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Ich
Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624
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 Verfasst am: 18.06.2008, 09:16 Titel: Ergänzung: Schwarzschild - Rindler |
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Schwarzschildmetrik:
$ds^2=-(1-\frac{r_0}{r})dt^2+\frac{1}{1-\frac{r_0}{r}}dr^2 $
ist gleich
$ds^2=-(1-\frac{r_0}{r+y})dt^2+\frac{1}{1-\frac{r_0}{r+y}}dy^2 $
wird für $y<<(r-r_0)$ zu:
$ds^2=-(1-\frac{r_0}{r}+\frac{r_0}{r^2}y)dt^2+\frac{1}{1-\frac{r_0}{r}+\frac{r_0}{r^2}y}dy^2$
Obacht: diese Metrik ist flach, ab jetzt sind wir im Tangentialraum.
Ich ersetze noch die y-Koordinate durch ein vernünftiges Maß x:
$dx=ds=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{r_0}{r}+\frac{r_0}{r^2}y}}dy$ (bei dt=0)
bzw.
$x=2\frac{r^2}{r_0}\sqrt{1-\frac{r_0}{r}+\frac{r_0}{r^2}y}$ .
Eingesetzt in die Metrik gibt:
$ds^2=-(4\frac{r_0^2}{r^4}y^2)dt^2+dx^2$
Das ist die Rindler-Metrik.
Rindler-Koordinaten sind also lokal isotherm zu Schwarzschild-Koordinaten im Tangentialraum.
Das ist natürlich keine zufällige formale Ähnlichkeit, sondern das Wesen der Gravitation: Ein Beobachter kann nicht unterscheiden, ob er im Gravitationsfeld oder in einem beschleunigten Bezugssystem ruht - sofern Gezeiteneffekte unterhalb der Messgenauigkeit sind.
Man sieht also, dass es nicht zwei verschiedene Sorten Zeitdilatation gibt; man sieht auch, dass Raumzeitkrümmung nichts mit der Zeitdilatation direkt zu tun hat bzw. vernachlässigt werden kann, ohne dass sich was an der Zeitdilatation ändert. Man braucht sie erstmal "nur", um eine globale Metrik zu kriegen, die an jedem Punkt isobar mit einem nach außen beschleunigten Bezugssystem ist, ohne dass die Erde explodiert.
Die Herleitung von Zeitdilatation in der Rindlermetrik ist also äquivalent zur Herleitung gravitativer Zeitdilatation.
Der einzelne Punkt mit konstanten Rindlerkoordinate x bewegt sich längs einer Hyperbel in der Raumzeit; ich kann Eigenzeiten entlang solcher Hyperbeln einfach in einem beliebigen IS ausrechnen.
Wenn ich ein momentan mitbewegtes IS verwende, und das auch nur in einem kleinen Raumzeit-Abschnitt, dann wird erstens die Hyperbel zur Parabel, zweitens stimmen Eigenzeiten mit der Koordinatenzeit überein. Dann kann ich mit Schulmathematik das Problem analysieren, differenziell die Zeitdilatation herleiten und mittels Symmetrieargumenten verallgemeinern.
Ich wollte nicht die andere Diskussion sprengen, das hier ist nur so ein Einschub. |
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 18.06.2008, 14:45 Titel: |
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Ich verstehe kein Wort.
(Wie kommst du z.B. auf die zweite Zeile? Koordinatentrafo? Wieso bleibt dann r da stehen?)
Flach wird die Schwarzschild-Metrik übrigens nur für großen Abstand r vom Gravitationszentrum.
Wenn du mit deiner Rechnung was anderes implizieren wolltest, dann vergiß es.
Die Metrik ist übrigens immer im Tangentialraum, nicht erst nach drei Zeilen Rechnung und y << r - r0.
Ich erkenne auch die Rindler-Metrik auf den ersten Blick nicht wieder. Da müßte
\[
ds^2 = -x^2dt^2 + dx^2
\]
stehen, aber r und y hängen so ja irgendwie von x ab.
| Zitat: |
man sieht auch, dass Raumzeitkrümmung nichts mit der Zeitdilatation direkt zu tun hat
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Hat auch niemand behauptet. Zeitdilatation hat was mit Metrik zu tun und Metrik hat was mit Krümmung zu tun.
