Entwicklung des Tensorkalküls

[zeitgenosse]

Das eigentlich schöpferische Prinzip liegt in der Mathematik (Einstein)

Zur Entwicklung des Tensorkalküls und seiner Anwendung in der Physik:

Gaußsche Flächentheorie (Theorema egeregium, 1828) - als Vorläufer der Riemannschen Geometrie.

Vektorrechnung von Hamilton (Quaternionen 1843) und Grassmann (Ausdehnungslehre 1844).

Tensor von lat. tendere (= spannen, ausdehnen, errichten aufschlagen, sich erstrecken usw.) - als Ausdruck für die Länge eines Quaternions (Hamilton 1847).

Krümmungstensor (Krümmungsmaß) durch Riemann (Habilitationsvortrag 1854, 1868).

Kovariante Ableitung und Dreizeigersymbole (Levi-Civita-Zusammenhang) von Christoffel (1868 ff.).

Absoluter Differentialkalkül von Ricci-Curbastro (1887, 1893, 1898) und Levi-Civita (1901).

Tensorrechnung durch Woldemar Voigt (Monographie 1898, Lehrbuch der Kristallphysik 1910).

Raum-Zeit-Vektoren I. und II. Art (Vierer- und Sechservektoren bei Sommerfeld) durch Minkowski (1907, 1908). Letztere wurden auch als "Traktoren" bezeichnet.

Welttensoren mit zehn Komponenten von Abraham (1910).

Vierer- und Sechservektoren von Sommerfeld (1910). Ein Vierervektor ist z.B. der Fahrstrahl (x,y,z,ict) von einem Anfangspunkt zu einem Raumzeitpunkt. Sechservektoren werden als zwei zueinander senkrechte Ebenenstücke im vierdimensionalen Raum interpretiert und wie bei Minkowski mit 2 Indizes versehen.

Tensoranalysis in der ART durch Grossmann und Einstein (Entwurftheorie 1913). Summationskonvention (Summieren über gleiche Indizes) von Einstein.

Feldgleichungen der Gravitation nach langem Ringen durch Einstein (1915). Unabhängig und kurz zuvor auch von Hilbert aufgrund eines Variationsprinzips hergeleitet.

Grundlagen der ART von Einstein (1916) mit einer Einführung in die Tensorrechnung (Skript Seite 779 ff.):

http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1916_49_769-822.pdf

Literaturverweis:

Karin Reich
Die Entwicklung des Tensorkalküls (Birkhäuser 1994); vergriffen, kann aber in einer wissenschaftlichen Bibliothek, z.B. Zentralbibliothek Zürich, bezogen werden.

Gr. zg
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Make everything as simple as possible, but not simpler!

[zeitgenosse]

Auf Wikipedia kann man lesen, dass Jan Schouten - ein niederländischer Mathematiker - zu den Begründern der Tensoranalysis zählt. Dies ist aber so nicht korrekt. Denn den auch für die ART wegweisenden Tensorkalkül verdanken wir dem von der Invariantentheorie beeinflussten Mathematiker Gregorio Ricci-Curbastro (welcher vom absoluten Differentialkalkül sprach). Es ist aber andernseits zutreffend, dass sich Schouten intensiv mit dem Tensorbegriff auseinandersetzte. Er sprach dabei von Affinoren (Grundlagen der Vektor- und Affinoranalysis, 1914). Von Schouten erschien 1922 auch ein Buch mit dem bezeichnenden Titel "Der Ricci-Kalkül". Ein weiteres Buch von Schouten lautet "Tensor Analysis for Physicists".

Um das Thema abzurunden ein paar in englischer Sprache geschriebene Bücher zum Thema (es herrscht wahrlich kein Mangel):

- Synge u. Schild, "Tensor Calculus"

- Lawden, "Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology"

- Lovelock u. Rund, "Tensors, Differential Forms and Variational Principles"

- Bishop u. Goldberg, "Tensor Analysis on Manifolds"

- Simmonds, "A Brief on Tensor Analysis"

- Aris, "Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics"

- Itskov, "Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers"

- Tolosa u. Castillo, "From Vectors to Tensors"

- Lebedev u. Cloud, "Tensor Analysis"

Nach Schouten haben sich weitere Beteiligte am Ausbau des Tensorkalküls versucht, so Moon und Spencer, welche von Holors sprachen. Der Begriff des Holors umfasst nicht nur Tensoren, sondern:

[SCR]

Hallo zg,

sehr schöne Zusammenstellung!
(Ich vermisse unter den gelisteten Namen ad hoc eigentlich nur Friedrich Kottler ein wenig)

Gruß
SCR
_________________
Gruß
SCR

Das Festhalten an Überlieferungen ohne jeden Beweis nennt man Glaube.
-> Read the f***ing manual - finally.

