Der Dreierzyklus, Intermettenz

[richy]

Hi

Ich nutzte das Forum mal um einige Ergebnisse zur logistischen Gleichung festzuhalten x(k+1)=r*x(k)*(1-x(k))
Im Zusammenhang mit der Zip Verteilung scheint die Stelle, an der das Feigenbaumdiagramm in die grosse Insel der Intermittenz uebergeht r=3.82..... von besonderer Beudeutung.
Hier findet ein Uebergang vom Chaos zu einem Dreierzyklus statt.
Ich habe gestern daher mal versucht den Dreierzyklus etwas naeher zu untersuchen.
Die "verketteten" Polynome (auf meiner HP erlaeutert) stellen hier ein praktisches Hilfsmittel dar:

p(0)=x Polynom 1.ter Ordnung
p(1)=r*x*(1-x) Polynom 2.ter Ordnung
p(2)=r*(r*x*(1-x))*(1-(r*x*(1-x))) Polynom 4.ter Ordnung
p(3)= ............................................ Polynom 8.ter Ordnung
p(n)=.............................................. Polynom 2^n.ter Ordnung

Mit MAPLE lassen sich die Polynome einfach rekursiv erzeugen:
p(0):=1;
for i from 1 to 10 do p(i+1)=r*p(i)*(1-p(i)); od;

Oder mittels einer Simulation aller Anfangswerte.
So stellt p(2) alle Anfangswerte nach der 1.ten Iteration dar.

Schnittpunkte eines p(m) Polynoms mit der 45 Grad Linie stellen einen
moeglichen m fach Zyklus dar. Falls die Konvergenzkriterien erfuellt sind.
Man erkennt weiterhin, dass beim 3 er Zyklus 3 Schnittpunkte sich mit wachsendem r der 45 Grad Linie naehern ohne diese vorher zu schneiden.
=> Unter Voraussetzung der Stetigkeit "tangiert" das Polynom die 45 Gradlinie. Dessen Ableitung ist in dem Fall somit Gleich eins.

Damit laesst sich fuer den unbekannten Parameter r , an dem gerade der 3 er Zyklus einsetzt sowie die unbekannten Schnittpunkte von p(3) mit x
folgendes nichtlineares Gleichungssystem formuliere:

1) p(3,x)=x
2) dp(3,x)/dx=1

mit den Nebenbedingungen
x>0 x<1
Alle Werte sollen nichtkomplex sein
p(3) ist ein Polynom 8 ten Grades ! Mit MAPLE lassen sich jedoch 3 reelle Loesungen fuer x finden. (Bin mir nicht sicher ob MAPLE hier automatisch ein numerisches Verfahren verwendet.)

s1:=343*_Z^6-980*_Z^5+868*_Z^4-134*_Z^3-161*_Z^2+70*_Z-7
x=s2:=RootOf(s1,0.9563178420)
x=s3:=RootOf(s1,0.5143552771)
x=s4:=RootOf(s1,0.1599288184)

Sowie entsprechende recht komplizierte Loesungen fuer a;
Diese lassen sich jedoch getrennt ermitteln.
Die Werte 0.9563178420, 0.5143552771, 0.1599288184
scheinen tatsaechlich die genau die gesuchten Schnittpunkte beim Uebergang in den 3 er Zyklus darzustellen.
Setzt man einen der Werte in das Polynom p(x) ein so laesst sich nun
(leider nur numerisch) das zugehoerige r ermitteln:

fsolve(p

Wenn man die Grafik betrachtet :
ES KOENNTE SPANNEND WERDEN !
Zunaechst waere die Frage interessant.
Sind die 3 fehlenden Schnitrtpunkte komplexwertig oder mehrfach wertig.

[zeitgenosse]

Manchmal gibt es unglückliche Verwechslungen zwischen Lorenz, Lorenz und Lorentz.

1) Edward Norton Lorenz (1917-?):
Befasste sich mit Wettermodellen (Computersimulation) und beobachtete, dass kleinste Veränderungen der Anfangsvariablen grosse Auswirkungen besitzen.

Oder präziser ausgedrückt: Kleinste Ursachen haben höchst unterschiedliche Wirkung!

Auf obige Person geht auch der Lorenz-Attraktor zurück (ein System dreier gekoppelter Differentialgleichungen). Der mathematische Beweis, dass der Lorenz-Attraktor ein "seltsamer Attraktor" ist, wurde von Warwick Tucker (Uppsala University, 1998) erbracht.