Man kann die Krümmung nicht ändern ohne an der Metrik was zu ändern und damit ändert man i.a. (in besonderen Situationen
vielleicht nicht), was an der Zeitdilatation.
| Zitat: |
bzw. vernachlässigt werden kann, ohne dass sich was an der Zeitdilatation ändert.
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Ignorieren kannst du die Krümmung natürlich, wenn du nur Zeitdilatation ausrechnen willst. Aber du kriegst nicht
in jeder Situation mit einer gekrümmten Metrik dieselbe Zeitdilatation, wie mit einer flachen, weil sich die Metriken
echt unterscheiden müssen. |
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 18.06.2008, 14:59 Titel: |
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| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Flach wird die Schwarzschild-Metrik übrigens nur für großen Abstand r vom Gravitationszentrum.
Wenn du mit deiner Rechnung was anderes implizieren wolltest, dann vergiß es.
|
Sieht nicht so aus, du benutzt ja y << r-r0, also wird r wohl irgendwie groß sein müssen.
Dann hast du dir etwas zu viel Arbeit gemacht. Die Rindler-Metrik ist nichts anderes als die
Minkowski-Metrik in anderen Koordinaten. Es genügt also zu zeigen, daß die Schwarzschidmetrik für $ r \to\infty $
in die Minkowski-Metrik übergeht. Aber das sieht man ja schon an der Standardform
\[ ds^2 = \left(1- {r_0\over r}\right)dt^2 - \left(1 - { r_0\over r}\right)^{-1}dr^2. \] |
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Ich
Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624
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| Verfasst am: 18.06.2008, 16:06 Titel: |
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| Zitat: | | (Wie kommst du z.B. auf die zweite Zeile? Koordinatentrafo? Wieso bleibt dann r da stehen?) |
r ist ab da konstant und liegt auf der Berührlinie den Tangentialraums mit der Mannigfaltigkeit.
| Zitat: | Flach wird die Schwarzschild-Metrik übrigens nur für großen Abstand r vom Gravitationszentrum.
Wenn du mit deiner Rechnung was anderes implizieren wolltest, dann vergiß es. |
Flach ist die Schwarzschildmetrik überall, außer an der Singularität, wenn man nur ausreichend kleine Raumbereiche betrachtet.
| Zitat: | | Die Metrik ist übrigens immer im Tangentialraum, nicht erst nach drei Zeilen Rechnung und y << r - r0. |
Der Tangentialraum ist groß, und hat eine Minkowski-Metrik. In hinreichend kleinen Gebieten ist er eine exzellente Näherung an die echte Metrik.
| Zitat: | Ich erkenne auch die Rindler-Metrik auf den ersten Blick nicht wieder. Da müßte
$ ds^2 = -x^2dt^2 + dx^2 $
stehen,
|
Da müsste eigentlich $ ds^2 = -(\frac{x}{x_0})^2dt^2 + dx^2 $ stehen, steht bei Wikipedia aber nicht, dafür bei mir.
| Zitat: | Man kann die Krümmung nicht ändern ohne an der Metrik was zu ändern und damit ändert man i.a. (in besonderen Situationen
vielleicht nicht), was an der Zeitdilatation. |
Man ändert - in der Näherung, um die es die ganze Zeit geht, und sogar noch weiter - nichts an der Zeitdilatation.
| Zitat: | Ignorieren kannst du die Krümmung natürlich, wenn du nur Zeitdilatation ausrechnen willst. Aber du kriegst nicht
in jeder Situation mit einer gekrümmten Metrik dieselbe Zeitdilatation, wie mit einer flachen, weil sich die Metriken
echt unterscheiden müssen. |
Was hat das mit der Problematik zu tun? Ich hab y eingeschränkt, und damit is gut und beides ist dasselbe. Ich hab jetzt dann auch keine Lust mehr, jeden einzelnen Satz mit Anmerkungen wie " -sofern Gezeiteneffekte unterhalb der Messgenauigkeit sind. " auszuschmücken, das müsste doch mal angekommen sein.
