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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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 Verfasst am: 25.10.2011, 20:01 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: | | Kindskopf! |
Die einen meinen so, die anderen meinen so ...
Aber zurück zur Sache:
| SCR hat Folgendes geschrieben: | | [...] dann würde ich gerne auf Dein Ergebnis "-1" bei der Analyse der Schnittkrümmungen näher eingehen wollen. Da wollte ich Dich nämlich eigentlich etwas dazu fragen ... |
Darf ich Dich dazu nun etwas fragen oder nicht?
Ich würde da gerne etwas wissen.
Gruß
SCR
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Gruß
SCR
Das Festhalten an Überlieferungen ohne jeden Beweis nennt man Glaube.
-> Read the f***ing manual - finally. |
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 26.10.2011, 08:53 Titel: |
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| SCR hat Folgendes geschrieben: | | Darf ich Dich dazu nun etwas fragen oder nicht? |
Schade 
| Barney hat Folgendes geschrieben: | | EDIT: Habe eben noch $K(\partial_t, \partial_r) = -\frac{r_S}{r^3}$ ausgerechnet. Das Vorzeichen der Raumzeit-Krümmung der Schwarzschildmetrik hängt also durchaus von der Wahl des Schnittes ab. |
| SCR hat Folgendes geschrieben: | | Das ist sehr gut und völlig richtig so. Und überhaupt kein Widerspruch. |
| SCR hat Folgendes geschrieben: | P.S.: Anmerkung:
Lass' Dich dabei bitte nicht von den Ergebnissen beeinflussen, die Du unter Anwendung der Schnittkrümmung erzielt hast, sondern fühle Dich dabei "so frei wie ein Flatländer" -> Der kennt diese "von außen" erzielten Ergebnisse schließlich auch nicht.
(Eventuell aufkommende Widersprüche können wir hinterher immer noch klären) - Würde mich freuen. |
1. Du hast eine äußere Krümmung berechnet.
2. Von der Seite http://de.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild-Metrik#Geometrische_Deutung:
Du hast die im Falle der Schwarzschildmetrik vorliegende Krümmung "des Zentrums" eines Torus berechnet -> Es ist völlig logisch, dass Du eine negative Krümmung als Ergebnis erzielst:
| SCR hat Folgendes geschrieben: | | Das Gegenteil von einem Batzen ist "kein Batzen". Da der "Kein Batzen" das Gegenteil von einem "ein Batzen" ist ist er negativ gekrümmt. |
| SCR hat Folgendes geschrieben: | (das mag jetzt für den ein oder anderen vielleicht anmaßend klingen, aber) zum prinzipiellen Verständnis einer Krümmung genügt es meines Erachtens, (gedanklich) Knete (respektive Wasser), ein paar Blatt Papier (respektive Schaumstoffwürfel) sowie ein paar geeignete Werkzeuge (z.B. Schere, Klebstoff) zur Hand zu nehmen ...
Und zwar völlig egal, um was für eine Art von Krümmung es sich handelt und wieviel-dimensional die betrachtete Mannigfaltigkeit auch immer sein mag (*). |
Mich würde einmal interessieren: Zu welchem Ergebnis gelangst Du, wenn Du statt der äußeren (*) die vollständige Schwarzschildlösung als Ausgangsbasis verwenden würdest?
Gruß
SCR
(*) Dass Du die äußere Schwarzschildlösung verwendet hast ist selbstverständlich wieder einmal "reine, absolute Spekulation und Mutmaßung" von Seiten SCR - wie immer (Das sehe ich doch richtig so, oder?  ).
| SCR hat Folgendes geschrieben: | | Ich würde da gerne etwas wissen. |
Verifikation: Hast Du die äußere Schwarzschildmetrik zu Grunde gelegt?
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Gruß
SCR
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 26.10.2011, 11:06 Titel: |
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| SCR hat Folgendes geschrieben: | | Verifikation: Hast Du die äußere Schwarzschildmetrik zu Grunde gelegt? |
Hallo SCR,
was genau verstehst Du unter äußerer Schwarzschildmetrik? Wenn möglich mit Literaturreferenz.
Gruß |
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 26.10.2011, 13:14 Titel: |
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Berechtigte Nachfrage, Barney: Was habe ich denn da wieder für einen Mist geschrieben? 
