Längenkontraktion der Speziellen Relativitätstheorie

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Hallo!

Ich bin ja der Meinung, dass ein Hauptziel von Alpha Centauri sein sollte, für Fragen, die im WumV aufgetreten sind und dort unzureichend geklärt wurden, für Aufklärung zu sorgen. Ich denke, dass es Leute gibt, die im WumV landen, sich selbst mit der Relativitätstheorie nicht auskennen und dann gerade auch über solche Fragen stolpern. Wenn jemand dann den Weg zu uns findet, dann sollten wir auf jeden Fall versuchen diese Fragen zu beantworten.

Es gehört ja schon fast zur Allgemeinbildung, dass die SRT zwei wichtige Voraussagen macht:

• Bewegte Uhren gehen langsamer (Zeitdilatation, ZD)
  
• Bewegte Längen werden kürzer (Längenkontraktion, LT)

Ich persönlich bin aber der Meinung, dass ein weiterer Punkt noch viel wichtiger ist, als diese beiden, wenn auch vielleicht etwas subtiler:

• Ereignisse, die in einem Inertialsystem gleichzeitig stattfinden, tun das nicht unbedingt in einem anderen Inertialsystem (Relativität der Gleichzeitigkeit, RdG)

Das sind alles Folgerungen aus der Lorentz-Transformation.
Wenn man den zweiten Punkt mit der Längenkontraktion das erste Mal hört, dann fragt man sich: Wenn ich zwei Maßstäbe habe, von denen der eine bewegt ist und der andere ruht, dann ist ja der bewegte Stab kürzer. Wenn ich die selben Stäbe aber im Ruhesystem des bewegten Stabs betrachte, dann ist ja der bisher ruhende Stab bewegt und der bisher bewegte in Ruhe. Daraus ergibt sich aber mit der Längenkontraktion gerade die umgekehrte Aussage: Der eben noch bewegte Stab muss dann länge sein, als der eben noch ruhende. Wie kann das sein?

Um die Zusammenhänge der Lorentz-Transformation klar zu machen, finde ich Minkowski-Diagramm besonders anschaulich. Allerdings muss man hierfür erst verstehen, was das ist, was ich hier jetzt nicht genauer erklären will. Vielleicht mal in einem anderen Thread. Grundsätzlich handelt es sich dabei um ein x-t-Diagramm, bei dem man aber üblicherweise die x-Achse nach rechts zeichnet und die t-Achse nach oben. Außerdem trägt man nicht direkt t in Sekunden ab, sondern c·t, so dass Lichtsignale sich immer auf +/-45° ausbreiten.
Ich habe jetzt die Weltlinien der Enden zweier Maßstäbe, die die selbe Ruhelänge haben, in ein Minkowski-Diagramm eingezeichnet. Dabei ist einer der beiden in S ruhend und der andere mit ß=tan(30°)=0,577 bewegt:


Zum Zeitpunkt t=0 fallen die linken Enden der beiden Stäbe in x=0 zusammen. Das linke Ende des ruhenden Stabes ist deshalb immer bei x=0 und damit auf der ct-Achse. Die beiden roten Linien sind die mit konstanter Geschwindigkeit ß=v/c bewegten Enden des bewegten Stabs.

Im ruhenden System S finden alle Ereignisse auf der x-Achse (und Parallelen dazu) gleichzeitig statt. Dort hat t ja immer einen konstanten Wert, was ja nichts anderes als "gleichzeitig" bedeutet. Nicht so aber in einem System S', das sich mit dem bewegten Stab mit bewegt. Aus der Lorentz-Transformation erhält man, dass in einem solchen System alle Ereignisse auf der blauen Linie (und Parallelen dazu) gleichzeitig statt finden. Man kann diesen Sachverhalt auch grafisch anhand eines Minkowski-Diagramms herleiten, aber das wäre Thema für einen anderen Thread.

