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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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 Verfasst am: 17.08.2010, 17:47 Titel: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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Hallo zusammen,
es hat sich gezeigt, dass die relativistische Geschwindigkeitsaddition nicht jedem User bekannt ist.
Da auch ich mir die Details wieder erarbeiten muss, biete ich in diesem Thread an, diese Erarbeitung gemeinsam zu tätigen. Ich werde dabei dem Originaltext Albert Einstein's folgen und mich aus Gründen der Übersichtlichkeit auch nicht ablenken lassen, d.h. "ähnliche" Fragestellungen und Gedankengänge mögen bitte nach spätestens 3 Beiträgen in einen anderen Thread ausgelagert und dann dort intensiver besprochen werden.
Zu diesem konkreten Thread haben mich die Diskussionen mit Kurt motiviert, zumal er den Wunsch nach einer Hilfestellung bei den Grundlagen geäussert hat, deswegen wende ich mich direkt an ihn und werde ihn auch ansprechen. Das soll aber in keinster Weise heissen, dass andere User in diesem Thread unerwünscht seien.
Albert Einstein leitet sich die relativistische Geschwindigkeitsaddition im § 5 "Additionstheorem der Geschwindigkeiten" her. Das findet man auf den Seiten 905 - 907 in o.g. Werk.
Wollen wir also ganz einfach am Beginn dieses Kapitels ansetzen und lesen, was da geschrieben steht.
1. Additionstheorem der Geschwindigkeiten, Seite 905
| Zitat: | In dem längs der X-Achse des Systems K mit der Geschwindigkeit v des bewegten Systems k bewege sich ein Punkt gemäß den Gleichungen:
xi = omega_xi * tau,
eta = omega_eta * tau,
zeta = 0,
wobei omega_xi und omega_eta Konstanten bedeuten. |
Wir treffen hier auf sehr viele Variable und wissen zunächst einmal gar nicht, was diese überhaupt bedeuten.
Damit die geneigte Leserschaft nicht unnötig herumsuchen muss, will ich die zugrundeliegenden Definitionen mit Quellenangabe liefern.
2. Verwendete Begriffe
In § 3 (Seite 897) wird die Lorentztransformation hergeleitet und dabei werden auch diese Begriffe eingeführt.
| Zitat: | | Seien im „ruhenden“ Raume zwei Koordinatensysteme, d.h. zwei Systeme von je drei von einem Punkte ausgehenden, aufeinander senkrechten starren Linien, gegeben. Die X-Achsen beider Systeme mögen zusammenfallen, ihre Y- und Z-Achsen bezüglich parallel sein. Jedem Systeme sei ein starrer Maßstab und eine Anzahl Uhren mitgegeben, und es seien beide Maßstäbe sowie alle Uhren beider Systeme einander genau gleich. |
Hiermit sind nun also zwei Koordinatensysteme definiert.
| Zitat: | | Es werde nun dem Anfangspunkte des einen der beiden Systeme (k) eine (konstante) Geschwindigkeit v in Richtung der wachsenden x des anderen, ruhenden Systems (K) erteilt, welche sich auch den Koordinatenachsen, dem betreffenden Maßstabe sowie den Uhren mitteilen möge. |
Etwas altmodisches Deutsch; man hat also 2 Koordinatensysteme, die in konstanter Geschwindigkeit zueinander stehen. Da man bei der Wahl von Koordinatensystemen gewisse Freiheiten hat, kann man diese geschickt wählen und in diesem Falle wählt man sie also so, dass die Bewegungsrichtung gerade mit der X-Achse zusammenfällt und die beiden anderen Achsen nicht betroffen sind.
Zum jetzigen Zeitpunkt gibt es noch viele Möglichkeiten, die Y- und die Z-Achse zu wählen, die drei müssen nur zueinander senkrecht sein. Ich erwähne das, weil weil wir das in Kürze benötigen werden.
| Zitat: | Jeder Zeit t des ruhenden Systems K entspricht dann eine bestimmte Lage der Achsen des bewegten Raumes und wir sind aus Symmetriegründen befugt anzunehmen, daß die Bewegung von k so beschaffen sein kann, daß die Achsen des bewegten Systems zur Zeit t (es ist mit „t“ immer eine Zeit des ruhenden Systems bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seinen.