Äußere Schwarzschildlösung sollte das da unten eigentlich auch heißen (und nicht "-metrik") - Da war ich in Gedanken anscheinend schon wieder woanders -> Entschuldige bitte.
(Das mit den Quellen sollte sich dann auch erledigt haben - Oder?)
Gruß
SCR
P.S.: Wenn mich mein "topologisches Grundverständnis" nicht ganz täuscht solltest Du bei Zugrundelegung der vollständigen Schwarzschildlösung und bei unverändert angewandter (Berechnungs-)Logik zum Ergebnis "ungekrümmt" / "flach" kommen (Erläutere ich bei Bedarf auch gerne) -> Ich bin sehr gespannt.
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Gruß
SCR
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 26.10.2011, 14:29 Titel: |
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| SCR hat Folgendes geschrieben: | | ich bin noch am überlegen, wie ich Dir am Besten antworte |
Schnickschnack!
Da wird jetzt nicht lange gemutmaßt und derweil weiter fröhlich Prosa produziert; Rechnen ist angesagt.
Sei
$f :ℝ^2 \rightarrow ℝ^3$
ein reguläres Flächenstück und die Vektorfelder $\vec{\xi_1}, \vec{\xi_2}$ tangential an $f$, ferner $\vec{N} := \vec{\xi_1} \times \vec{\xi_2}$.
Es bezeichne $\langle .,. \rangle$ das kanonische Skalarprodukt des $ℝ^3$.
A) "Rechne" $\langle \vec{\xi_2},\vec{N}\rangle$ aus!
"$D$" sei nun ein Differentialoperator, von dem wir nur erstmal nur vorraussetzen, dass er
- auf Vektorfelder wirken kann
- und auf Skalarprodukte von Vektorfeldern gemäss der Produktregel (aka"Leibnizregel") wirkt.
B) Gib symbolisch(!) $D(\langle \vec{\xi_2},\vec{N}\rangle)$ als Summe von Skalarprodukten an!
Und ich will kein Geschwurbel als Rückantwort lesen müssen... |
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 26.10.2011, 14:56 Titel: |
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Hallo Solkar,
| Solkar hat Folgendes geschrieben: | Schnickschnack!
Da wird jetzt nicht lange gemutmaßt und derweil weiter fröhlich Prosa produziert; Rechnen ist angesagt. |
Nein.
Gruß
SCR
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Gruß
SCR
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 26.10.2011, 15:18 Titel: |
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@Barney
QED  |
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 26.10.2011, 22:11 Titel: |
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Hallo Solkar,
interessehalber:
| Zitat: | | Wenn wir die Teile von Ω entfernen, die nicht Punkte von Ω darstellen, verbleibt in jedem Horn ε in den übrigen Teilen ein Hals δ mit Radius r. Wenn wir sie entlang der mittleren 2-Sphere trennen und die Enden durch standardisierter Kappen so nähern, dass die Krümmungsabschnürung nicht verschwindet, ergibt sich nach einer Skalierung mit r^-2 eine etwa in der Mitte jeder Kappe zentrierte metrische Sphäre mit Radius δ^-1r in dem normal bedeckten, unendlichen Zylinder, welchen wir im 2. Abschnitt einer näheren Betrachtung unterzogen hatten. |
Zugegeben, ein klein bißchen "umgeschrieben" - Was sagen Dir dennoch diese Zeilen, Solkar?
(Und evtl. weiterführend: Was könnte das - und sei es auch nur ansatzweise - mit meiner zuletzt an Barney gerichteten Frage zu tun haben?)
Gruß
SCR
P.S.:
| SCR hat Folgendes geschrieben: | | ich bin noch am überlegen, wie ich Dir am Besten antworte -> Ich muß Dich leider noch um ein wenig Geduld bitten. |
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Gruß
SCR
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 27.10.2011, 00:52 Titel: |
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| SCR hat Folgendes geschrieben: | | Was sagen Dir dennoch diese Zeilen, Solkar? |
Dass Du jetzt auch noch meine Zeit verschwenden willst; das kannst Du Dir aber geflissentlich abschminken! |
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 27.10.2011, 06:20 Titel: |
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Guten Morgen Solkar,
das hatte ich fast vermutet (*) - In diesem Fall möchte ich Dir keine böse Absichten unterstellen.