Wenn wir eine Längenmessung machen wollen, dann bedeutet das ja, dass wir den Abstand der Koordinaten zu einem bestimmten Zeitpunkt gleichzeitig bestimmen müssen. Das ist hier gerade der springende Punkt. Wie wir anhand des Diagramms sehen können, messen wir entlang der x-Achse ganz andere Koordinaten der Stabenden, als entlang der blauen x'-Achse des bewegten Systems S'.

Wir wollen einfach einmal die Längen in S vergleichen. Im Ursprung fallen ja die linken Enden der Stäbe zusammen. Die rechten Enden fallen aber nicht zusammen, sondern wir sehen, dass die rote Linie die x-Achse mit einem kleineren x-Wert schneidet, als die schwarze Linie des ruhenden Stabs. Wenn wir also die Messung zu t=0 im System S ausführen, dann ist der bewegte Stab kürzer (rote Linie), als der ruhende Stab (schwarze Linie).
Wenn wir die selbe Messung im System S' durchführen, dann müssen wir auch hier die x'-Werte gleichzeitig bestimmen. Gleichzeitig bedeutet hier aber: Wir müssen die x'-Werte entlang der blauen "Gleichzeitigkeit in S' "-Linie bestimmen. Jetzt ist aber der Schnittpunkt der schwarzen Linie mit der blauen Linie bei einem kleineren x'-Wert, als der Schnittpunkt der roten Linie mit der blauen. Wir stellen also fest: Auch hier ist der ruhende Stab länger als der bewegte, nur dass in S' der in S ruhende bewegt ist und umgekehrt.

Gruß
Marco

PS: Ich würde gerne diese Darstellung noch weiter verbessern. Anregungen, Korrekturen, Ergänzungen, etc. sind also sehr willkommen!

[Marco]

Also die Überschrift finde ich unpassend, bzw. unangebracht. Sie wirkt schon fast polemisch. Denn für Kleinkinder ist die Erklärung sicher nicht geeignet, ausser es handelt sich um sogenannte Wunderkleinkinder.

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Hallo Marco!

Ich wollte damit auf den entsprechenden Thread im WumV Bezug nehmen. Ich denke auch, dass das, was ich geschrieben habe, für Kleinkinder und auch für "interessierte Laien" nicht wirklich leicht zu verstehen sein wird. Ich habe zwar versucht es so darzustellen, dass man auch ohne mathematische Kenntnisse und so weiter das Grundprinzip verstehen kann, aber sicherlich nur dann, wenn man sich über einige Dinge noch weiter informiert und längere Zeit Gedanken macht.

Ich wollte also mit dem Titel nicht provozieren, sondern eher aufzeigen, dass es mit der Längenkontraktion halt doch nicht so einfach ist, wie es oft "für Kleinkinder" dargestellt wird. Auf der anderen Seite ist die Frage, ob ich nicht vielleicht doch einen sinnvolleren Titel wählen sollte, der nicht in Bezug zum WumV steht. Könnte ja auch sein, dass das mal jemand liest, der das WumV noch gar nicht kennt.

Was meint Ihr?

Gruß
Marco

//edit: Ich habe mal "für Kleinkinder" wenigstens in Anführungszeichen gesetzt.

[Karl]

Nenne das Thema doch einfach „Längenkontraktion der Speziellen Relativitätstheorie”, oder so?

LG,

Karl
_________________
„Wo ist meine kleine gelbe Chinalackdose?“ Der ganz normale Wahnsinn

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OK, mach' ich!

Gruß
Marco

PS: Ich bin zwar auch über Kritik am Titel froh, aber eigentlich meinte ich mit "Anregungen, Korrekturen, Ergänzungen, etc. sind also sehr willkommen!" eher Kritik, die auf den Inhalt bezogen ist...

[Marco]

Hallo Marco,

ich wollte dir auch nicht unbedingt Provokation unterstellen, aber weil der Thread ja im öffentlichen Bereich steht und für jedermann lesbar ist, könnten solche Threadtitel etwas "großkotzig" rüberkommen.