Wir denken uns nun den Raum sowohl vom ruhenden System K aus mittels des ruhenden Maßstabes als auch vom bewegten System k mittels des mit ihm bewegten Maßstabes ausgemessen und so die Koordinaten x, y, z bez. xi, eta, zeta ermittelt. |
Nun kennen wir also die Ortskoordinaten des ruhenden Systems K – sie werden mit x, y und z bezeichnet sowie die Zeitkoordinate des ruhenden Systems – sie wird mit t bezeichnet.
| Zitat: | | Es werde ferner mittels der im ruhenden System befindlichen Uhren durch Lichtsignale in der in § 1 angegebenen Weise die zeit des ruhenden Systems für alle Punkte des letzteren bestimmt, in denen sich Uhren befinden; ebenso werde die Zeit tau des bewegten Systems für alle Punkte des bewegten Systems, in welchem sich relativ zu letzterem ruhende Uhren befinden, bestimmt durch Anwendung der im § 1 genannten Methode der Lichtsignale zwischen den Punkten, in denen sich die letzteren Uhren befinden. |
Einstein erläutert das ganze also recht genau; insbesondere ist nun auch die Zeit tau definiert.
Was haben wir nun ? Wir haben also 2 Koordinatensysteme, die ohne Einschränkung der Allgemeinheit in ihren X-Achsen zusammenfallen; das ruhende System wird als K bezeichnet, das mit konstanter Geschwindigkeit in X-Richtung bewegte System wird als k bezeichnet. Die übrigen Koordinatenachsen sind parallel.
Die Ortskoordinaten werden im ruhenden System K mit x, y und z bezeichnet und im konstant bewegten System k mit xi, eta und zeta.
Die Zeiten bzw. Zeitkoordinaten werden im ruhenden System K mit t und im konstant bewegten System k mit tau.
Also : System ruhend: K, System kontant bewegt: k; Orts- und Zeitkoordinaten im ruhenden System mit lateinischen Buchstaben und im bewegten System mit ähnlich aussehenden griechischen Buchstaben.
Nun ist alles definiert.
3. Fortsetzung Additionstheorem der Geschwindigkeiten
Nun kommt meine erste Frage:
Warum darf Einstein auf Seite 905 zeta = 0 setzen ?
Tipp: Warum darf man ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass in K und k die beiden X-Achsen zusammenfallen und was für eine geometrische Figur spannen zwei Geschwindigkeitsvektoren im Allgemeinen auf: Eine Gerade, eine Ebene oder einen Raum ?
Ich denke, das genügt für den Anfang. Wir sollten gerade am Anfang uns genügend Zeit nehmen, um die verwendeten Begriffe gut zu verstehen.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 17.08.2010, 19:29 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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| ralfkannenberg hat Folgendes geschrieben: | | Wir sollten gerade am Anfang uns genügend Zeit nehmen, um die verwendeten Begriffe gut zu verstehen. |
Hallo Ralf,
interessantes Thema, das aber besser in den Bereich "Relativitätstheorie für jedermann" passen würde. Ich persönlich würde das Additionstheorem grundsätzlich über eine einfache Lorentz-Transformation herleiten. Dort bekommt man das in ein paar Zeilen, aber ich weiß auch, dass man manchmal mehr Schritte als verständlicher empfindet (s. LT für Fußgänger)
Gruß |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 17.08.2010, 20:38 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: | | Dort bekommt man das in ein paar Zeilen |
Z.B.: Ein Massepunkt bewege sich in S' mit einer Geschwindigkeit $\beta' := w/c$ dann gilt $x_1'=\beta'x_0'$ und mit den zwei Formeln aus 8 folgt direkt:
\[
\gamma x_1 - \gamma \beta x_0 = \gamma \beta' x_0 - \gamma \beta \beta' x_1
\]
was sich leicht zu
\[
x_1 = \frac{\beta + \beta'}{1+\beta \beta'} x_0
\]
umformen läßt, und damit hat man schon das Gesetz für die Geschwindigkeitsaddition  .