[zeitgenosse]

[973]

Ich würde das nicht so interprätieren. Einstein hat ja ausdrücklich eine Substanz ausgeschlossen, sondern von physikalischer Qualität des Raumes selbst gesprochen. Mutmaßlich hat er dabei an solche 'geometrischen' Eigenschaften wie Krümmung, Transformationsverhalten usw als für die physikalischen Erscheinungen produzierend ausreichend gedacht, und vermutet daß diese mehr als rein abstrakt realisiert sind.

[SCR]

Hallo zg,

[pauli]

[SCR]

Hallo pauli,

[973]

SCR: Diese Meinung wird durch den Artikel von Einstein selbst ziemlich klar. Wir hatten hier im Forum ja schon mal die wichtigsten Arbeiten von Einstein durchgesprochen, wobei ich sie nochmal im Original nachgelesen hatte, und dabei u.a. og Auffassung erläutert hatte; dort ggf wegen Einzelheiten nachschlagen.

Ich hab' noch die Naturkonstanten vergessen, die sogar insofern am Wichtigsten sind daß sie die individuellen Eigenschaften der einzelnen Dimensionen selbst festlegen; Transformationsverhalten / quadratische Form der Metrik usw dagegen generische für alle Dimensionen weitgehend ähnliche. Die wesentlichen physikalischen Formeln leiten sich bereits aus diesen 'geometrischen' Eigenschaften selbst der leeren Räume ab - wie man sich überlegen kann, selbst innerhalb der ersten Planck-Zeiten als es auch noch keine Vakuumfluktuation usw gegeben haben dürfte; Materie ist sowieso erst viel später entstanden sodas man schon deshalb jede stoffliche Erklärung des Raumes vergessen kann

[pauli]

[SCR]

Hallo 973,

Meinen konkreten Fragestellungen (Stichworte "Zitat" und - nach meiner Einschätzung noch interessanter - "Energie") bist Du jetzt aber geschickt ausgewichen ...

Gruß
SCR
_________________
Gruß
SCR

Das Festhalten an Überlieferungen ohne jeden Beweis nennt man Glaube.
-> Read the f***ing manual - finally.

[SCR]

Hallo pauli,

[973]

Ich weiche nicht aus, will aber nicht wiederkauen was wir schon woanders besprochen haben. Raum hat als inherente lokale Eigenschaft zBsp seine Geometrie inkl. der Krümmung. Deshalb braucht er aber nicht stofflich zu sein. Auch bewirkt eine Energie am Ort A, eine Krümmung des leeren Raumes an einem anderen Ort B (dh die Krümmung bei B benötigt keine Energie oder Verstofflichung bei B selbst).

Du könntest dich auch allmählich mal von der Idee lösen, das für Eigenschaften des Raumes ein Träger vorhanden sein muß. Es mag zwar Austauschteilchen geben , gelegentlich denen sich bestimmte Kräfte oder auch Eigenschaften des Raumes zeigen - das die dafür ursächlich sind, ist jedoch nicht bewiesen. So äusert sich die Lichtgeschwindigkeit zBsp hauptsächlich bei der Betrachtung von Emission und Absorption von Photonen, sie hat jedoch ihrem Wesen nach nichts direkt mit dem Licht zu tun, noch ist es eine normale Geschwindigkeit, sondern eine Eigenschaft von Raum und Zeit (meiner persönlichen, nicht der anerkannten Physik angehörigen Meinung nach, so etwas wie eine Ausdehnung des Raumes im Verhältnis zur Zeit, und sie tritt beim Licht nur deswegen formal als Geschwindigkeit auf, weil es vor der Absorption nicht vollständig lokalisierbar ist). Auch daß du eine Beschleunigung in deinem eigenen (fortwährend als dein Ursprung renormierten) System spürst, und sie selbst sehr lange fortgesetzt, du relativ zu keinem anderen Objekt jemals c erreichen kannst, was wir physikalisch als Trägheit auffassen, geht bereits als eine lokale Eigenschaft des Raumes, nämlich ist bereits durch die Metrik quadratischer Form und ihre Transformationseigenschaften (darstellbar zBsp durch die LT für Zeit und Ort, oder aber für Energie und Impuls, wonach bei schon groser Relativgeschwindigkeit jede weitere Zunahme geben c hin immer schwerer wird, und i.Ü. c relativ zu einem Objekt auch c relativ zu allen anderen implizieren würde, und dies in endlicher Zeit und mit endlicher Energie nicht möglich ist) lokal sichergestellt, ohne daß man ferne Massen , Fernwirkung usw braucht

[SCR]

Hallo 973,

[973]