| Zitat: | | Sieht nicht so aus, du benutzt ja y << r-r0, also wird r wohl irgendwie groß sein müssen. |
Ich glaub, da war ich zu vorsichtig. Das müsste eigentlich auch am Ereignishorizont funktionieren, der heißt dann halt Rindler-Horizont.
| Zitat: | Die Rindler-Metrik ist nichts anderes als die
Minkowski-Metrik in anderen Koordinaten. |
Ja, und damit in der Umgebung jedes Punkts in beliebiger Näherung anwendbar, sofern die Umgebung klein genug gewählt wird. Und deswegen sieht man, dass die Zeitdilatation zwischen benachbarten Punkten sich ausschließlich darauf zurückführen lässt, dass die Punkte beschleunigt sind. Wie die Metrik global aussieht ist egal. |
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pauli
Anmeldedatum: 13.06.2007
Beiträge: 1551
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| Verfasst am: 18.06.2008, 19:37 Titel: |
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| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe kein Wort. |
uff, dachte schon ich bin der Einzige  |
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Ich
Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624
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| Verfasst am: 18.06.2008, 20:29 Titel: |
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| Statt zu rechnen hab ich nachgeschaut. Die Rindler-Metrik zur Beschreibung des Ereignishorizonts ist Standard, z.B. Hawking-Strahlung wird in dieser Näherung berechnet. Also y<<r stattdessen. |
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Lucas
Anmeldedatum: 04.05.2006
Beiträge: 569
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| Verfasst am: 18.06.2008, 22:27 Titel: Re: Ergänzung: Schwarzschild - Rindler |
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Nich so schnell 
Wie kommt man von
$\normal ds^2 = - c^2 ( 1 - \frac{2 G M}{c^2 r} ) dt^2 + ...$ oder $\normal ds^2 = - ( 1 - \frac{2 M}{r} ) dt^2 + ...$ (c=G=1)
auf
| Ich hat Folgendes geschrieben: | ...Schwarzschildmetrik:
$\normal ds^2=-(1-\frac{r_0}{r})dt^2+...$
... |
Gruss, Lucas |
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Ich
Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624
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| Verfasst am: 19.06.2008, 07:21 Titel: |
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| Einfach statt 2M r0 oder rs schreiben, das ist der Schwarzschildradius. |
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 19.06.2008, 10:54 Titel: |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | (Wie kommst du z.B. auf die zweite Zeile? Koordinatentrafo? Wieso bleibt dann r da stehen?) |
r ist ab da konstant und liegt auf der Berührlinie den Tangentialraums mit der Mannigfaltigkeit.
| Zitat: | Flach wird die Schwarzschild-Metrik übrigens nur für großen Abstand r vom Gravitationszentrum.
Wenn du mit deiner Rechnung was anderes implizieren wolltest, dann vergiß es. |
Flach ist die Schwarzschildmetrik überall, außer an der Singularität, wenn man nur ausreichend kleine Raumbereiche betrachtet.
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Ich glaube, darüber diskutieren wir weiter, sobald du den Krümmungstensor in der
Schwarzschild-Raumzeit kennst. An der r-Abhängigkeit kannst du ablesen, wer hier
näher dran ist.
| Zitat: |
| Zitat: | | Die Metrik ist übrigens immer im Tangentialraum, nicht erst nach drei Zeilen Rechnung und y << r - r0. |
Der Tangentialraum ist groß, und hat eine Minkowski-Metrik. In hinreichend kleinen Gebieten ist er eine exzellente Näherung an die echte Metrik.
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Nur wenn man die Ableitungen vernachlässigen kann. Das geht aber bei gravitativer ZD nicht,
da diese gerade darauf beruht, daß die Metrik an zwei Punkten des Gebiets unterschiedlich
ist.
| Zitat: |
| Zitat: | Ich erkenne auch die Rindler-Metrik auf den ersten Blick nicht wieder. Da müßte
$ ds^2 = -x^2dt^2 + dx^2 $
stehen,
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Da müsste eigentlich $ ds^2 = -(\frac{x}{x_0})^2dt^2 + dx^2 $ stehen, steht bei Wikipedia aber nicht, dafür bei mir.
