Kannenbergsche Protoarithmetik

[ralfkannenberg]

[Uli]

[ralfkannenberg]

[Erik]

[ralfkannenberg]

[Erik]

Hi Ralf, also ich bin ganz sicher kein Fachmann, schon gar nicht für solche abstrakte
Algebra.

Also wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, hast du eine Art induktive Menge (geordnet
reicht wohl nicht, oder?) mit einer Art Hierarchie von Rechenoperationenen, so daß, salopp
gesagt, n-fache Anwendung der "Prä-Addition" einfache Addition ergibt. n-fache Anwendung der
"Prä-Prä-Addition" ergibt "Prä-Addition" etc. und zu jeder dieser Rechenarten eine
"verallgemeinerte" Metrik (Was genau ist der Unterschied zu einer Metrik?)?

Also formal etwa sowas:

\[ (n+x)\ \text{prä}+ x = \text{Nachfolger}(n) + x \]

(Analog zu $ n\cdot x + x = \text{Nachfolger}(n)\cdot x $)

und so weiter:

\[
(n\ \text{präprä}+ x)\ \text{prä}+ x = \text{Nachfolger}(n)\ \text{prä}+ x,
\text{etc.} \]

Also ich könnte jetzt auf Anhieb nicht sagen, ob das Blödsinn ist. Das mit den neutralen
Elementen und Inversen ist vielleicht nicht so einfach. Kommt wohl sicher auf den
Zusammenhang zwischen + und prä+ an, gilt z.B. ein Distributivgesetz, wie bei + und $ \cdot $?
Dazu müßtest du halt mal die genauen Axiome posten.

Gibt es denn ein (möglicherweise triviales) Modell für diese Axiome, das zumindest
Widerspruchsfreiheit zeigt?

[Karl]

Diskussion zur Theorie der Kannenbergschen Protoarithmetik vom Thread "cranks" und "crank-haunter" abgetrennt und hier als neuen Thread eingerichtet.

Karl, 1.5.2008, 10:15
_________________
„Wo ist meine kleine gelbe Chinalackdose?“ Der ganz normale Wahnsinn

[ralfkannenberg]

[richy]

Hi Ralf
Rein formal gibt es doch auch die Moeglichkeit durch logarithmieren eine "Prae" Operation zu gewinnen.
So gilt
log(x^k)=x*log(k)
log(x*y)=log(x)+log(y)
Geht deine Betrachtung letztendlich auch auf die Fragestellung hinaus ob es eine Vereinfachung gibt fuer :
log(a+b) ?
Ich haette mir eine solche schon des oefteren gewuenscht

[Erik]

Hallo Ralf,

das Problem ist, daß du scheinbar implizit alle möglichen Axiome der natürlichen Zahlen annimmst,
von denen einige vermutlich in deiner Theorie nicht gelten können.

Ich versuche mal zu präzisieren, indem ich von vornherein soweit es geht alles Vorwissen über
natürliche Zahlen rauslasse, sonst bringt man nur die Folgerungen aus den eigenen Axiomen mit
dem durcheinander, was man schon über natürliche Zahlen weiß. Korrigiere mich, wenn ein Axiom
nicht deiner Theorie entspricht.

\(
Also wir starten mit einer Menge $M$, und einer Funktion $\nu : M \rightarrow M$, die
wir "Nachfolgeoperator" nennen. Typischerweise verlangt man (nach den Peano-Axiomen)

1) Für alle $x\in M$ existiert ein $y\in M$, so daß $y=\nu(x)$ (Jede Zahl hat einen Nachfolger--ist nur eine
Formalität und folgt schon, weil $\nu$ eine Funktion auf $M$ ist) und
2) Für alle $x,y\in M$: wenn $\nu(x) = \nu(y)$ dann $x=y$ (jede Zahl ist Nachfolger höchstens einer Zahl.)
\)

(Für Peano müßte auch noch gelten, daß eine Zahl vorhanden ist, die nicht der Nachfolger einer
Zahl ist, aber das brauchen wir ja eigentlich nicht, die natürlichen Zahlen sind ja sowieso
schonmal zu klein.)

Ich vermute 2) wirst du im allgemeinen ablehnen. Du müßtest dann aber $ \nu $ wahrscheinlich anders
charakterisieren, sonst haben wir schon mal einen Haufen trivialer Fälle am Hals.

Jetzt definieren wir Rechenarten $ \circ_i: M\times M \rightarrow M$ ($i\in N $ (?)), so daß

\(
3) Es existiert ein $e_i\in M$, so daß für alle $n\in M$: $e_i\circ_i n = n$

4) Für alle $n, x\in M$ $(n \circ_{i-1} x)\circ_i x =\nu(n)\circ_{i-1}x$
\)

Dies ist erstmal allgemeiner als deine

[ralfkannenberg]

[ralfkannenberg]

Hallo Erik,

Dein Beitrag ist so reich, dass ich ihn mir nicht so rasch vor der Arbeit anschauen kann; das mache ich am Wochenende. Herzlichen Dank für Deine Mühe

Aber ein paar Kleinigkeiten vorweg:

[Erik]

Hallo Ralf,

du darfst die ltex-tags nicht auseinanderreißen, sonst wird der Beitrag verstümmelt.