2) Ludvig Lorenz (1829-1891):
Befasste sich mit dem Elektromagnetismus. Auf ihn geht der Begriff der Lorenz-Eichung zurück. Ein elektromagnetisches Feld kann auch durch Angabe seines Vektorpotentials, zusammen mit dem Skalarpotential, beschrieben werden. Schliesslich ergeben sich die die Wellengleichungen mit: d'Alembert A = (4pi/c)j

Der d'Alembert-Operator ist := Laplace - (1/c^2)(part^2/part t^2)

3) Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928):
Befasste sich mit der Maxwell-Hertzschen Elektrodynamik. Formulierte als erster die Transformationsgleichungen, in denen die Lichtgeschwindigkeit als Invariante vorkommt. Bereits zuvor hatte sich Woldemar Voigt auf der Basis eines elastischen Lichtäthers mit ähnlichen Transformationen auseinandergesetzt. In eine mathematisch saubere Form gebracht wurde die Lorentz-Transformation durch Poincaré. Ausgehend von dieser Basis vermochte Einstein die "Elektrodynamik bewegter Körper" zu publizieren.

Gr. zg
_________________
Make everything as simple as possible, but not simpler!

[M_Hammer_Kruse]

Hallo richy,

habe ich das richtig verstanden?

[ralfkannenberg]

[richy]

Hi
@zeitgenosse
Dass der Wetter Lorenz nicht der Herr Lorenz der Lorenztransformation ist wusste ich.
Aber nicht dass es in der Elektrodynamik nochmals zwei Lorentz gibt.
Tatsaechlich der eine ohne tz ? Danke fuer den Hinweis.
Und weisst du ob die Schmetterlingsgeschichte tatsaechlich nur ein Werbegag fuer Lorenz Vortraege war ?
Ich weiss jetzt im Moment nicht ob ich die Verhulst Gleichung (3 er Zyklus) mal als Wav File hoerbar mache, oder an dem dreier Zyklsu weiterrechne.
Mal sehen

@mike
Ja genau das meinte ich..
Vielen Dank fuer den Hinweis. Die Kurven schneiden sich im Grenzfall nicht sondern tangieren sich nur. Daher die doppelten Schnittstellen nicht ?
3+3+2=8. Das passt dann
Das waere schon mal etwas wert. Denn so konnte ich auch eine Loesung
fuer r=2 finden. Da schmiegen sich alle Polynome aperiodisch an die Gerade x=yoi an. Eine einzige mehrfache Schnittstelle. Und damit war die Loesung relativ einfach.
Der Dreierzyklus ist aber weitaus kniffeliger.

Hmm mal sehen. Hab grad so ne Idee und ueberschlage mal das Ganze:
Das p(6) Polynom hat die Ordnung 2^6=64
da 2*3=6 sind alle Schnittpunkte von p(2) auch Schnittpunkte von p(6)
Eine besondere Eigenschaft dieser Polynome.
(0 und yoi ist daher auch geneinsamer Schnittpunkt aller Polynome)
p(2) hat 4 Schnittpunkte bleiben 60 uebrig
Davon sind 2*3=6 gemeinsam mit dem p(3) Polynom
Bleiben 54
Und 54 ist durch 3 teilbar, naemlich 18.
Also gute Karten, dass auch das p(6) Polynom sich aperiodisch anschmiegt. Schaue es mir gerade mal an ....
Noe leider nicht. Nur die mit p(3) 3 gemeinsamen Schnittpunkte sind aperiodisch. Dazu 15 einfache Schnittpunkte. 4 davon muessen identisch sein mit p(2).
Es sind also 11 neue Hinzugekommen ! Schade
Und die aperiodischen sind jetzt (60-1/3 = 42/3 = 14 fach.
Koennen konjungiert Komplexe existieren ?
Aus meiner Idee eine analytische Loesung zu finden wird also in der Richtung nichts.
Na, dann hoer ich mir das mal per Wav File an.
ciao
richy

[richy]

Hi Ralf


Wir muessen da bischen aufpassen Null und Schnittstellen nicht zu verwechseln. Als Nullstelle muss ich dann p(n)-x betrachten.

