Gleichungen des elektromagnetischen Feldes

[Jens Blume]

In den letzten Monaten habe ich mich u. a. mit den Maxwellschen Gleichungen näher auseinandergesetzt und füge diese hier zunächst in integraler Form (mit Hilfe des Forum-Formeleditors) ein.

Gleichungen des elektromagnetischen Feldes (Integralform)

Elektromagnetische Felder werden formal durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben. Wie physikalisch üblich, stellen die verwendeten Symbole im mathematisch rechtshändig orientierten Koordinatensystem positive Messgrößen dar.

\( { (1) ~ ~ ~ ~ ~ } I = \oint \vec H \cdot d \vec s = \frac{d}{dt}\int \vec D \cdot d \vec A +\int \vec J \cdot d \vec A \)

\( { (2) ~ ~ ~ ~ ~ } U = \oint \vec E \cdot d \vec s = -\frac{d }{dt}\int \vec B \cdot d \vec A \)

\( { (3) ~ ~ ~ ~ ~ } Q = \oint \vec D \cdot d \vec A = \int \rho \cdot dV \)

\( { (4) ~ ~ ~ ~ ~ } 0 = \oint \vec B \cdot d \vec A \)

\( { (5) ~ ~ ~ ~ ~ } \vec D = \tilde{ \epsilon } ~ \vec E, { ~ ~ ~ \tilde{ \epsilon }= \epsilon_0 ~ \tilde{ \epsilon }_r} \)

\( { (6) ~ ~ ~ ~ ~ } \vec B = \tilde{\mu} ~ \vec H, { ~ ~ ~ \tilde{\mu}= \mu_0 ~ \tilde{\mu}_r} \)



Erläuterungen

Gleichung (1): Der elektrische Strom I entsteht sowohl durch Änderung des elektrischen Flusses pro Zeitintervall (elektrische Induktion), als auch durch Änderung der elektrischen Ladung pro Zeitintervall:

\( { (1.1) ~ ~ ~ ~ ~ } I = I_\mathit{\Psi} + I_q \)

Der die Messfläche durchtretene Strom setzt sich häufig als Summe von N gleichgroßen Teilströmen zusammen. Er wird dann als Durchflutung bezeichnet

\( { (1.2) ~ ~ ~ ~ ~ } \mathit{\Theta} = N \cdot I_N \)

Gleichung (2): Die Umlaufspannung U entsteht allein durch magnetische Induktion, sofern nicht weitere elektrische Felder zu berücksichtigen sind. Da alle Messgeräte mathematisch positiv auszurichten sind, ist das negative Vorzeichen hier eine physikalische Notwendigkeit.

Gleichung (3): Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich seiner Quelle Q, welche sich aus mehreren Teilladungen mit der Volumendichte ρ zusammensetzen kann.

Gleichung (4): Der magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist null, es sind keine magnetischen Quellen (Monopole) vorhanden.

Gleichungen (5) und (6): Der elektrische Fluss ist durch den Dielektrizitätstensor mit der elektrischen Feldstärke verknüpft. Ebenso ist der magnetische Fluss durch den Permeabilitätstensor mit der magnetischen Feldstärke verknüpft. Es besteht der zunächst nicht hergeleitete Zusammenhang mit dem Brechungsindex

\( { (7) ~ ~ ~ ~ ~ } {c_0}^2 ~ \tilde{n}^2 = \tilde{ \epsilon } \cdot \tilde{µ} = \epsilon \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mu = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} {c_0}^2 ~ n^2\)

In Kristallen besitzt Dielektrizitätstensor, bzw. in Ferriten der Permeabilitätstensor auch nicht diagonal angeordnete Komponenten.

Gleichungen des elektromagnetischen Feldes (Differentialform)

Werden in den Gleichungen (1) und (2) die zeitliche Änderungen der Differentialflächen den jeweiligen Flussdichten zugerechnet, so sind die Differentialflächen fortan konstant. Die Flussdichten sind nun zeit- und ortsabhängig.