Gruß |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 18.08.2010, 08:42 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: | Z.B.: Ein Massepunkt bewege sich in S' mit einer Geschwindigkeit $\beta' := w/c$ dann gilt $x_1'=\beta'x_0'$ und mit den zwei Formeln aus 8 folgt direkt:
(...)
umformen läßt, und damit hat man schon das Gesetz für die Geschwindigkeitsaddition . |
Hallo Bernhard,
dass Du Dir das in wenigen Schritten so herleiten kannst, ist mir klar. Dazu braucht es aber Grundkenntnisse, über die nicht jeder in dem Masse verfügt wie Du. Das ist ja auch der Grund, warum ich diesen Thread im "Sonstigen" und nicht in dem von Dir vorgeschlagenen Bereich platziert habe.
Ich vermute, dass Kurt schon den ersten Satz mit dem Massepunkt und dem S' nicht verstanden hat und zusätzlich von den Apostrophen in ß', x0' und x1' verwirrt wird - das werde ich übrigens auf den ersten Blick auch. Deswegen möchte ich tiefer ansetzen - Einstein übrigens setzt auch tiefer an.
Insgesamt denke ich wird es sowieso weniger darum gehen, die konkrete Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition herzuleiten, sondern vielmehr darum, das "Drumherum" zu verstehen.
Also was xi, eta, zeta, tau sind, was K und k bedeuten und dann die Frage, warum man zeta zu Null setzen darf. Muss zeta = 0 sein oder ist das nur ein Spezialfall oder darf man das ohne Einschränkung der Allgemeinheit machen, weil man Koordinatensysteme ja günstig wählen darf und solche Fragestellungen - das möchte ich in diesem Thread erarbeiten.
Wenn man diese Fragen sicher beantworten kann, ist der Rest letztlich "nur" noch eine Umformung gemäss einfacher mathematischer Regeln. Da steckt dann zwar noch genügend Arbeit dahinter, aber der Erfolg ist dann schon absehbar.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Kurt
Anmeldedatum: 05.05.2008
Beiträge: 482
Wohnort: Oberpfalz
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| Verfasst am: 18.08.2010, 19:09 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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Die Anordnung im -Raum-
.........k....................................................K
.........y.....................................................eta
.........|.....................................................|.............
.........|.....................................................|.............
.........|.....................................................|.............
.........|.....................................................|.............
.------X------.....................................------Xi------.......
.........z....................................................zeta
K = ruhend
k = bewegt
| Zitat: | | Jeder Zeit t des ruhenden Systems K entspricht dann eine bestimmte Lage der Achsen des bewegten Raumes und wir sind aus Symmetriegründen befugt anzunehmen, daß die Bewegung von k so beschaffen sein kann, daß die Achsen des bewegten Systems zur Zeit t (es ist mit „t“ immer eine Zeit des ruhenden Systems bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seinen. |
Fragen:
Was bedeutet Raum,
was bedeutet t
Gruss Kurt
_________________
Wir werden erst begreifen wie genial die Natur ist wenn wir erkennen wie einfach sie funktioniert |
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Artie
Anmeldedatum: 07.07.2010
Beiträge: 101
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| Verfasst am: 18.08.2010, 19:43 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
Fragen:
Was bedeutet Raum,
was bedeutet t
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Ich würde schätzen Raum ist das was in deinem Schädel ist, wo bei anderen Menschen das Gehirn lokalisiert ist.
und 't' steht warscheinlich für ZEIT (englisch t ime).
Alleine in dem zitierten Text wird das zweimal gesagt.
*facepalm*
Das mit der relativistischen Geschwindigkeitsaddition dürfte ne ganze Weile bei dir brauchen... |
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JoAx
Anmeldedatum: 28.04.2009
Beiträge: 62
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| Verfasst am: 18.08.2010, 20:15 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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Hi Leute!
Es gibt ja bekanntlich viele Wege nach Rom. Ralf möchte hier einen gehen. Und er möchte es zusammen mit Kurt tun. (@Kurt: lass JGC wissen, dass es ihm auch nicht schaden würde, wenn er sich da konstruktiv beteiligen würde.)
