LT für Fußgänger

[julian apostata]

[973]

Die "beste" Herleitung hängt immer von der Zielgruppe ab. Für wissenschaftliche Zwecke oder Leser sollte alles sauber sein. Ein großes Problem ist aber, Sachen "verständlich" zu vermitteln. Dabei bedeutet "verständlich", es auf andere akzeptable plausibel erscheinende und/oder gewohnte Kenntnisse zu reduzieren.

Am einfachsten verständlicher Ausgangspunkt ist m.E., zu sagen, daß experimentiell befunden wurde, daß sich - anders bei langsamen Bewegungen des täglichen Lebens - zur Lichtgeschwindigkeit hin Geschwindigkeiten des Beobachters oder Zusatzgeschwindigkeiten auf dem Objekt zunehmend verringert bishin zu Null addieren oder subtrahieren; das bedeutet auch daß die LG eine Grenze darstellt. Sei v die Beschwindigkeit des Objektes, u der Zusatz um den sich etwas auf ihm bewegt, w die Gesamt-Geschwindigkeit, dann ist w kleiner als v + u .

Eine Möglichkeit der Plausibelmachung der Additionsformel für Leute mit mittleren Rechenkenntnissen ist: Wir beobachten insbesondere 3 Fälle für w(v,u): w(0,u)=u (bei kleinen Geschwindigkeiten) , w(1,u)=1 und w(1,-u)=1 im Grenzfall und beidseitiger Bewegungsrichtung. Ein linearer Zusammenhang geht offenbar nicht, aus den letzten beiden Gleichungen würde sofort der Koeffizient von u gleich Null folgen. Eine der einfachsten passenden Formeln ist v+u-w = uvw [oder (v+u)/w-1 = uv oder auch w=(u+v)/(1+uv)].

Oder noch besser bei Leuten mit sehr geringen Mathe-Kenntnissen: Wenn f der Abschwächungsfaktor der Zusatzgeschwindigkeit u ist, also w = v+u*f(v) , dann ist offenbar f(0) = 1 bei geringen Alltagsgeschwindigkeiten (u addiert sich normal zu v) aber f(+/-1)=0 also keine Addition nahe bis bei LG. Den Zuhörern ggf. ein Bild dazu malen, und sagen, die einfachste Form für solch eine Abschwächung der Zusatzgeschwindigkeit ist ein Faktor f=1-v² , also w = v+u*(1-v²) . [man kann ignorieren daß das nur auf 1.Ordnung von u genau ist]

Ferner kann man sagen, daß sich diese Verringerung von Geschwindigkeiten auf dem Objekt, vom Beobachter aus gesehen, gleichermaßen aufteilen auf eine scheinbar kürzer werdende Strecke und auf eine langsamer vergehende Zeit, also mit je einem Faktor Wurzel-von-(1-v²) was insgesamt die um 1-v² verlangsamte G. ergibt.

Einzelheiten mit den Integrationskonstanten bei Umrechnung in Zeit und Ort, Definition der Gleichzeitigkeit usw, kann man sich bei einfachem Publikum sparen, weil es dabei iW um die ihnen oft komisch erscheinenden und auch für die SRT wesentlichen kinematischen Effekte geht.

Manchmal füge ich noch hinzu: Wenn man zwischen zwei weißen Leuten ein Effekt den wir "rote Scheibe" nennen zwischenfügt, dann sieht A den B roter als sich selbst, aber auch umgekehrt B den A. Die Frage, wer denn jetzt wirklich roter ist, ist sinnlos, keiner. Wenn man direkt bei A oder B ist, sieht man beide weiß. Ähnliches passiert auch, wenn man zwischen beide Leute ein Filter "relativistische Effekte" zwischenschiebt. Jeder von beiden sieht dem anderen seine Zeit langsamer ablaufen und ihn mehr in Bewegungsrichtung abgeplattet als sich selbst, usw.

