Proca-Theorie

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Hi Ralf,

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Leider wurde das Thema ein wenig zerredet. Ich schreibe deswegen die zu untersuchenden Feldgleichungen (in natürlichen Einheiten) nochmal explizit an:

$
\partial_{\mu}(\partial^{\mu} B^{\nu} - \partial^{\nu} B^{\mu})+m^2 B^{\nu}=gJ^{\nu}
$

Man kann hier, wie im Elektromagnetismus, einen Feldstärketensor definieren

$
G^{\mu\nu} :\,= \partial^{\mu} B^{\nu} - \partial^{\nu} B^{\mu}
$

wobei die Felder zur Unterscheidung zum Elektromagnetismus mit $B^{\mu}$ bezeichnet werden. Mit ihm lassen sich die Feldgleichungen etwas kompakter schreiben:

$
\partial_{\mu}G^{\mu \nu}+m^2 B^{\nu}=gJ^{\nu}
$

Die vier Funktionen $B^{\mu}$ transformieren wie ein Vierervektor und sollen nun als komplexe Funktionen das geladene W-Boson und als reelle Funktionen das ungeladene Z-Boson beschreiben.

Auf der rechten Seite steht der Quellterm als Stromvektor $J^{\alpha}$, multipliziert mit der Kopplungskonstanten g. Dieser Strom soll von Quark- und Leptonenwellenfunktionen gebildet werden. Aufgrund der Ladungserhaltung für die zu beschreibenden Prozesse darf man hier das W-Boson wohl nur an Ströme aus geladenen Teilchen (Elektronen, Quarks, usw.) koppeln und das Z-Boson nur an Ströme aus elektrisch neutralen Teilchen, wie den Neutrinos.

Da bei den Neutrinos nur die linkshändigen Neutrinos einen Beitrag zum Strom liefern, kommt man automatisch zu einer paritätsverletzenden Theorie.

Die Lagrange-Dichte zu obiger Gleichung lautet für das elektrisch geladene W-Feld:

$
\mathcal{L}_{geladen}=-\frac{1}{2}G_{\mu\nu}^*G^{\mu\nu}+m^2B_{\nu}^* B^{\nu}-g_{W} B_{\nu}J^{\nu *}-g_{W}B_{\nu}^*J^{\nu}
$

wobei sowohl die $B_{\nu}$, als auch die $B_{\nu}^*$ als unabhängige Felder zu betrachten sind.

Für das ungeladene, reelle Feld des Z-Bosons vereinfacht sich die Lagrange-Dichte zu:

$
\mathcal{L}_{ungeladen}=-\frac{1}{2}G_{\mu\nu}G^{\mu\nu}+m^2B_{\nu} B^{\nu}-2g_{Z}B_{\nu}J^{\nu}
$

Man hat damit einen interessanten Ansatz für eine Beschreibung der schwachen Wechselwirkung, die sich vorerst nur an der Klein-Gordon-Gleichung und dem Elektromagnetismus orientiert. Mit der minimalen Kopplung kann man das W-Feld eichinvariant an das elektromagnetische Feld koppeln.

Siehe auch:

Proca equation
Lagrangian for classical electrodynamics

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