Unabhängig davon, wie man die Erfolgschancen dieses Vorhabens beurteilt, sollte man Ralf die Gelegenheit geben es so durchzuziehen, wie er es für richtig hällt, und ihn dabei nicht behindern. Gegen konstruktive Beiträge wird er mit Sicherheit nichts haben, ansonsten sollte man eher Zurückhaltung üben. Finde ich zumindestens. Sonst gibt es nach "Alberts rede ..." noch ein vollkommen sinnlos versämmelten Thread. Will das jemand?
imho.
@Kurt noch ein Mal:
Ich denke, du hast in deinem Diagramm 'K' und 'k' verwächselt.
Gruss, Johann |
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Kurt
Anmeldedatum: 05.05.2008
Beiträge: 482
Wohnort: Oberpfalz
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| Verfasst am: 18.08.2010, 20:38 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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| Relativist hat Folgendes geschrieben: | | Kurt hat Folgendes geschrieben: |
Fragen:
Was bedeutet Raum,
was bedeutet t
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Ich würde schätzen Raum ist das was in deinem Schädel ist, wo bei anderen Menschen das Gehirn lokalisiert ist.
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Jaja, mein Schädel, ob nun hohl oder nicht, hat einen Raum, besser gesagt: stellt Raum zur Verfügung.
Raum für das was nicht drin ist.
Darum hab ich ja gefragt was Raum ist.
Schliesslich meint man im allgemeinen dass es sich bei "Raum" um eine umgrenzte, äh was nun, handelt.
Was also begrenzt/speziviziert/kennzeichnet/bestimmt/legt fest, den Raum bei Alberts Beschreibung.
Was ist das was Albert mit Raum meint?
| Relativist hat Folgendes geschrieben: |
und 't' steht warscheinlich für ZEIT (englisch t ime).
Alleine in dem zitierten Text wird das zweimal gesagt.
*facepalm*
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Ob etwas zweimal gesagt oder dreimal gesagt wurde, ist nicht wichtig.
Was ist Zeit, was ist das?
| Relativist hat Folgendes geschrieben: |
Das mit der relativistischen Geschwindigkeitsaddition dürfte ne ganze Weile bei dir brauchen... |
Rom wurde auch nicht an einem Tag erbaut.
Gruss Kurt
_________________
Wir werden erst begreifen wie genial die Natur ist wenn wir erkennen wie einfach sie funktioniert |
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JoAx
Anmeldedatum: 28.04.2009
Beiträge: 62
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| Verfasst am: 18.08.2010, 20:49 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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Hallo Kurt!
| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
Was ist das was Albert mit Raum meint?
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Das, was sich zwischen zwei oder mehr materiellen (ponderablen) Punkten befindet.
| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
Was ist Zeit, was ist das?
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Das, was eine Uhr anzeigt.
Gruss, Johann |
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Kurt
Anmeldedatum: 05.05.2008
Beiträge: 482
Wohnort: Oberpfalz
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| Verfasst am: 18.08.2010, 21:04 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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| JoAx hat Folgendes geschrieben: |
| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
Was ist das was Albert mit Raum meint?
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Das, was sich zwischen zwei oder mehr materiellen (ponderablen) Punkten befindet.
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Und was befindet sich zwischen Materie (Punkte können keine Materie sein)?
| JoAx hat Folgendes geschrieben: |
| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
Was ist Zeit, was ist das?
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Das, was eine Uhr anzeigt.
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Gut Johann, was zeigt eine Uhr an?
Gruss Kurt
_________________
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JoAx
Anmeldedatum: 28.04.2009
Beiträge: 62
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| Verfasst am: 18.08.2010, 21:49 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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Hallo Kurt!
Ich wusste und weiss, dass dich diese Antworten nicht ausschöpfend befriedigen können. Aber
| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
Und was befindet sich zwischen Materie (Punkte können keine Materie sein)?
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das ist für die momentan anstehenden Betrachtungen irrelevant.
| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
Gut Johann, was zeigt eine Uhr an?
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Eine zeitliche "Entfernung". Auch das wird dich im Moment nicht befriedigen, ich weiss, hat bei mir auch mehr Fragen erzeugt, als Antworten. Aber merke sich das für die Zukunft vor, vlt. kannst du es später selbst beantworten.
