Lineares und Nicht-Lineares Wachstum

[ralfkannenberg]

Aus dem LHC-Watchblog abgetrennte Diskussion.
BM


Hallo zusammen,

ich habe gerade noch folgendes - wenngleich auch wenig bedeutsames - Detail gefunden:

Otto E. Rossler | Antwort auf die Frage warum Miniaturkleine Schwarze Löcher schneller als von G&M berechnet Masse-Energie akkretieren können

[zeitgenosse]

[ralfkannenberg]

[zeitgenosse]

[Orbit]

zeitgenosse
Dann pflichtest Du Rössler also bei, dass auch Quantensysteme selbstorganisierte chaotische Systeme seien?
Ralf hat ja den Finger auf das Wort 'immer' gelegt.
Und in diesem Wort steckt gerade der Ansatz zu Rösslers fataler Interpretation der Quantentheorie, welchen ich weiter oben kritisiert habe.
Orbit

[mac]

Hallo,

[richy]

Hi Ralf
Nur sind deine Gegenbeispiele x^r keine Exponentialfunktionen sondern Potenzfunktionen, die sich auch nicht in eine Exponentialfunktion der Form wie sie zg angegeben hat umwandeln lassen.
Die Quadratwurzelfunktion ist ebensowenig wie das Quadrat des Arguments eine exponential-, natuerliche Wachstumsfunktion !

Zwar kann es fuer f(x)=exp(a*x)-b*x ein Intervall geben, in dem f(x)<0 gilt, d.h. in dem die lineaere Funktion groesser ist. Es existiert aber stets eine obere Grenze, ab der die Exponentialfunktion groesser ist. Ueber die Ableitung kann man dies begruenden.

Fuer die Steigungen selbst, kann man die Grenze sogar ohne LambertW Funktion angeben.
a*exp(a*x)=b, x=ln(b/a)/a
Der Ausdruck "immer" ist zwar ungenau, es laesst sich aber immer eine Grenze angeben, ab der die Exponentialfunktion schneller waechst als die lineare Funktion.
Nicht nur bei Kettenbriefen wird das ueberproportionale Wachstum, das fuer kleine x noch unscheinbar wirken mag, unterschaetzt.
Aufgrund ihrer Eigenschaften laesst sich eine exp-Funktion auch nicht kompensieren. Das funktioniert nur auf dem Blatt Papier. In der Praxis nicht.

Gruesse

[ralfkannenberg]

[richy]

Dass die Exponentialfunktion ab einer Grenze immer schneller waechst als eine Potenzfunktion kann man sich ebenfalls ueber die Ableitungen recht einfach herleiten.
Fuer den Ingenieur spoelen bei Stabilitaetsbetrachtungen daher auch nicht Potenzfunktionen, sondern die Exponentialfunktion die entscheidende Rolle. Wobei dies natuerlich auch an deren zugrundeliegender DGL liegt.

Wenn Prof. Roessler somit von 50 Jahren oder 1e9 Jahren spricht, die aus der Luft gegriffen sind, bezieht sich dies auf die Eigenschaften von Systeme mit exponentiellem Wachstum. Das astronomische Argument kann er damit alleine allerdings nicht entkraeftigen.

[richy]

Hi Ralf
Dass der Ausdruck "immer" auch bei exponentiellem Wachstum nicht zutreffend ist, habe ich bestaetigt.
Die einigste Funktion die mathematisch die Linearitaetsbedingung erfuellt lautet f(x)=a*x. Alle anderen Funktionen sind nichtlinear. Damit haettest du auch die Funktion f(x)=sin(w*x) als Gegenbeispiel angeben koennen.
Oder f(x)=0. Auch diese Funktion ist in mathematischem Sinne nichtlinear.
Blos welchen Sinn sollte dies haben ?
x^r und r^x kann man schon mal verwechseln. Das macht doch nichts.

[zeitgenosse]

[ralfkannenberg]

[zeitgenosse]

[Orbit]

[zeitgenosse]