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Ich wundere mich ja nicht über x0, sondern daß y^2/r^4 steht, wo eigentlich x^2 stehen
müßte. Scheint aber ein Tippfehler in der Formel davor zu sein (y unter der Wurzel). Zusammen mit r=const.
würde es dann stimmen.
| Zitat: |
| Zitat: | Man kann die Krümmung nicht ändern ohne an der Metrik was zu ändern und damit ändert man i.a. (in besonderen Situationen
vielleicht nicht), was an der Zeitdilatation. |
Man ändert - in der Näherung, um die es die ganze Zeit geht, und sogar noch weiter - nichts an der Zeitdilatation.
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Mir ist gar nicht so klar, um welche Näherung es dir inzwischen geht. Die Situation, in der
Schwarzschild --> Minkowski ergibt ja schon keine gravitative ZD mehr.
Du wolltest übrigens zeigen, daß gravitative ZD ungefähr der ZD zwischen konstant
beschleunigten Beobachtern im Minkowskiraum ist. Das Schwarzschild ungefähr Minkowski
ist, solltest du dafür nicht versuchen zu zeigen. Sonst vergleichst du ja relativ zueinander
ruhende Beobachter im Minkowski-Raum, mit beschleunigten Beobachtern im Minkowski-Raum.
Da wird wohl kaum dasselbe rauskommen.
| Zitat: |
| Zitat: | Ignorieren kannst du die Krümmung natürlich, wenn du nur Zeitdilatation ausrechnen willst. Aber du kriegst nicht
in jeder Situation mit einer gekrümmten Metrik dieselbe Zeitdilatation, wie mit einer flachen, weil sich die Metriken
echt unterscheiden müssen. |
Was hat das mit der Problematik zu tun? Ich hab y eingeschränkt, und damit is gut und beides ist dasselbe.
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y einschränken reicht aber nicht. Wie sieht das ganze denn bei kleinem r aus?
| Zitat: |
Ich hab jetzt dann auch keine Lust mehr, jeden einzelnen Satz mit Anmerkungen wie " -sofern Gezeiteneffekte unterhalb der Messgenauigkeit sind. " auszuschmücken, das müsste doch mal angekommen sein.
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Keine Ahnung wie du darauf kommst, ich wollte auf Gezeitenkräfte raus, wenn ich sage
daß du bei der Berechnung der ZD die Krümmung ignorieren kannst (bei nahe beieinander ruhenden
Beobachtern und großem r).
| Zitat: |
| Zitat: | | Sieht nicht so aus, du benutzt ja y << r-r0, also wird r wohl irgendwie groß sein müssen. |
Ich glaub, da war ich zu vorsichtig. Das müsste eigentlich auch am Ereignishorizont funktionieren, der heißt dann halt Rindler-Horizont.
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Wie ich sagte: für große Abstände vom Gravitationszentrum, nicht große Abstände vom Ereignishorizont.
| Zitat: |
| Zitat: | Die Rindler-Metrik ist nichts anderes als die
Minkowski-Metrik in anderen Koordinaten. |
Ja, und damit in der Umgebung jedes Punkts in beliebiger Näherung anwendbar, sofern die Umgebung klein genug gewählt wird. Und deswegen sieht man, dass die Zeitdilatation zwischen benachbarten Punkten sich ausschließlich darauf zurückführen lässt, dass die Punkte beschleunigt sind. Wie die Metrik global aussieht ist egal. |
Nein, gravitative ZD hast du nur, wenn die Metrik nicht zwischen beiden Punkten konstant, also
nicht näherungsweise Minkowski, ist. Ist doch wohl klar, was ergibt wohl
\[
\tau_1/\tau_2 = \sqrt{g_{00}(x_1)\over g_{00}(x_2)}
\]
für $ g_{00}(x_1) = g_{00}(x_2) $?
| Zitat: |
Statt zu rechnen hab ich nachgeschaut. Die Rindler-Metrik zur Beschreibung des
Ereignishorizonts ist Standard, z.B. Hawking-Strahlung wird in dieser Näherung berechnet.
Also y<<r stattdessen.