Ich möchte Dich aber dann gleichzeitig auch darum bitten, zukünftig etwas stärker bei der Verwendung von Begriffen wie Spekulation, Mußmaßung, Deduktion etc. in Deiner Wortwahl zu differenzieren - Vielen Dank!
Gruß
SCR
(*) Es handelt sich um einen vierzeiligen Text. Entweder erkennt man sofort, von welchem bedeutenden Sachverhalt hier gesprochen wird (und kann die Frage dann mit einem knappen Satz oder - wenn einem das schon zuviel ist - gar nur in zwei Stichworten, [Name] + [Inhalt], beantworten) - Oder eben nicht. Zumal ich Dir in Form "einer weiterführenden Frage" meines Erachtens auch noch einen Tipp dazu gegeben habe.
Ich kann Dir jetzt dann aber auch Deine Frage beantworten, bezüglich der ich Dich um Geduld bat (folgt im Laufe des Tages / heute abend).
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Gruß
SCR
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 27.10.2011, 06:29 Titel: |
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Guten Morgen Barney,
hast Du es jetzt einmal mit der vollständigen Schwarzschildlösung probiert, Barney?
Es würde mich wirklich sehr interessieren: Schließlich kombiniert man dabei die negativen Krümmungen der äußeren Schwarzschild- mit der positiv gekrümmten "Kugel" der inneren -lösung.
Ich denke, beides könnte sich dann exakt aufheben -> In Summe / Im Ergebnis = "flach".
 (Quelle: wikipedia; "Das Loch in der Mitte der äußeren Schwarzschildlösung wurde gefüllt" -> Topologisch gesehen müsste das IMHO eine Reduktion des Geschlechts um 1 bedeuten)
Oder evtl. auch anders herum:
Man drückt mit dem Daumen eine Delle in den Knet, der ursprünglich eine Minkowski-Metrik darstellt -> Das könnte dann möglicherweise im Rahmen mathematischer Krümmungsanalysen als reine äußere und nicht als innere interpretiert werden.
(Frank hat topologische Kenntnisse - Er könnte meine Überlegungen einmal verifizieren, wenn er Lust hat; oder meines Wissens auch zeitgenosse ...).
Ich wäre Dir auf jeden Fall sehr zu Dank verbunden, Barney!
Gruß
SCR
P.S.: Ich erinnere mich auch eine ganz kurze Diskussion mit "Ich" zum de Sitter-Raum auf quantenforum.de (war nur ein Nebenaspekt): Der de Sitter-Raum entspricht einem Hyperboloiden (siehe z.B. <hier>, Seite 4) -> Der de Sitter-Raum müsste eigentlich eine negative Krümmung besitzen (Hyperboloid = "typische Sattelfläche").
Die Schnittkrümmung "spuckt" hier aber auch für den de Sitter-Raum durchaus ("modellabhängig") andere Krümmungswerte aus ... Wir hatten das dort aber nicht zu Ende diskutiert.
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Gruß
SCR
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 27.10.2011, 07:54 Titel: |
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Nur um sicher zu gehen:
 (Quelle: wikipedia)
Sagt Dir diese Grafik etwas, Solkar?
Gruß
SCR
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Gruß
SCR
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 27.10.2011, 09:36 Titel: |
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| SCR hat Folgendes geschrieben: | | hast Du es jetzt einmal mit der vollständigen Schwarzschildlösung probiert, Barney? |
Hallo SCR,
um zu wissen, dass deine Flach-Torus-Fantasien aus physikalischer Sicht schlicht Humbug sind, braucht man hier nichts mehr zu rechnen. Und warum das so ist, kannst du dir mittlerweile auch selbst erklären.