Die Gleichungen (1) und (2) werden nach den Flächen und die Gleichungen (3) und (4) nach den Volumina differenziert:

\( { (1') ~ ~ ~ ~ ~ } \mathrm{rot} ~ \vec H := \frac{d}{d \vec A}\oint \vec H \cdot d \vec s = \dot{\vec D} + \vec J \)

\( { (2') ~ ~ ~ ~ ~ } \mathrm{rot} ~ \vec E := \frac{d}{d \vec A}\oint \vec E \cdot d \vec s = -\dot{\vec B} \)

\( { (3') ~ ~ ~ ~ ~ } \mathrm{div} ~ \vec D := \frac{d}{dV}\oint \vec D \cdot d \vec A = \rho \)

\( { (4') ~ ~ ~ ~ ~ } \mathrm{div} ~ \vec B := \frac{d}{dV}\oint \vec B = 0 \)

Aus (2') lässt sich der rot-Operator entfernen, wenn das magnetische Vektorpotential benutzt wird

\( { (8) ~ ~ ~ ~ ~ } \vec B := \mathrm{rot} ~ \vec {\mathit{\Lambda}}, { ~ ~ ~ }\mathrm{rot} ~ \vec E = -\dot{\vec B} { ~ ~ ~ } => { ~ ~ ~ } \vec E = -\dot{\vec {\mathit{\Lambda}}} \)

Die Flusdichten und somit auch das Vektorpotential sind sowohl von der Zeit als auch vom Ort abhängig, daher gilt:

\( { (9) ~ ~ ~ ~ ~ }\dot{\vec {\mathit{\Lambda}}} = \frac{\partial \vec {\mathit{\Lambda}} }{\partial t} + \dot {\vec r} \cdot \frac{\partial \vec{\mathit{\Lambda}}}{\partial {\vec{r}}} = \frac{\partial \vec {\mathit{\Lambda}} }{\partial t} + \vec{v} \cdot \vec \bigtriangledown \vec{\mathit{\Lambda}} = \frac{\partial \vec {\mathit{\Lambda}} }{\partial t} - \vec{v} \times \mathrm{rot} ~ \vec{\mathit{\Lambda}} \)

(Der Beweis sei den Mathematikern überlassen.).

Somit gilt für das in zeit- und ortsabhängigen Anteil aufgeteilte elektrische Feld

\( { (10) ~ ~ ~ ~ ~ } \vec E = \vec E_t + \vec{v} \times \vec{B} \)

Für das magnetische Feld folgt aus (1') analog, wenn \( \mathrm{div ~} \vec D = 0, ~ \vec J = 0 ~ \)

\( { (11) ~ ~ ~ ~ ~ } \vec H = \vec H_t - \vec{v} \times \vec{D} \)


Potentielle Energie des elektrischen Feldes

Mit (2') folgt für die potentielle Energie des elektrischen Feldes:

\( { (2'.1) ~ ~ ~ ~ } \mathrm{rot} ~ \vec E = 0, ~~~\mathrm{rot~grad} ~ \mathit{\Phi }= 0 { ~ ~ ~ } => { ~ ~ ~ } \vec E = \vec E_h = -\mathrm{grad} ~ \mathit{\Phi } \)

\( { (12) ~ ~ ~ ~ ~ } W_p = \int_{\vec{r}}^{\infty} \vec{F}\cdot d\vec{r} = q \int_{\infty}^{\vec{r}} \mathrm{grad} ~ \mathit{\Phi }\cdot d\vec{r} = q \mathit{\Phi }~,{ ~ ~ ~ } \vec{F} = q \vec{E} \)

Mit (5) folgt für die Feldstärke und mit (12) für das Potential einer kugelförmigen elektrischen Ladung im Vakuum

\( { (13) ~ ~ ~ ~ ~ } \vec{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \vec{e}_r~, { ~ ~ ~ } \mathit{\Phi } = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} \)

