GOM entblödet sich öffentlich

[Erik]

[zeitgenosse]

[Erik]

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

ich finde es sehr schön, wie sich dieser "Entblödungsthread" entwickelt hat, in einen Bereich zwischen theoretischer Physik, linearer Algebra und Gruppentheorie.

Besten Dank auch für all' Euren Input, ich bin nun wieder voll motiviert, mein Gutachten zu ergänzen. Ich werde Eure Beiträge und damit Euer Copyright gerne zitieren, allerdings wird es etwas Zeit brauchen, ehe es fertig ist.

Danke für die tolle Zusammenarbeit, wir haben da gemeinsam etwas erarbeitet

Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

[ralfkannenberg]

Ich fürchte, es funktioniert so nicht - die Existenz eines multiplikativ Inversen kann ich so nicht nachweisen; es fehlt noch eine zusätzliche Annahme.

Aber ich frage mich, ob diese Halbmetrik für die Herleitung überhaupt benötigt wird und ob man es nicht insgesamt viel einfacher beweisen kann:

Schliesslich ist eine Lorentztransformation eine lineare Abbildung, die ein Koordinatensystem auf ein Koordinatensystem abbildet. Das sollte doch genügen, um die Gruppeneigenschaften herleiten zu können:

1.) Abgeschlossenheit
Seien L1 und L2 zwei Lorentztransformationen:

L1: Koordinatensystem1 -> Koordinatensystem2, linear
L2: Koordinatensystem2 -> Koordinatensystem3, linear

Somit gilt:
L1*L2: Koordinatensystem1 -> Koordinatensystem3
Wegen der Linearität von L1 und L2 ist auch L1*L2 linear.

Somit ist L1*L2 ebenfalls eine lineare Abbildung, die ein Koordinatensystem auf ein Koordinatensystem abbildet und da L1 und L2 Lorentztransformationen sind, ist somit auch L1*L2 eine Lorentztransformation.

2.) Assoziativgesetz
Lineare Abbildungen sind assoziativ, also sind insbesondere auch Lorentztransformationen assoziativ.

3.) Neutralelement
Die Identitat: Koordinatensystem1 -> Koordinatensystem1 ist ebenfalls linear und erfüllt trivialerweise alle Bedingungen.

4.) multiplikativ inverses Element
Sei L1: Koordinatensystem1 -> Koordinatensystem2, linear
Hier verwenden wir, dass ein Koordinatensystem von einer Basis aufgespannt wird. Somit kann L1 keine Projektion auf einen niederdimensionalen Raum sein.

Sei L2:= Koordinatensystem2 -> Koordinatensystem1, linear, die Umkehrabbildung von L1; diese Abbildung ist durch die Basisvektoren definierbar.

Sei also {b1,b2,...,bn} die Menge der Basisvektoren des Koordinatensystems1, dann gilt:

L2*L1(b1)=b1
L2*L1(b2)=b2
(...)
L2*L1(bn)=bn

für alle Basisvektoren.

Da jeder Vektor eine Linearkombination der Basisvektoren ist, gilt somit für alle x:

L2*L1(x)
=L2*L1(x1*b1+x2*b2+...+xn*bn)
=x1*(L2*L1(b1)+x2*(L2*L1(b2)+...+xn*(L2*L1(bn)
=x1*b1+x2*b2+...+xn*bn
=x

Somit ist L2*L1 gleich der Einheitsmatrix und L2 das multiplikative inverse Element von L1.

5.) Kommutativgesetz
Das Kommutativgesetz ist im allgemeinen Fall der linearen Abbildungen nicht gültig, doch ist dies keine notwendige Gruppeneigenschaft.

Somit ist bewiesen, dass die Lorentztransformationen bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.


Was meint Ihr ? Ist der Beweis hieb- und stichfest oder fehlt noch etwas ?

Freundliche Grüsse, Ralf

[M_Hammer_Kruse]

Hallo Ralf,

die Lorentztransformationen sind eine Teilmenge der 4x4-Matrizen über den komplexen Zahlen. Da jene eine Gruppe bilden, genügt es, die Abgeschlossenheit der Teilmenge zu zeigen.

Gruß, mike

[ralfkannenberg]

[M_Hammer_Kruse]

Hallo Ralf,

Du hast natürlich recht. Matrizen bilden ja allgemein nur einen Ring, weil der multiplikativen Verknüpfung die Gruppeneigenschaft fehlt. Und gerade um diese geht es hier ja.

Gruß, mike

[Erik]

Hallo Ralf,

[ralfkannenberg]

[ralfkannenberg]

[Erik]

Ralf, Du machst Dir unnötig Arbeit. Der Beweis ist bereits abgeschlossen
oder siehst Du noch eine Lücke?

Du kannst natürlich die Gruppeneigenschaft auch für beliebige Funktionen
h nachweisen, aber was bringt Dir das? Solange h wesentlich verschieden
von |.| ist, handelt es sich bei dieser Gruppe schlicht nicht um
Lorentz-Transformationen. Da Du an h gar keine Forderungen stellst, sehe
ich auch nicht wodurch Du x-->ax ausgeschlossen haben willst.
Man kann ja sogar h identisch null wählen und erhält als Gruppe alle
umkehrbaren linearen Abbildungen M --> M.

Noch etwas: Die Umkehrbarkeit von L folgt übrigens allein aus |Lx| = |x|.
Sie folgt aber natürlich nicht aus h(Lx) = h(x) für beliebiges h. Deswegen
mußt Du sie explizit voraussetzen, indem Du forderst, daß Basen auf Basen
abgebildet werden (bzw. Koordinatensysteme auf Koordinatensysteme), was
praktisch dasselbe ist, wie die Umkehrbarkeit. Man benötigt eine solche
Voraussetzung im Fall der Lorentz-Trafos aber nicht.

[ralfkannenberg]

[Erik]