Meine privaten Sorgen

[thomas_x]

Hallo,

für eine Anwendung in der Computergraphik möchte ich eine allgemeine Drehmatrix in Drehungen um die Koordinatenachsen zerlegen. Leider steh ich total auf dem Schlauch. Wenn das jemandem hier leicht fällt, wärs nett wenn er mich nicht dumm sterben läßt. Danke im vorraus.

[Uli]

Eine Möglichkeit sind die Eulerschen Winkel

Wenn du eine Matrix vorliegen hast, bekommst du mehr Bestimmungsgleichungen als genug für diese 3 Winkel.

Gruß, Uli

[zeitgenosse]

Es gibt verschiedene Wege zur Beschreibung der räumlichen Orientierung wie die bereits genannten Eulerwinkel oder aber auch die Hamiltonschen Quaternionen. In der Robotik bedient man sich zur Berechnung kinematischer Ketten gerne der Denavit-Hartenberg-Konvention sowie der Jakobi-Matrizen.

Ganz simpel und für Einsteiger:

Für Rotationen, Skalierungen und Verschiebungen im euklidischen 3D-Raum werden 4x4-Matrizen benötigt:

http://www.datacomm.ch/chs/Container/Mathematik/3d_matrizen.jpg
entnommen aus:
3D-Programmierung mit Delphi von H.-G. Schumann

DirectX erledigt dann den Rest.

Gr. zg

[lazyjones]

Ich schlage folgendes vor: Man multipliziert die drei "normalen" Drehmatrizen (http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_R.C2.B3) miteinander. Für die erste Drehmatrix nennt man den Winkel a1, für die zweite Matrix a2 und für die dritte a3.
Heraus kommt natürlich eine 3x3 Matrix mit komplizierten Einträgen.

Jetzt kann man vermutlich durch Vergleich der einzelnen Matrixelemente auf die Winkel a1, a2 und a3 schließen, so dass die Kette der drei Drehmatrizen eindeutig festgelegt ist.

Es würde die Rechnung sicherlich etwas übersichtlicher gestalten, wenn man sin(a1) == sa1, cos(a1)== ca1, sin(a2) == sa2, cos(a2)== ca2,sin(a3) == sa3, cos(a3)== ca3 abkürzt.

Edit:
Wie ich gerade sehe, hat Uli einen Link gesetzt, in dem das bereits multipliziert wurde:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel#Luftfahrtnorm_.28DIN_9300.29_.28Yaw-Pitch-Roll.2C_Z.2CY.E2.80.99.2CX.E2.80.99.E2.80.99.29

[thomas_x]

Hi Lazyjones,

das ist zwar der 'harte' Weg, aber anscheinend der einzig gangbare. Übrigens kriege ich 4x4 Matritzen, da ich in homogenen koordinaten rechne. Das macht aber fast keinen zusätzlichen Aufwand.

Danke für alle Antworten!

[lazyjones]

Gern geschehen!

Übrigens habe ich durch dein Posting jetzt mal nachgesehen was denn homogene Koordinaten sind. Wow, hab' ich mal wieder was gelernt. Danke!

[thomas_x]

Homogene Koordinaten sind in der Computergraphik total nützlich. Wenn Du -wie ich- in OpenGL programmierst, begegnen Sie dir auf Schritt und Tritt.

Ich hab mir in Maxima die allgemeine Rotationsmatrix aus Rotationen um die Koordinatenachsen herbeimultipliziert. Ich erhalte durch Koeffizientenvergleich ein nichtlineares Gleichungssystem mit 6 unbekannten (je sin und cos der 3 Winkel), das ich mit Newton-Raphson numerisch angehe. Mal schauen, ob das klappt... Das Dumme ist, das ich in C++ programmieren muß und für Numerik aber lieber Fortran90 nehme.

[lazyjones]

Ich habe mit Grafikprogrammierung und insbesondere OpenGL noch nie etwas zu tun gehabt.

Zunächst mal verstehe ich jetzt nicht, warum das Gleichungssystem nichtlinear ist. Der Link den ich gesendet hatte war doch linear in sin(x) und cos(x)!?
Weiterhin könnte es vielleicht numerisch was bringen, sin(x) durch cos(x) auszudrücken, da die nicht unabhängig sind wären es nur noch 3 Unbekannte.

Ich denke, dass man die Lösung exakt hinschreiben kann ohne aufwändige Numerik.

[thomas_x]

[Ich]

Du hast immer mindestens einen Wert (cos oder sin), den du einfach ablesen kannst. Tu das einfach und arbeite dich der Reihe nach durch.

[thomas_x]

[thomas_x]

Ich habs. Es funktioniert auch schon Nochmals Danke an alle!!!

[Ich]

Ich behaupte jetzt einfach mal, dass das Vorzeichen von ca2 frei wählbar ist.

[thomas_x]