Fehlerkatalog: H2

[ralfkannenberg]

[M_Hammer_Kruse]

Hallo Ralf,

wenn Dir das zu sehr nach Mittelstufenmathematik riecht, dann eben etwas formaler:

Deine Gleichungen (1) und (2) liefern nach Division

beta_3=(beta_1+beta_2)/(1+beta_1*beta_2).

Daraus ergibt sich

1-beta_3²=((1+beta_1*beta_2)²-(beta_1+beta_2)²)/(1+beta_1*beta_2)².

Hier vereinfacht sich der Zähler zu

(1-beta_1)²*(1-beta_2)².

Damit wird

1/(1-beta_3)²=(1+beta_1*beta_2)²/((1-beta_1²)*(1-beta_2²)),

und daraus können wir jetzt die Wurzel ziehen. Nun sind zwar alle vier Wurzeln formal zweideutig im Hinblick auf das Vorzeichen. Wir vereinbaren aber wie üblich, daß ohne besonderen Hinweis mit der Quadratwurzel stets der Hauptwert gemeint ist.

Das hast Du oben ohne besondere Erwähnung bei der Definition von gamma_1 und gamma_2 übrigens auch schon getan. Wir tun es hier ebenso für die linke Seite und den Zähler der rechten Seite. Und dann haben wir alles beisammen, was nötig ist:

Wurzel(1/(1-beta_3²))=(1+beta_1*beta_2)/(Wurzel(1-beta_1²)*Wurzel(1-beta_2²)),
wobei alle Wurzeln stets positiv sind.

Wir definieren gamma_3=1/Wurzel(1-beta_3²), verwenden Deine Definitionen für gamma_1 und gamma_2, und dann steht da alles, was wir brauchen.

Gruß, mike

[ralfkannenberg]

[ralfkannenberg]

[ralfkannenberg]

[ralfkannenberg]

[Karl]

Hallo Ralf,

ich versuche mich mal an einem Beweis für die Gruppeneigenschaft der Lorentz-Transformation mittels Bilinearform.


Sei A ein affiner Raum über T, d.h., der lineare Vektorraum T ist der Tangentialraum von A.

Sei weiters (x,y), x,y∈T eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform in T. Eine solche wird ein inneres Produkt in T genannt.

Ist die quadratische Funktion ψ(x) := (x,x) positiv oder negativ definit, d.h., ψ(x)>0 bzw. ψ(x)<0 für alle x aus T, so wird A ein euklidischer Raum genannt. Ist ψ(x) indefinit, so wird A ein pseudo-euklidischer Raum genannt.

Für den folgenden Beweis ist die Forderung, dass (x,y) nicht ausgeartet ist notwendig und hinreichend. (x,y) muss nicht symmetrisch sein und ψ(x) muss nicht defint oder semi-definit sein.

Eine lineare Abbildung τ: T→T für die gilt, dass (τx,τy) = (x,y) wird im Falle von ψ(x) definit eine orthogonale Transformation und im Falle von ψ(x) indefinit eine pseudo-euklidische Drehung genannt. (x,y) ist bezüglich τ invariant.

Die lineare Abbildung τ ist injektiv denn sei x₀∈T, x₀ ≠ 0 ein Vektor für den gilt τx₀ = 0 so steht (τx₀, τy) = (0,τy) = 0 = (x₀,y) für alle y∈T im Widerspruch zur Forderung, dass (x,y) nicht ausgeartet ist.

τ ist auch surjektiv, da aufgrund der Injektivität der Rang von τ gleich der Dimension von T ist. Somit ist τ bijektiv.

Seien σ und τ zwei orthogonale Transformationen bzw. zwei pseudo-euklidische Drehungen so gilt (στx,στy) = (τx,τy) = (x,y)

Somit ist auch die Zusammensetzung στ eine orthogonale Transformation bzw. pseudo-euklidische Drehung.

Die Zusammensetzung von Funktionen ist assoziativ. Somit bilden die orthogonalen Transformationen bzw. pseudo-euklischen Drehungen eine Gruppe denn aufgrund der Bijektivtät ist die Abgeschlossenheit gegeben. Das neutrale Element ist die identische Transformation τ_ix = x, die trivialer Weise orthogonal ist. Das inverse Element zu τ ist, da τ bijektiv ist, die Umkehrfunktion τ^-1.

Dass die Umkehrfunktion ebenfalls eine orthogonale Transformation ist, zeigt sich wie folgt:

(x,y) = (ττ^-1x, ττ^-1y) = (τ^-1x,τ^-1y)

Beispiel:

Sei T ein Lorentz-Raum L⁴ und x,y ∈ L⁴
Bezügliche einer Basis B seien X⁰, X¹, X², X³ die Koordinaten von x und Y⁰, Y¹, Y², Y³ die Koordinaten von y und

(x,y) = X⁰Y⁰-X¹Y¹-X²Y²- X³Y³

Diese Bilinearform ist symmetrisch und nicht-ausgeartet. Die quadratische Funktion &psi(x) = (x,x) ist indefinit.

Bezügliche einer Basis B’ seien X’⁰, X’¹, X’², X’³ die Koordinaten von x’ und Y’⁰, Y’¹, Y’², Y’³ die Koordinaten von y’.

Die Lorentz-Transformation τ welche den Basiswechsel beschreibt, lautet:

X’⁰ = γ(X⁰+βX¹),
X’¹ = γ(βX⁰+X¹),
X’² = X²,
X’³ = X³ und
γ = (1-β²)^-1/2

Die Koordinatentransformation für y zu y’ ist äquivalent.

(x’,y’) = X’⁰Y’⁰-X’¹Y’¹-X’²Y’²-X’³Y’³ =
= γ(X⁰+βX¹)γ(Y⁰+βY¹)-γ(βX⁰+X¹)γ(βY⁰+Y¹)-X²Y²-X³Y³ =
= γ²(X⁰Y⁰+β(X¹Y⁰+X⁰Y¹)+β²X¹Y¹)-
-γ²(β²X⁰Y⁰+β(X¹Y⁰+X⁰Y¹)+X¹Y¹)-
-X²Y²-X³Y³ =
= γ²(1-β²)(X⁰Y⁰-X¹Y¹)-X²Y²-X³Y³ =
= X⁰Y⁰-X¹Y¹-X²Y²- X³Y³ = (x,y)
q.e.d.



LG,

Karl

PS.: Auf Wunsch wurde als Beispiel die Lorentz-Transformation ergänzt.

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„Wo ist meine kleine gelbe Chinalackdose?“ Der ganz normale Wahnsinn

[M_Hammer_Kruse]

Hallo Karl,

klingt gut, ist allerdings für Norbert Derksen und die GOMmmies zu mathematisch. Verstehen die leider nicht. Macht aber nichts, denn die verstehen ja eh kaum was, von richtig verstehen ganz zu schweigen.

Du müßtest jetzt nur noch unter Nennung eines geeigneten Skalarprodukts zeigen, daß (τx,τy)=(x,y) für die Lorentztransformation gilt.

Gruß, mike

[Karl]

[ralfkannenberg]

[ralfkannenberg]

[Karl]

Hallo Ralf,

[Karl]

[Karl]

Hallo mike,

[ralfkannenberg]