Minimalsystem und Grundsatzfragen

[nocheinPoet]

$ c^2 = v_r^2 + v_t^2 $

$ c^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 + v_t^2 $

Oder was nun?


Und $ E(\vec{v}_r) = m_0c^2 v_t^{-1} $

Ist das richtig geschrieben? Fällt da c noch raus, wenn es normiert wird? kann man da draus $ E(\vec{v}_r) = p_t v_t^{-1} $ machen?
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[nocheinPoet]

NeP übt Rechnen:


$ K \rightarrow K' $ ; $ \vec{r} = 0 $ ; $ t = 0 $

Einen Punkt in der Raumzeit im IS $ K $ nach $ K' $ transformieren. Dazu den kontravarianten Vektor $ x^\mu $:

$ x'^0 = x' = a^0 \ _0x + a^0 \ _1y + a^0 \ _2z + a^0 \ _3t $
$ y'^1 = y' = a^1 \ _0x + a^1 \ _1y + a^1 \ _2z + a^1 \ _3t $
$ z'^2 = z' = a^2 \ _0x + a^2 \ _1y + a^2 \ _2z + a^2 \ _3t $
$ t'^3 = t' = a^3 \ _0x + a^3 \ _1y + a^3 \ _2z + a^3 \ _3t $

$ x'^\nu = a^\nu \ _\mu x^\mu $
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[nocheinPoet]

Invariant

Wir haben 3 IS $ K_1 ; K_2 ; K_3 $

Betrachten wir den $ p_r $ zwischen $ K_1 ; K_2 $ von $ K_3 $. Dieser muss von jedem anderen Betrachter gleich gemessen werden.

Ein Objekt hat zu jedem anderen im Raum einen $ p_r $ und die Summe aller Impulse sollte ebenso invariant sein. Ich weiß nun nicht, wie man das mathematisch beschreibt. Weiß Jemand auf was ich hinaus will?

Kann mir Jemand was zu meinen beiden Beiträgen davor was sagen?
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[ilchegu1]

Hallo nocheinPoet

Also zu Deinem Geschwindigkeitsvektor (der Einfachheit halber in 2 Dimensionen t,x):

\(v_x = dx/dt\)
\(v_t = \sqrt{c^2 - v_x^2}\)

Diese 2 Ausdrücke fasst Du zu einem Vektor $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_t \\ v_x \end{pmatrix} $ in einer euklidischen Raumzeit zusammen:

$ |\vec{v}| = \sqrt{v_t^2 + v_x^2} = c $ (alles bewegt sich mit c in dieser Raumzeit)

Gegeben sei ein Objekt mit der Geschwindigkeit $ \vec{v} $ in einem Bezugssystem \(K\) dieser Raumzeit.

Wenn sich nun die Raumgeschwindigkeit \(v_x\) des Objektes ändert, dann dreht sich der Vektor $ \vec{v} $ einfach in \(K\).

Umgekehrt entspricht eine Transformation von unserem Systen \(K\) in ein relativ dazu mit \(v_{K'}\) bewegtes System \(K'\) einer Drehung des Bezugssystems.

Betrachten wir ein Photon in \(K\):

$ \vec{v}_{photon} = \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} $

Mit Hilfe einer Drehmatrix $ D = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha)\end{pmatrix} $ können wir $ \vec{v}_{photon} $ also nach \(K'\) transformieren.

In unserem Fall können wir das wohl am einfachsten so machen:

$ sin(\alpha) = v_{K'}/c $
$ cos(\alpha) = \sqrt{1 - v_{K'}^2/c^2} $

$ \vec{v}_{photon}' = D \cdot \vec{v}_{photon} = \begin{pmatrix} v_{K'} \\ \sqrt{c^2 - v_{K'}^2} \end{pmatrix} $

Der Betrag von $ \vec{v}_{photon}' $ ist wieder c, das Photon bewegt sich also auch in \(K'\) mit c durch die Raumzeit.

Aber die Raumgeschwindigkeit \(v_x'= \sqrt{c^2 - v_{K'}^2}\) ist kleiner als c. Das Photon bewegt sich in \(K'\) also nicht mehr mit c durch den Raum, was natürlich der Konstanz der Lichtgeschwinidgkeit widerspricht.

Also funktioniert das aus meiner Sicht mit einer euklidischen Raumzeit so nicht.

P.S.: Wenn Du eine nicht-euklidische Raumzeit verwendest, dann ist der Betrag von $ \vec{v} $ nicht mehr gleich \( \sqrt{v_t^2 + v_x^2} = c \) (Pythagoras gilt dann nicht mehr)

[nocheinPoet]

[ilchegu1]

[nocheinPoet]

[ilchegu1]

[nocheinPoet]

Irgendwie geht es hier nicht weiter. Schade eigentlich.

Ich möchte dennoch eine Frage stellen. Wir haben zwei Rauschiffe im Raum, der ansonsten leer ist. Die Schiffe fliegen mit fast c aufeinander zu. In beiden Schiffen sind je zwei Astronauten und die obligatorische Atomuhr.

Der erste Astronaut im Raumschiff A sagt nun zu seinem Kollegen, schau mal, da kommt ein Raumschiff mit fast c auf uns zu, lass uns mal die Uhren vergleichen, die im anderen Raumschiff muss ja langsamer gehen.

Der andere Astronaut schaut den ersten an und meint, nein Du irrst Dich, das andere Schiff kommt nicht auf uns zu, sondern wir fliegen dem entgegen. Deswegen werden wir sehen, dass unsere Uhr langsamer als die im anderen Raumschiff geht.

Und was wird nun gemessen werden?
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[Aragorn]

[nocheinPoet]

[Orbit]

[Aragorn]

[ilchegu1]

[nocheinPoet]

Mag hier nicht noch mal ein Profi ran?

So einer der Pysik und Mathe im Schlaf kann?

Ich hab es mir noch mal durchgelesen, leider sind hier und da ein paar Formel zerschossen.

Auch ist der Einwand von ilchegu noch offen.
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