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LOL, ausgerechnet Hawking-Strahlung als Standard, hat was. Und Periheldrehung,
Lichtablenkung und echo-delay wird womit berechnet? Die Rindler-Metrik wird verwendet,
wenn man die Rinlder-Metrik verwenden kann, also wenn man näherungsweise
im Minkowski-Raum ist. Sonst nicht. |
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Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
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| Verfasst am: 25.06.2008, 15:46 Titel: |
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| Erik hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
| Zitat: | Die Rindler-Metrik ist nichts anderes als die
Minkowski-Metrik in anderen Koordinaten. |
Ja, und damit in der Umgebung jedes Punkts in beliebiger Näherung anwendbar, sofern die Umgebung klein genug gewählt wird. Und deswegen sieht man, dass die Zeitdilatation zwischen benachbarten Punkten sich ausschließlich darauf zurückführen lässt, dass die Punkte beschleunigt sind. Wie die Metrik global aussieht ist egal. |
Nein, gravitative ZD hast du nur, wenn die Metrik nicht zwischen beiden Punkten konstant, also
nicht näherungsweise Minkowski, ist. |
Das ist nicht korrekt, durch Koordinatentransformation kann sich durchaus die Metrik ändern. Das sieht man klassisch gut an Kugelkoordinaten, die ja auch nur Euklidische Metrik in anderen Koordinaten sind.
Im Fall der Rindler-Koordinaten gilt:
$ds^2=-x^2 dt^2 +dx^2+dy^2+dz^2$
also ist $g_{00}=-x^2$ durchaus nicht konstant und in der Rindlermetrik gibt es eine Zeitdilatation.
Gruß,
Joachim
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 25.06.2008, 16:05 Titel: |
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| Joachim hat Folgendes geschrieben: | | Erik hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: |
| Zitat: | Die Rindler-Metrik ist nichts anderes als die
Minkowski-Metrik in anderen Koordinaten. |
Ja, und damit in der Umgebung jedes Punkts in beliebiger Näherung anwendbar, sofern die Umgebung klein genug gewählt wird. Und deswegen sieht man, dass die Zeitdilatation zwischen benachbarten Punkten sich ausschließlich darauf zurückführen lässt, dass die Punkte beschleunigt sind. Wie die Metrik global aussieht ist egal. |
Nein, gravitative ZD hast du nur, wenn die Metrik nicht zwischen beiden Punkten konstant, also
nicht näherungsweise Minkowski, ist. |
Das ist nicht korrekt, durch Koordinatentransformation kann sich durchaus die Metrik ändern.
Das sieht man klassisch gut an Kugelkoordinaten, die ja auch nur Euklidische Metrik in anderen Koordinaten sind.
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Das ändert die Metrikkoeffizienten. Man kann aber nicht aus einer flachen Metrik eine gekrümmte machen.
| Zitat: |
Im Fall der Rindler-Koordinaten gilt:
$ds^2=-x^2 dt^2 +dx^2+dy^2+dz^2$
also ist $g_{00}=-x^2$ durchaus nicht konstant und in der Rindlermetrik gibt es eine Zeitdilatation.
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Natürlich gibt es Zeitdilatation im Minkowskiraum. Die Beobachter für konstantes x sind auch beschleunigt.
Für solche Beobachter gilt bis zur 2. Ordnung g ~ 1 - 2gx - 2(gx)² (modulo Vorzeichen und -faktoren).
Es gibt aber in der Minkowskimetrik bzw. Rindler-Metrik keine gravitative Zeitdilatation für ruhende Beobachter
(im Sinne meines letzten Postings im anderen thread). Die Rindler-Beobachter "ruhen"
nämlich nicht. Und die Zeitdilatation, die es für Rindler-Beobachter gibt unterscheidet sich
von der ZD für ruhende Beobachter in in statischen, gekrümmten Metriken. |
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Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
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| Verfasst am: 25.06.2008, 16:10 Titel: |
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| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Das ändert die Metrikkoeffizienten. |
Eben hast du noch gerade mit den Metrikkoeffizienten begründet, dass es keine Zeitdilatation gibt:
| Zitat: | Ist doch wohl klar, was ergibt wohl
\[
\tau_1/\tau_2 = \sqrt{g_{00}(x_1)\over g_{00}(x_2)}
\]
für $ g_{00}(x_1) = g_{00}(x_2) $? |
Gut das wir das nun geklärt haben.
