt, ist es unmöglich, dass zum Zeitpunkt und am Ort von Ereignis A die Information von Ereignis B vorliegen kann, egal welches Inertialsystem ich wähle. Umgekehrt ist die Reihenfolge von zwei Ereignissen, bei denen das eine vom anderen beeinflusst werden könnte, in jedem Inertialsystem die selbe.
Man sagt zu ersteren Ereignissen dann auch "raumartig" und zu letzteren "zeitartig".

Also: Diesen Punkt erstmal im Hinterkopf behalten. Ich will das später nochmal etwas genauer beleuchten.

Gruß
Marco

[as_string]

So, wir haben ja in unserem Minkowski-Diagramm jetzt schon zwei Achsen für unsere "Ruhesystem" und zwei Achsen für unser "bewegtes System" gezeichnet. Die Festlegung, welches System nun "ruhend" und welches "bewegt" sein soll, ist natürlich willkürlich. Man könnte es auch umgekehrt festlegen und dann auch so zeichnen, dass sich der eine nach links bewegt, der vorher ruhend war, und der andere in Ruhe ist. Auch damit möchte ich später noch etwas "rumspielen".

Was uns aber noch zur vollständigen Transformation fehlt, ist die Länge unserer Einheitsvektoren entlang der beiden neuen Achsen. Wir können ja in unserem ruhenden System irgendwo an die Achsen jeweils "1m" schreiben (entspricht dann auf der Zeitachse einer "Lichtsekunde"). Wo ist diese "ein-Meter-Marke" aber jetzt auf unseren beiden neuen Achsen?

Ich habe mir da die letzten Tage etwas den Kopf zerbrochen, ob man das nicht irgendwie "einfach" in unserer bisherigen Minkowski-Systematik irgendwie erklären könnte. Mir ist aber nichts so richtig nettes eingefallen. Ich werde jetzt einfach mal die gute, alte Lichtuhr bemühen. Allerdings finde ich, dass die nicht so ganz 100%-ig ist, wir werden ja sehen...
Deshalb erstmal das neue "Kapitel":

1.2. Die Lichtuhr und die Zeitdilatation

Ich denke, ich kann mich hier relativ kurz fassen, weil das wirklich in fast allen Lehrbüchern, die ich mir in den letzten Tagen angeschaut habe, so erklärt ist. Man stelle sich eine Uhr vor, bei der die Zeit so gemessen werden soll, in dem man einen Lichtstrahl vom einem Spiegel zu einem anderen laufen lässt und misst, wie lange es dauert, bis das Licht wider zurück kommt. Die Entfernung der beiden Spiegel kennt man und wie immer: Egal, wie die Lichtuhr bewegt wird: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit meines Lichtpulses muss immer c sein, egal in welchem Inertialsystem ich mir das anschaue!

Hier mal ein kleines Bild, wie das ablaufen soll:


Links betrachten wir unsere Lichtuhr im Ruhesystem der selben. Es ist klar, dass das Licht die Strecke l, die die Entfernung zwischen den beiden Spiegeln sein soll, zweimal zurück legen muss und deshalb die Zeit, bis das Licht wieder da ist, einfach T=2l/c sein wird.

Was aber, wenn wir die Uhr senkrecht zur Ausbreitung des Lichtes bewegen, oder einfach den ersten Versuch in einem Inertialsystem betrachten, dessen Ursprung sich mit v relativ zum Ruhesystem der Uhr bewegt? Der Lichtstrahl wird sich dann nicht mehr einfach senkrecht von unten nach oben und wieder zurück ausbreiten, sondern seine Bewegungsrichtung wird schräg sein, weil er ja den anderen Spiegel schon noch irgendwie erreichen muss.

Es ist jetzt einfach zu erkennen, dass - nach Pythagoras - die Strecke, die das Licht zurück legen muss, bis das Licht wieder unten angekommen ist, länger sein wird. Nach Galilei-Transformation würde man sagen: OK, dann hat es eben eine Geschwindigkeitskomponente c in senkrechter Richtung, und eine v in waagerechter und es würde wieder die selbe Zeit benötigt, bis der Lichtimpuls unten ankommt. Wenn wir aber der Prämisse folgen, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes eben auch in diesem Inertialsystem c ist, kann das nicht gehen, weil sonst der Betrag der Ausbreitungsgeschwindigkeit ja c' = sqrt(v²+c²) wäre, was größer ist, als c.

Deshalb die kurze Rechnung. Man kommt damit ziemlich direkt auf den Gamma-Faktor für die Zeitdilatation. Ich will auf die Rechnung jetzt gar nicht genauer eingehen. Ich habe versucht, das recht ausführlich zu schreiben. Wenn es trotzdem nicht klar wird, einfach nochmal gezielt nachfragen!

Man findet übrigens auch auf den Seiten von Franz Embacher eine sehr schöne Beschreibung der Lichtuhr. Deshalb lohnt es sich hier nicht, das nochmal so genau zu machen, denke ich.

Fazit: Ein "1-Sekunde-Tick" unserer bewegten Lichtuhr dauert um den Faktor Gamma länge, als der selbe Zeitintervall bei der ruhenden Uhr. Wir haben damit gefunden, dass die Einheiteneinteilung der ct'-Achse in unserem Minkowski-Diagramm also um diesen Faktor länger sein muss, als der ct-Achse des ruhenden Systems.

Gruß
Marco

[WWetterwachs]

Nicht so zügig. Gib mir etwas Zeit
_________________
Ich hab sogar die Nutzungsbedingungen gelesen.

[WWetterwachs]

Kurze Fragen.

1.

[Optimist71]

Hallo WWetterwachs,

[Erik]