Noch folgende Anregung vlt.:
In eine mathematische Formel kann nur etwas eingehen, was auch vermessen werden kann. Und wir Menschen haben keine anderen Möglichkeiten Raum zu vermessen, als mit Hilfe von Materie. Sobald man es aber tut, geht dein "Raum" (ganz ohne "Wände") flöten, denn selbst ein Elektron stellt eine Art "Wand" dar. Und ohne zu Vermessen, ist dieser "Raum" (ich hätte es schön unwissenschaftlich als - "Platz" bezeichnet  ) nichts Wert. Das Selbe gilt für die Zeit. Eine Uhr stellt ein Vermessungsinstrument dar, genau wie ein materieller Meterstab ein Vermessungsinstrument dar stellt. Nicht mehr und nicht weniger. Und! Sie ist auch materiell. 
Gruss, Johann
PS: Bin für etwas mehr als eine Woche weg. Viel Spass hier noch allen. |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 19.08.2010, 08:37 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
.........y.....................................................eta
.........|.....................................................|.............
.........|.....................................................|.............
.........|.....................................................|.............
.........|.....................................................|.............
.------X------.....................................------Xi------.......
.........z....................................................zeta
K = ruhend
k = bewegt |
Hallo Kurt,
auch wenn ich es so vielleicht nicht darstellen würde, so erscheint mir Dein Bild ein guter Ansatz zum besseren Verständnis zu sein. Ich vermute, mit der untersten Zeile, also die mit z und zeta, möchtest Du andeuten, dass diese senkrecht aus der Ebene herauskommt. Wenn dem so ist, ist das korrekt.
Dein Bild enthält aber noch einen kleinen Fehler, auf den Du hingewiesen wurdest.
Ich möchte, dass Du zuerst diesen kleinen Fehler korrigierst und Dein Bild nochmals korrigiert malst und dann können wir weitermachen.
| Kurt hat Folgendes geschrieben: | Fragen:
Was bedeutet Raum, |
Raum ist hier der Einfacheit halber ein mathematischer Vektorraum.
| Kurt hat Folgendes geschrieben: | | was bedeutet t |
Das kannst Du im o.g. Original finden:
| Zitat: | | Jeder Zeit t des ruhenden Systems K entspricht dann eine bestimmte Lage der Achsen des bewegten Raumes und wir sind aus Symmetriegründen befugt anzunehmen, daß die Bewegung von k so beschaffen sein kann, daß die Achsen des bewegten Systems zur Zeit t (es ist mit „t“ immer eine Zeit des ruhenden Systems bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seinen. |
Umd sicherzugehen, dass Du nichts übersehen hast:
Was bedeutet "tau" ?
Freundliche Grüsse, Ralf |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 19.08.2010, 08:48 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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| Kurt hat Folgendes geschrieben: | | Was ist Zeit, was ist das? |
Hallo Kurt,
was Albert Einstein unter Zeit versteht, kannst Du ebenfalls in der Originalarbeit nachlesen, § 1 "Definition der Gleichzeitigkeit" ab Seite 892. Ich empfehle, das aber nur ideenhaft zu lesen und die Formeln vorerst zu ignorieren, da wir das vermutlich nicht benötigen werden.
Wenn Du das gelesen hast und Dir danach nochmals Johann's Erläuterungen anschaust, wird es Dir vermutlich klarer sein.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Artie
Anmeldedatum: 07.07.2010
Beiträge: 101
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| Verfasst am: 19.08.2010, 13:34 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
Darum hab ich ja gefragt was Raum ist.
...
Rom wurde auch nicht an einem Tag erbaut.
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Ich bedauere meinen Ausbruch und möchte mich aufrichtig bei dir und Ralf Entschuldigen. Das war blöd.
Ich stell mich jetzt ins Eck und setz die Narrenkappe auf. |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 19.08.2010, 13:41 Titel: Re: Herleitung relativistische Geschwindigkeitsaddition |
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| Relativist hat Folgendes geschrieben: | | Ich bedauere meinen Ausbruch und möchte mich aufrichtig bei dir und Ralf Entschuldigen. Das war blöd. |
Hallo Relativist,
bei mir ?! - Ich sehe wirklich nichts, wofür auch nur irgendwie ansatzweise ein Anlass für eine Entschuldigung bestehen würde.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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