Freier Fall einmal etwas anders

[Barney]

Fortsetzung

Eine Verallgemeinerung von Gleichung (6) läßt sich noch aus dem folgenden Energiesatz herleiten:

$
(12) \quad \quad E = \frac{m_1m_2}{2M}\dot{d}^2 - \frac{Gm_1m_2}{d}
$

Dabei wird berücksichtigt, dass die zwei Massepunkte unterschiedliche Masse haben können. Der Energiesatz selbst stammt aus dem Buch von T. Fließbach "Mechanik" , 4. Auflage, S. 128 (Zweikörperproblem, Energieerhaltung). d ist die variable Distanz zwischen den zwei Massekörpern und \(M = m_1 + m_2\) die Gesamtmasse des Systems. Für \(m_2 \geq m_1\) kann im ruhenden Schwerpunktsystem der Abstand der leichteren Masse \(m_1\) vom Ursprung via \(r=\frac{m_2}{M}d\) berechnet werden. Daraus folgt \(\dot{d} = \frac{M}{m_2}v\), wobei \(v\) für die Geschwindigkeit des leichteren Körpers steht.

Die Konstante E' (und damit auch E) berechnet sich über die Anfangsbedingungen:

$
E' = \frac{E}{m_1m_2} = \frac{M}{2m_2^2}v_0^2 - \frac{Gm_2}{r_0M}
$

und es gilt dann:

$
(13) \quad \quad v(r) = -\sqrt{v_0^2 + \frac{2Gm_2^3}{rM^2} - \frac{2Gm_2^3}{r_0M^2}}
$

Für \(m_2=M/2\) geht Gleichung (13) in die korrigierte Version von Gleichung (6) über. Für \(m_2=M\) kann der Grenzfall berechnet werden, dass die Masse \(m_1\) im Vergleich zu \(m_2\) zu vernachlässigen ist. Es handelt sich dabei also um einen kleinen Probekörper, im Schwerefeld der größeren Masse \(m_2\).

Gleichung (13) zeigt damit sehr deutlich, dass der freie Fall nur bei kleinen Massen im Vergleich zur felderzeugenden Masse von der eigenen Masse unabhängig ist (s. Galileische Fallversuche). Im astrophysikalischen Fall, wo größere Massen in Bewegung sind, gelten dagegen die Gleichungen des Zwei-, bzw. N-Körperproblems.
MfG

[Orbit]

Was bedeutet in deiner Gleichung (13) v_o?
Orbit

[ralfkannenberg]

[Orbit]

Danke Ralf
Eigentlich habe ich's mir schon so gedacht; aber ich wollte mich vergewissern, bevor ich weiter bohre:
Ist dieser Term nicht problematisch, wenn er nicht näher definiert wird?
Ein Testkörper erreicht, wenn seine Startgeschwindigkeit eine Limite überschreitet, mit dieser Gleichung am EH Überlichtgeschwindigkeit. In unserem Beispiel, mit einem SL von 10 Sonnenmassen, ist diese Limite 0.000445 c.
Auch bei 2 SL mit je 10 Sonnenmassen, die sich auf unrealistischem, aber von Barney hier berechneten direkten Kollisionskurs befinden, gibt es diese Limite, allerdings ist sie hier viel höher, bei c/sqrt 2.

Orbit

[Barney]