[ralfkannenberg]

Hallo Erik,

ich fürchte, im Augenblick reden wir aneinander vorbei. Vielleicht habe ich zuviel "Resultate" genannt, die sich ergeben.

Lass uns vorne anfangen:

Schritt 1: Definition der Grundrechenarten
Schritt 2: Postulat des Neutralelementes für alle Grundrechenarten mit genügend grossem Index
Schritt 3: Postulat gewisser inverser Elemente sowie Metrik-Verallgemeinerung

Bleiben wir also klassisch, noch keine Theorie, und betrachten wir nur Schritt 1, d.h. diese Grundrechenarten.

Ausgehend von der Gültigkeit der Addition, Multiplikation und des Potenzierens möchte ich gerne wissen, wie die anderen Grundrechenarten aussehen.

Die Motivation für diese Definitionen liefern folgende Gleichungen:

Multiplikation aus Addition:
x + x = x * 2
x + x + x = x * 3
x + x + x + x = x * 4 u.s.w, d.h. allgemein:

x + x = x * 2
x + (x*n) = x * (n+1)

Potenzieren aus Multiplikation:
x * x = x ^ 2
x * x * x = x ^ 3
x * x * x * x = x ^ 4 u.s.w, d.h. allgemein:

x * x = x ^ 2
x * (x^n) = x ^ (n+1)


Analog für Post-Potenzieren aus Potenzieren:
x ^ x = x post^ 2
x ^ (x^x) = x post^ 3
x ^ (x^(x^x)) = x post^ 4 u.s.w, d.h. allgemein:

x * x = x post^ 2
x * (x post^ n) = x post^ (n+1)


Analog für Addition aus Prä-Addition:
x prä+ x = x + 2
x prä+ (x prä+ x) = x + 3
x prä+ (x prä+ (x prä+ x)) = x + 4 u.s.w, d.h. allgemein:

x prä+ x = x + 2
x prä+ (x+n) = x + (n+1)


Analog für Prä-Addition aus Prä-Prä-Addition:
x präprä+ x = x prä+ 2
x präprä+ (x präprä+ x) = x prä+ 3
x präprä+ (x präprä+ (x präprä+ x)) = x prä+ 4 u.s.w, d.h. allgemein:

x präprä+ x = x prä+ 2
x präprä+ (x prä+ n) = x prä+ (n+1)

Man bemerke, dass man im Allgemeinen die Klammern richtig setzen muss !

Nennen wir diese Grundrechenarten v_j, dann haben wir also:

Grundrechenart v_{j-1} aus Grundrechenart v_j:
x v_j x = x v_{j-1} 2
x v_j (x v_j x) = x v_{j-1} 3
x v_j (x v_j (x v_j x)) = x v_{j-1} 4 u.s.w, d.h. allgemein:

x v_j x = x v_{j-1} 2
x v_j (x v_{j-1} n) = x v_{j-1} (n+1)

(Ich hoffe, ich habe jetzt nicht irgendwo einen Copy/Paste-Error erzeugt ...)

So erhalte ich also eine "Kette" von Grundrechenarten, und ich habe die folgendermassen "normiert":

(...)
j = 2 Prä-Prä-Addition
j = 1 Prä-Addition
j = 0 Addition
j = -1 Multiplikation
j = -2 Potenzieren
j = -3 Post-Potenzieren
(...)

Während Addition, Mulitplikation und Potenzierenja hinlänglich bekannt sind, habe ich nun also diese "neuen" Grundrechenarten untersucht, also zunächst einmal ganz konkret das Post-Potenzieren sowie die Prä-Addition, die Prä-Prä-Addition u.s.w. u.s.w.

Es zeigt sich, dass von diesen Grundrechenarten nur die Addition und die Multiplikation assoziativ und auch kommutativ sind; ebenso haben auch nur diese beiden ein Neutralelement, welches für alle Elemente (in IR) gültig ist.

Überdies zeigte sich, dass ich bei der Prä-Addition Ausdrücke der Form x prä+ (x+1) nicht angeben kann, bei der Prä-Prä-Addition sind es Ausdrücke der Form x präprä+ (x+1) sowie x präprä+ (x+2).

Natürlich kann man versuchen, diese Grundrechenarten irgendwie fortzusetzen und in diese offenen Bereiche irgendetwas hineinzudefinieren, ich sehe aber keinen Grund, das zu tun, zumal man dazu Zusatzannahmen benötigen würde; obendrein bezweifle ich, dass das überhaupt konsistent möglich ist.


Für den Moment mal bis hierher, ich habe noch keine besonderen Elemente axiomatisch gefordert, ich bewege mich nach wie vor auf IR und ich nutze auch die normale Metrik.

Bist Du bis hierhin einverstanden, d.h. bist Du mit der Definition dieser Grundrechenarten einverstanden ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Erik]