>
Falls das Polynom in dieser Nullstelle sogar in der 1.Ableitung = 0 ist, so liegt eine doppelte Nullstelle vor.
>

Fuer p(x) ist die Ableitung beim Schnitt mit der 45 Grad Linie 1.
Und fuer p(x)-x dann 1-dx/dx=0.
Ok korrekt das sind also doppelte Nullstellen.

Hoehere Ableitungen sieht man graphisch natuerlich etwas schlecht.
Und einen Punkt hast du nicht angesprochen.
Die Nullstellen koennen natuerlich auch komplex sein.
x^2+1 =0 hat zwei konjungiert komplexe Nullstellen i und -i.
Die sieht man natuerlich besonders schlecht
Aber speziell fuer Differenzengleichungen gibt es einen Trick alle Nullstellen, auch die komplexen numerisch zu bestimmen. Polynome millionster Ordnung kein Problem. Man laesst die Iteration dazu 21 Schritte rueckwarts laufen !

Hier mal ein Beispiel:

http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/pole/pole.htm

Das sind die Nullstellen des (p(n)-yoi) Polynoms fuer r=3.1 in der komplexen Ebene.
Anmerkung:
yoi ist der grosse Attraktor y,x Null invariant = (a-1)/a
Fuer p(n)-x funktioniert der Algo nicht.

Damit kann man tatsaechlich die Nullstellen dieser besonderen verketteten Polynome auch ohne weiteres bis Ordnungen 1e6 oder hoeher berechnen.
Yepp a*x^1000 000 + b*x^999 999 + ...
Eine Erfindung des Users Konrad von chaostheorie.de.
Das Prinzip ist so simpel, dass ich es mir jedesmal neu klar machen muss.

r=2 ist ein einzigartiger Fall der logistischen Abbildung.
Hier entartet die Juliamenge zu einem Punkt, Nullstelle unendlich hoher
Mehrfachheit. Daher die analytische Loesungsmoeglichkeit fuer r=2.
Schon bei etwas hoeherem Wert als r=2 bilden die Nullstellen einen Kreis,
der bei weiterer Incrementierung von r zu einer fraktalen Juliamenge deformiert. Je weiter man sich ueber r ins Chaos bewegt, desto kleiner
werden die Imaginaerteile, das Gebilde wird zunehmend flach und es entstehen zunehmend immer mehr reelle Nullstellen.
Das ist auch voellig einsichtig, denn nur diese reellen Nullstellen stellen
reelle Repulsoren dar. Punkte die im Feigenbaumdiagramm schwarz eingefaerbt werden. Fuer den voellig chaotischen Fall r=4 entartet das Nullstellendiagramm schliesslich zu einer Linie im Intervall [0..1] auf der reellen Achse. Alle Nullstellen des Polynoms sind nun reell.
Aber nicht gleichmaessig verteilt. Wohl auch mit Mehrfachheiten.
Immerhin ein Ansatzpunkt zur Beschreibung des totalen Chaos.

Ok, jetzt lasse ich es mal gutsein
Brauch auch grad bischen Ausgleich.
Statt wav Format hab ich mich gerade fuer das raw Format im Audio Bereich entschieden.
Das werde ich wohl als naechstes angehen.

BTW super, dass hier User mit feinem mathematischem Spuersinn unterwegs sind.
ENDLICH MAL UNTER MENSCHEN !

Nach so viel speziellem noch eine "einfache" Frage :

Gibt es irgendwie eine Moeglichkeit die Nullstellen eines Polynoms beliebiger Ordnung p(n)=0 auf die Nullstellen p(n)-x=0 umzurechnen ?

Viele Gruesse
ciao
Thomas alias richy

[M_Hammer_Kruse]

Hallo richy,

[richy]

Hi mike
Danke fuer die Antwort.

>
... ohne den Umweg uber die Polynome die Nullstellen von p(n)-x auf direktem Wege aus den Nullstellen von p(n) liefert. Aber da sehe ich kein Land.
>

Ich sehe das auch so. Wobei graphisch koennte man ja meinen es sollte hier eine Loesung ueber Drehung, Streckung geben. Diese Operatoren waere aber sicherlich abhaengig vom Polynom selbst. Und ein Polynom, dass fuer p(x)-x=0 keine reelle NS aufweist, kann fuer den Fall p(x)=0 dann sehr wohl eine NS aufweisen.
Die Moeglichkeit ueber die Koeffizienten bringt mir nicht so viel.
Ab 5 ter Ordnung macht auch Maple im allgemeinen analytisch schlapp.