Gruß,
Joachim
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 25.06.2008, 16:30 Titel: |
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| Joachim hat Folgendes geschrieben: | | Erik hat Folgendes geschrieben: |
Das ändert die Metrikkoeffizienten. |
Eben hast du noch gerade mit den Metrikkoeffizienten begründet, dass es keine Zeitdilatation gibt:
| Zitat: | Ist doch wohl klar, was ergibt wohl
\[
\tau_1/\tau_2 = \sqrt{g_{00}(x_1)\over g_{00}(x_2)}
\]
für $ g_{00}(x_1) = g_{00}(x_2) $? |
|
Das bezog sich auch auf ein spezielles Koordinatensystem, nämlich Schwarzschildkoordinaten und gravitative ZD.
(Ergänzung: Wenn du die Koordinaten transformierst, ändern sich ja auch die Koordinatenfunktionen der
Weltlinien und die obige Formel für die Eigenzeiten $ \tau_1/\tau_2 $ gilt nicht mehr.)
| Zitat: |
Gut das wir das nun geklärt haben.
|
Was haben wir jetzt geklärt? Mein Behauptng war, daß es im Grenzfall r->unendlich keine gravitative
ZD mehr für ruhende Beobachter gibt. Das kann ich in Schwarzschildkoordinaten
und nur in diesen allein an den Metrikkoeffizienten g_00 ablesen. |
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Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
|
| Verfasst am: 26.06.2008, 09:23 Titel: |
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| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Was haben wir jetzt geklärt? Mein Behauptng war, daß es im Grenzfall r->unendlich keine gravitative
ZD mehr für ruhende Beobachter gibt. Das kann ich in Schwarzschildkoordinaten
und nur in diesen allein an den Metrikkoeffizienten g_00 ablesen. |
Dass für r->oo alle Effekte gegen Null gehen, ist trivial. Aber es geht hier um etwas anderes: Du sagst ganz richtig, dass du an g_00 allein ablesen kannst, wie sich die gravitative Zeitdilatation für schwache Felder verhält. Das bedeutet aber, dass für schwache Felder die Krümmung der Ortskoordinaten unerheblich ist. Die gravitative Zeitdilatation ist identisch zur Zeitdilatation in der Rindler-Raumzeit.
Du sagst, wiederum ganz richtig, dass man die Zeitdilatation bei Rindler wegtransformieren kann, indem man zu Minkowski-Koordinaten transformiert. Ebenso kann man aber die Zeitdilatation in der Schwarzschildmetrik lokal wegtransformieren, indem man zu frei fallenden Koordinaten transformiert. Diese lokale Näherung ist in einem um so größeren Bereich hinreichend genau, je homogener das Feld ist, je weiter man also von Zentrum weg ist. Das ist dann die erste brauchbare Näherung nach 1/r->0.
Gruß,
Joachim
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 26.06.2008, 18:36 Titel: |
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| Joachim hat Folgendes geschrieben: | | Erik hat Folgendes geschrieben: |
Was haben wir jetzt geklärt? Mein Behauptng war, daß es im Grenzfall r->unendlich keine gravitative
ZD mehr für ruhende Beobachter gibt. Das kann ich in Schwarzschildkoordinaten
und nur in diesen allein an den Metrikkoeffizienten g_00 ablesen. |
Dass für r->oo alle Effekte gegen Null gehen, ist trivial.
|
Wieso alle? Genau die, die mit dem Gravitationsfeld zu tun haben. Insbesondere gibt es
keine ZD mehr zwischen den Schwarzschildbeobachtern. Zwischen irgendwie anders bewegten
Beobachtern kann es natürlich weiterhin ZD geben. Darum ging es eigentlich. Von mir aus
ist das dann auch trivial.
| Zitat: |
Aber es geht hier um etwas anderes: Du sagst ganz richtig, dass du an g_00 allein ablesen kannst, wie sich die gravitative Zeitdilatation für schwache Felder verhält.
|
Das hat mit schwachen Feldern nichts zu tun und ich sage das auch nur in bestimmten
Koordinatensystemen. In anderen Koordinatensystemen kann ich die ZD zwischen
Schwarzschildbeobachtern nicht mehr an den g_00 alleine ablesen.
| Zitat: |
Das bedeutet aber, dass für schwache Felder die Krümmung der Ortskoordinaten unerheblich ist. Die gravitative Zeitdilatation ist identisch zur Zeitdilatation in der Rindler-Raumzeit.