Gruß |
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 27.10.2011, 12:18 Titel: |
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Hallo zusammen,
erst einmal zur "Auflösung" dessen, wonach ich Solkar gefragt hatte:
Grigori Jakowlewitsch Perelman hat im Rahmen mehrerer Arbeiten - nach bis dato knapp 100 Jahren vergeblicher Bemühungen durch die Fachwelt - die Poincaré-Vermutung bewiesen.
| wikipedia hat Folgendes geschrieben: | | Ende des Jahres 2002 tauchten Meldungen auf, Grigori Perelman vom Steklow-Institut in Sankt Petersburg habe die Vermutung bewiesen. Er verwendet die von Richard Hamilton entwickelte analytische Methode des Ricci-Flusses, um die allgemeinere Vermutung der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten von William Thurston zu beweisen, aus der die Poincaré-Vermutung als Spezialfall folgt. Perelman veröffentlichte seine sich über mehrere Publikationen erstreckende und insgesamt etwa 70 Seiten umfassende Beweiskette im Online-Archiv arXiv. Die Arbeit wurde seitdem von Mathematikern weltweit überprüft und in Anerkennung der Richtigkeit seines Beweises wurde Grigori Perelman 2006 beim Internationalen Mathematikerkongress in Madrid die Fields-Medaille verliehen, die er aber, wie von ihm zuvor angekündigt, nicht annahm. |
Aus einem der Aufsätze Perlemans stammt nun obig "verfremdete Darstellung" eines Zitats, das mir freundlicherweise ein sehr kompetenter User in einem anderen Forum zur Verfügung stellte:
| Perelman hat Folgendes geschrieben: | | Im Übrigen entfernen wir die Komponenten von Ω, die keine Punkte von Ω enthalten und finden in jedem ε-Horn jeder der verbleibenden Komponenten einen δ-Hals vom Radius h vor; zerschneiden ihn entlang der mittleren Zwei-Sphäre, entfernen das hornförmige Ende und kleben eine Standardkappe mehr oder weniger so ein, dass die Krümmungsabschnürung erhalten bleibt und sich nach Skalierung mit dem Faktor h^-2 eine nahe der Mitte der Kappe zentrierte metrische Kugel vom Radius (δ)^(-1h) δ-nahe der entsprechenden Kugel in dem normalen bedeckten unendlichen Zylinder befindet, der in Abschnitt 2 betrachtet wurde ... |
Dieses Zitat stellt DEN ZENTRALEN NEUEN ANSATZ Perelmans zur Lösung des Problems dar, an dem zuvor die fähigsten und kompetentesten Mathematiker ihrer jeweiligen Zeit gescheitert sind.
Was ist das Besondere daran? Perelman hat eben gerade nicht "einfach drauflos gerechnet".
Er hat sich vielmehr zuvor ganz genaue Gedanken gemacht, was er tut; so kam er als erster überhaupt auf die Idee, es hier vielleicht einmal mit "gezielten chirurgischen Schnitten" zu versuchen.
Wie lautet die Poincaré-Vermutung konkret?
| wikipedia hat Folgendes geschrieben: | | Eine kompakte, unberandete, 3-dimensionale Mannigfaltigkeit hat genau dann eine triviale Fundamentalgruppe, wenn sie homöomorph zur 3-Sphäre ist. |
Um was geht es dabei (grob)? Siehe hierzu z.B.
http://www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm/popularisation/Poincare-Vermutung/
bzw. aus http://www.zeit.de/2006/35/Mathe-Topologie:
| Zitat: | | Wie also könnte der Bewohner einer solchen Fläche herausfinden, auf welcher Sorte er lebt? Die mathematische Antwort: indem er ein unendlich elastisches Gummiband auf alle möglichen Arten um seine Welt spannt. Wenn es in jedem Fall auf einen einzelnen Punkt zusammenschnurrt, lebt man auf einer kugelähnlichen Welt (Abb. 1). Auf Autoreifen und Brezeln kann man dagegen das Gummi immer so spannen, dass es sich nicht zusammenziehen lässt, weil eines der Löcher im Weg ist (Abb. 2, 3). |
[...]
