Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten

[Ich]

Behauptung: ohne Metrik und so kommt man lokal auf die Zeitdilatation durch Gravitation:
Gegeben: Zwei Uhren in Gravitation g, in Höhe h übereinander.
1. Postulat (Äquivalenz): Situation = zwei gleich beschleunigte Uhren mit konstantem Abstand h. "gleich beschleunigt" relativiert sich noch, der konstante Abstand langt erst mal).
2. Postulat (Relativität): Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung der Uhren beschreiben als:
Uhr 1: x = g/2 t²
Uhr 2: x = g/2 t² + h
(Natürlich nur solange dx/dt<<c)
3. Postulat (Konstanz LG): Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung von Lichtpulsen beschreiben mit:
Licht: x = ct

Wir schicken Lichtpulse von unten nach oben, zum Beispiel:
Puls 1: x = ct+h
Puls 2: x= ct

Wie groß ist der zeitliche Abstand der Pulse?

Oben:
\[dt2=\frac{c}{g}(1-\sqrt{1-\frac{2gh}{c^2}})\]
Unten:
\[dt1=\frac{c}{g}(1-\sqrt{1+\frac{2gh}{c^2}})\]

Oder, in erstbester Näherung:

Oben:
$dt2=\frac{h}{c}(1+\frac{gh}{2c^2})$
Unten:
$dt1=\frac{h}{c}(1-\frac{gh}{2c^2})$

oder, in selber Näherung:

dt2/dt1 = 1 + gh/c²

Weil das zu jedem Zeitpunkt so ist, kann man auf Zeitdilatation schließen.

Beispiel:
Uhr 2 geht nach oben (dauert nicht lang) und kommt erst wieder runter, wenn von Uhr 1 10^x Pulse eingetroffen sind (dauert sehr lang).
Dann kann man die reinen Geh- und Signallaufzeiten vernachlässigen und stellt fest:

Uhr 2 geht, es vergehen für Uhr 1 z.B. 10000 Jahre, Uhr 2 ist wieder da.
Für Uhr 2 sind aber definitv 10000 Jahre * (1+gh/c²) vergangen.

(Anmerkung: Mit dem unterschiedlichen Zeitverlauf wird das "gleich" beschleunigt zu "ausreichend gleich" beschleunigt, der Effekt ist aber von höherer Ordnung.)

[pauli]

hm, und ist das jetzt gut oder schlecht

[Uli]

Hi Ich,

wenn ich recht verstehe, argumentierst du lediglich, dass die beiden Beobachter unterschiedliche zeitliche Abstände zwischen den Pulsen messen. Ich sehe nicht, dass da zwingend Zeitdilatation ins Spiel kommt.

Gruß,
Uli

[Joachim]

Hi Uli,

[Ich]

[pauli]

klingt gut (bis auf die 1jährige Verrechnungsphase)

Kurt ist mit der Rettung seines universellen Taktstocks beschäftigt, das wird wohl noch paar Äonen dauern

[Uli]

[FrankSpecht]

Moin, Uli,

[Uli]

[Erik]

[Erik]

[Erik]

Menno, doch noch mal zur Näherung. Ist heut nicht mein Tag. Also ich setze
$ |x| = {2gh\over c^2} $. Und entwickle

\[ dt_{1/2} = {c\over g}\left( 1 - \sqrt{1+x}\right) \approx {c\over g}\left( 1 - \left[ 1 + {x\over 2} - {x^2\over 8}\right]\right) = {c\over g}\left( -{x\over 2} + {x^2\over 8}\right)
\]

Bei dt1 ist $ x = +{2gh\over c^2} $ und damit doch

\[ dt_1 \approx {h\over c}\left( -1 + {gh\over 2c^2}\right). \]

Das ist im Gültigkeitsbereich der Näherung $ |x|<1 $ negativ. Kann es sein, daß die Wurzel in dt1 das falsche Vorzeichen hat?
Dann kommt aber irgendwie was ganz anderes raus.

[Ich]

Was ich mache:

Ich gehe ins momentan mitbewegte Inertialsystem. Für gh<<c² sind alle Geschwindigkeiten darin beliebig klein, und ich kann ganz einfach nach Newtonscher Mechanik rechnen, es gibt keine Schwierigkeiten mit Gleichzeitigkeit und Zeitdilatation, SRT brauch ich nicht.
In diesem System habe ich die beiden Uhren auf ihren Bahnen (nach oben offene, übereinanderliegende Parabeln).
Noch zwei Lichtstrahlen dazu, im Diagramm von links unten nach rechts oben.
Der erste trifft Uhr1 bei t=0, der zweite trifft Uhr 2 bei t=0.
Jetzt kann man schon am Diagramm erkennen, dass die Zeitabstände, in denen die Strahlen auf Uhr1 bzw. Uhr 2 treffen, unterschiedlich sind.
Das rechne ich nur noch aus.

[Ich]

Noch was:

[Erik]