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Nein ist sie nicht. Die Krümmung beeinflußt, wie sich die Eigenzeiten zweier Beobachter
mit gegebener 4-Beschleunigung a und gegebenem Abstand zueinenader verhalten. Dazu brauchst du bloß ins
mitbewegte Koordinatensystem eines der Beobachter B1 zu gehen. Das hat den Vorteil, daß diese
Koordinaten an die Gleichzeitigkeitsdefinition angepaßt sind ("gleichzeitig" = "gleiches t") und
der Unterschied zwischen gekrümmten und flachen Raumzeiten besonders deutlich wird. Darin
ist bis zur zweiten Ordnung
\[
g_{00} = 1 - 2\vec{a}\vec{x} - 2\dot{\vec{a}}\vec{x}x^0 - (\vec{a}\vec{x})^2 - R^0_{jk0}x^j x^k
\]
alle anderen Komponenten ändern sich erst ab 2. Ordnung und die Änderung hängt dann nur
von der Krümmung ab (zum Vergleich, ob ich beim Abschreiben nichts vergessen habe:
Ni, Zimmermann, Phys.Rev.D 17 (1978) 1473.)
Wenn a konstant ist und der andere Beobachter B2 konstanten Abstand hat, kannst du wegen wegen $ x^0 = \tau_1 $,
und $ d\tau_2= \sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x^\mu}\dot{x^\nu}}d\tau_1 = \sqrt{g_{00}}d\tau_1 $
für die Eigenzeit des anderen Beobachters, die ZD direkt an dieser Komponente ablesen. Das
Verhältnis dieser Eigenzeiten ist aber unabhängig vom Koordinatensystem. Schwaches Feld
bedeutet kleines a, dann wird für großen Abstand de Krümmung um so relevanter (Ok,
bei Schwarzschild wird mit dem Feld auch die Krümmung klein, aber alles andere gilt ja
auch für beliebige statische Raumzeiten und beliebig bewegte Beobachter.) Wenn
man nun dieselbe Situation (konstanter Abstand) zwischen Rindler und Schwarzschild
vergleicht, sieht man, daß wegen dem Krümmungsterm in beiden Fällen was anderes rauskommt.
Also ist es nicht identisch, sondern nur bis zur ersten Ordnung gleich.
| Zitat: |
Du sagst, wiederum ganz richtig, dass man die Zeitdilatation bei Rindler wegtransformieren kann, indem man zu Minkowski-Koordinaten transformiert.
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Das sage ich nicht, und es ist auch nicht richtig. Da ich Eigenzeiten miteinander vergleiche,
kann man da auch nichts wegtransformieren.
| Zitat: |
Ebenso kann man aber die Zeitdilatation in der Schwarzschildmetrik lokal wegtransformieren, indem man zu frei fallenden Koordinaten transformiert.
|
Das geht nicht aus demselben Grund wie eben. In frei fallenden Koordinatensystem sind die
Schwarzschildbeobachter übrigens bewegt, dort mußt du noch andere Metrikkoeffizienten verwenden
um die ZD auszurechnen.
| Zitat: |
Diese lokale Näherung ist in einem um so größeren Bereich hinreichend genau, je homogener das Feld ist, je weiter man also von Zentrum weg ist. Das ist dann die erste brauchbare Näherung nach 1/r->0.
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Ich weiß nicht was du damit meinst. Auch in einem homogenen Feld ist $ \tau_1/\tau_2 = 1 $ nicht
unbedingt eine gute Näherung für Schwarzschildbeobachter. Wenn du aber meinst
Schwarzschild = Rindler + O(x²), dann stimme ich zu. Aber wieso behauptest du dann, beides sie identisch? |
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