Anmerkung: Die "Gummiband-Prüfung" visualisiert die oben verlinkte wikipedia-Grafik, die ich als Frage an Solkar gerichtet hatte (für zweidimensionale und >3-dimensionale Mannigfaltigkeiten ist im Übrigen das Ganze längst bewiesen):
| SCR hat Folgendes geschrieben: | | (Quelle: wikipedia) |
Und seinen Lösungsweg vergleiche ich jetzt "nur einmal so" mit der Beschreibung "zum Vorgehen zur Erzielung der vollständigen Schwarzschildlösung":
| wikipedia hat Folgendes geschrieben: | | Um zu einer Vorstellung zu kommen, wie sich die vollständige Schwarzschildsche Lösung mit Hilfe einer Extradimension in einem ebenen Raum einbetten lässt, beschränkt man sich zunächst auf die ersten zwei Terme der Linienelemente. Die äußere Lösung wird durch das Flammsche Paraboloid visualisiert. Diese Fläche wird an geeigneter Stelle r = rg abgeschnitten und von unten her eine Kugelhaube so angepasst, dass die Tangentialflächen beider Schwarzschild-Flächen zusammenfallen. |
Aber ist schon klar:
| Barney hat Folgendes geschrieben: | | um zu wissen, dass deine Flach-Torus-Fantasien aus physikalischer Sicht schlicht Humbug sind, braucht man hier nichts mehr zu rechnen. |
Bei uns gibt es ein Sprichwort: "Was der Bauer nicht kennt frisst er nicht"
Eingefleischte Physiker sind in ihren "Reaktionen" womöglich nur noch eine Schippe radikaler ...
Aber damit hier auch endlich einmal wenigstens "ein Hauch von Berechnung durch den Thread weht" (und in der Hoffnung, dass die Herren zumindest ansatzweise zufrieden gestellt werden):
Aus http://www.relativ-kritisch.net/forum/viewtopic.php?p=27730#27730:
| zeitgenosse hat Folgendes geschrieben: | Die skalare Krümmung am Ereignishorizont der Schwarzschild-Metrik beträgt:
R = (sqrt3/2)(c^2/GM)^2
(R ist der Krümmungsskalar)
Ein (unendlich) ferner Beobachter nimmt den Ereignishorizont als sphäroide Grenzfläche wahr. |
Frage:
Wie passt nun die skalare Krümmung (= innere Krümmung) mit dem von Dir ermittelten Schnittkrümmungswert "-1" (= äußere Krümmung, die gleichzeitig die innere Krümmung repräsentieren sollte) bezüglich der Schwarzschildlösung zusammen, Barney?
Erkläre mir das bitte - ICH bringe das nämlich (nachdem Ihr mir ja offensichtlich "verbietet", es auf die jeweils zugrundeliegende Mannigfaltigkeit zurückzuführen) nicht überein.
Aber vielleicht haben Du und Solkar ja auch Recht und ich bin einfach nur zu doof dafür.
Du kannst mir mein real vorliegendes Unvermögen an dieser Stelle ohne größere Schwierigkeiten beweisen: Lege dazu doch einfach Dein Schnittkrümmungs-Ergebnis für die vollständige Schwarzschildlösung auf den Tisch.
Ich möchte Dich zumindest hiermit nochmals darum bitten.
Vielen Dank!
Gruß
SCR
P.S.: Hier der Vollständigkeit halber die zum Teil aussagekräftigeren Artikel im englisch-sprachigen wiki
Poincaré conjecture
Grigori Perelman
http://www.sciencemag.org/content/314/5807/1848.full
P.P.S.:
Eventuell noch interessante Notiz am Rande:
| wikipedia hat Folgendes geschrieben: | | Da Perelman selbst kein Interesse an einer detaillierteren Darstellung seines Beweises zeigt, haben verschiedene Gruppen von Mathematikern dies übernommen [...] |
z.B. Hamilton-Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture; Huai-Dong Cao, Xi-Ping Zhu; arXiv; 12/2006
Der gefällt mir sehr gut, dieser Perelman ...
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Gruß
SCR
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| Nach oben |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
|
| Verfasst am: 27.10.2011, 12:53 Titel: |
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| SCR hat Folgendes geschrieben: | | Aber damit hier auch endlich einmal wenigstens "ein Hauch von Berechnung durch den Thread weht" |
Ar...ch!
| Zitat: | Frage:
Wie passt nun die skalare Krümmung (= innere Krümmung) mit dem von Dir ermittelten Schnittkrümmungswert "-1" (= äußere Krümmung, die gleichzeitig die innere Krümmung repräsentieren sollte) bezüglich der Schwarzschildlösung zusammen, Barney? |
Da weiß SCR mal wieder nicht, dass Schnittkrümmung und skalare Krümmung ziemlich verschiedene Dinge sind. Aber erst mal "loskrakelen" und mit Dreck werfen. Vielleicht schaffst du es aber ja wenigstens diesen Unterschied aus der Literatur zu ermitteln. ICH erkläre dir das nämlich nicht  . |
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