Für die Kraft auf eine zweite Ladung ergibt sich

\( { (14) ~ ~ ~ ~ ~ } \vec{F} = q \vec{E} = q \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \vec{e}_r \)


Kinetische Energie des elektromagnetischen Feldes

Wird durch ein elektrisches Feld eine Ladung beschleunigt, so wirkt auf sie stets ein Feld mit abnehmender potentieller Energie

\( { (15) ~ ~ ~ ~ ~ } dW_p = -\vec{F}\cdot d\vec{r} = q ~ \mathrm{grad} ~ \mathit{\Phi }\cdot d\vec{r} = q ~ d \mathit{\Phi } \)

Die kinetischer Energie des die Ladung umgebenden elektromagnetischen Feldes nimmt hingegen betragsgleich zu

\( { (16) ~ ~ ~ ~ ~ } dW_k = \vec{F}\cdot d\vec{r} = q \vec E \cdot d\vec{r} = -q \dot{\vec {\mathit{\Lambda}}} \cdot d\vec{r} = -q ~ \dot{\vec{r}} \cdot d \vec {\mathit{\Lambda}}~, { ~ ~ ~ } W_k = -q \int_{\vec{\mathit{\Lambda}_0}}^{\vec{\mathit{\Lambda}}} \vec{v} \cdot d \vec{\mathit{\Lambda}} \)

Der gesamte Energiezuwachs verschwindet daher

\( { (17) ~ ~ ~ ~ ~ } dW = dW_p + dW_k = -\vec{F}\cdot d\vec{r} + \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0 \)

Aus (15) bis (17) folgt das Kräftegleichgewicht (actio = reactio) und der Energieerhaltungssatz des elementaren Systems

\( { (18) ~ ~ ~ ~ ~ } \mathrm{grad} ~ W = -\vec{F} + \vec{F} = 0,~ { ~ ~ ~ } \dot W = -\vec{F}\cdot \dot {\vec{r}} + \vec{F}\cdot \dot {\vec{r}} = 0\)


Impuls des elektromagnetischen Feldes

Das elektromagnetische Feld, welches die Ladung q umgibt trägt den Impuls

\( { (19) ~ ~ ~ ~ ~ } \vec{p} = -q {\vec {\mathit{\Lambda}}} = -q \frac{\mu q}{4 \pi r} \vec{v} = m\vec{v} \)

Die Impulsgleichung (19) definiert formal die träge gravitive Masse

\( { (20) ~ ~ ~ ~ ~ } m := -\frac{\mu q^2}{4 \pi r} \)


Nachtrag

Abschließend ist noch zu zeigen, welcher Ausdruck für die Energie der elektromagnetischen Welle gilt. Hierzu ist die kinetische Energie der bewegten Ladung durch ihr Eigen-Potential anzugeben

\( { (21) ~ ~ ~ ~ ~ } dW_k = -dW_p = -q ~ d \mathit{\Phi }, { ~ ~ ~ } W_k = -q \mathit{\Phi } = -\frac{q^2}{4\pi \varepsilon r}\)

Mit der elektromagnetischen Masse aus Gleichung (20) gilt somit

\( { (22) ~ ~ ~ ~ ~ } W_k = \frac{m}{\varepsilon \mu} = m~ c^2, { ~ ~ ~ } dW_k = c^2dm\)

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[JANm]

Hallo Jens Blume
Nicht alle furmulen sind lesbar,nur:
13 Elektrischen Coulomb Potential
14 Coulombkraft
19 Impuls
20 Massen
21 Kinetische energie
und 22 kan ich lesen, beim anderen gibt es missing or unrec. del. f. l.
Zum Integration fon 21 A zum 21 B gibt es dabei kein factor 1/2?
grusse Janm

Fehler in der LaTeX-Formatierung ausgebessert. Karl, 13.11.2009, 10:32
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Weiss nicht viel aber was ich weiss benutze ich.

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