So sieht es doch schon besser aus

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Hallo!

Hast ja recht, Marco...
Wieso schneidet der eigentlich den Untertitel immer so knapp ab?

Gruss
Marco

[WWetterwachs]

Ich kaue gerade dran und habe ein paar Probleme mit dem Minkowski Diagramm.

Wäre es eventuell möglich dies für das System S und S' getrennt darzustellen? Ich komme bei den beiden durcheinander.

Ansonsten danke ich. Eine hervorragende Idee.
Ich möchte mich mal mit der RT beschäftigen und fange eben mit der Längenkontraktion an. Ist dies eine sinnvolle Vorgehensweise oder sollte ich anders anfangen?
_________________
Ich hab sogar die Nutzungsbedingungen gelesen.

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[yoshi]

Vielleicht habe ich das nicht richtig durchdacht, aber könnte es sein, dass der in S' ruhende Stab im System S' länger ist als der in S ruhende in S?

Gruß
yoshi

PS
Wie wäre es noch mit einem Minkowski-Diagramm das die Zeitdilatation veranschaulicht? Um zu zeigen, das beides eigentlich der gleiche Effekt ist.

[WWetterwachs]

Ich schreibe dir morgen auf, was ich bisher verstand. Ich muss dazu sagen, daß ich zusätzlich diverse Threads im speziellen in Bezug auf GOM dazu gelesen habe. Viele Erklärungen dazu fand ich schon sehr hilfreich(waren auch so einige von dir dabei).

Ach ich fang mal an. Bitte korrigiere meine Vokabeln. Ihr müsst mein Wortwahl entschuldigen-Bin halt interessierter Laie.

1. Wir sprechen von bewegten Objekten in relativistischen Dimensionen.
2. Zum Erhalt relativistischer Auswirkungen benötige ich 2 Systeme, ein bewegtes System und ein betrachtendes ruhendes System, welches in Bezug zum bewegten System ruht(Das ruhende System ist das Inertialsystem? - Keine Krafteinwirkung auf einen unbeschleunigten Körper?)
3. Innerhalb des bewegten Systemes ist jedes Objekt relativistischen Auswirkungen unterworfen, womit einem Betrachter innerhalb dieses Systems keine Auswirkungen auffallen(Sein Massstab ist identisch zum Maßstab des Vergleichsobjektes innerhalb des bewegten Systems)
4. Dem Betrachter im ruhenden System stellt sich das bewegte System jedoch anders dar. Er erblickt relativistische Auswirkungen, in unserem Falle die Längenkontraktion(Ich glaube die Zeitdilatation ist identisch zu betrachten-nur eine andere Masseinheit-damit beschäftige ich mich später)
Der Maßstab für den Betrachter hat sich verschoben.

Erstmal bis hier.
Den Punkt 4 versucht das Minkowski Diagramm darzustellen. Jedoch werden beide Systeme zur besseren Veranschaulichung in ein Diagramm gelegt, was zumindest mich verwirrt weil ich beide System durcheinanderbringe.

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[pauli]

Mitmachen will noch einer weil ebenso Laie

[WWetterwachs]

Auf den Spuren GOMs bin ich in nahezu jedem Forum.
Es began als Unterhaltung und artet sich gerade zu mehr aus.
Grundsätzlich finde ich es vollkommen egal was da GOM oder besser JLo von sich gibt, mir helfen die Erklärungen Sachkundiger allemal.

1. Wir sprechen von bewegten Objekten in relativistischen Dimensionen.
Damit wollte ich eigentlich sagen, daß wir ohne bewegte Objekte keine relativistischen Auswirkungen betrachten können.
Solche Aussagen kommen halt aus meinem Berufsumfeld
Alles was nicht explizit erlaubt ist, ist verboten.

Ich nehme dein Angebot im neuen Thread natürlich dankend an. Ich bin dabei.

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Ich hab sogar die Nutzungsbedingungen gelesen.

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