Diese Erklärungen sind zwar sehr vereinfachend, aber nicht prinzipiell falsch; die letzte lockert nur ein eingefahrenes Verständnis aus dem Alltagsleben, wo vieles umgekehrt reziprok statt direkt reziprok ist.

Bei Leuten mit besseren Mathe-Kenntnissen kann man auch versuchen zu erklären, daß die Gesamtheit beider Koordinaten als invariantes Intervall angesehen wird, und aus Gleichsetzung des Bogens mit in einem System der Ortsänderung = 0 direkt die LT ableiten, wohl der einfachste Weg.

Ich hab' die Erfahrung gemacht, daß sich damit - also a) die LG als beobachterinvariant als ein Beobachtungsbefund klarstellen, und dann b) eine plausible Additionsformel dazu angeben, sowie c) die gleichmäßige Verteilung auf Intervalle von Zeit und Weg erwähnen - fast alle Zuhörer zufrieden geben und es als plausibel bezeichnen. In einigen Fällen hat mir sogar jemand gesagt, daß er schon große Anstrengungen gemacht hat, die LT und SRT zu verstehen aber erfolglos und er deshalb nicht daran glaubte, aber durch diese Erklärung sei es ihnen jetzt sehr plausibel geworden.

Deshalb empfehle ich, diese Erklärungsweise zu versuchen in Fällen wo andere versagt haben.

[julian apostata]

Ich denk mal: Die einfachste Möglichkeit, die die relativistische Geschwindigkeitsaddition zu erklären, ist das da hin zu schreiben.

$"v+u"=\frac{v+u}{1+\frac{v\cdot u}{c^2}}\text{ relativistische Geschwindigkeitsaddition}$

Darauf hin kann man dann locker die folgende Formel hinschreiben.

$"2\cdot u"=v=\frac{2\cdot u}{1+\frac{u^2}{c^2}}\text{ relativistische Geschwindigkeitsverdopplung}$

Die nächste Formel geht dann zwar nicht mehr ganz so locker, weil man dann schon eine quadratische Ergänzung braucht, aber es ist machbar.

$"v\div 2"=u=\frac{v}{1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\text{ relativistische Geschwindigkeitshalbierung}$

Wenn man sich nun folgende Animation anschaut, dürfte auch klar sein, dass wenn eine Masse auf eine andere gleiche (Ruhe)masse unelastisch stößt, beide Massen dann mit der relativistischen Hälfte von v weiterziehen.

Das Gedankenexperiment hab ich mir nicht selbst ausgedacht, sondern es stammt von Max Born (dem Opa von Olivia-Newton-John)



Nun sei M die “relativistische Masse” der stoßenden Masse und m deren “Ruhemasse”, dann lässt sich folgende Beziehung herstellen.

M*v=(M+m)u

So, ich hoffe nun, dass die meisten hier imstande sind, diese Gleichung nach M aufzulösen und u dabei zu eliminieren.

[973]

Einfachste rein formale Ableitungen sind wohl die über das Bogenelement, andere der diversen Möglichkeiten findet man heutzutage zBsp auch in der wiki. Aber die formale Ableitung für Studenten usw ist eine Sache, eine für Leute mit einfachen Vorkenntnissen verständliche erklärende, plausible statt mathematisch total perfekte, Ableitung ist eine andere. Und um Mißverständnisse einfacher Leute zu klären, ist schwerpunktmäßig Letzteres nötig (denn genau bei solchen Leuten liegt das Problem mit Mißverständnissen). Zumindest hab' ich mit solchen Erklärungen gute Erfahrung gemacht.

[julian apostata]

[973]

Wie gesagt, die beste Herleitungsweise ist die, bei der es auf etwas zurückgeführt wird, was schon bekannt und akzeptiert ist. Das ist nicht das, was historisch vor der RT als erklärungsbedürftig bekannt wurde; der historische Weg ist oft nicht der verständlichste. Selbst das gilt übrigens nur bedingt - auch schon bevor physikalische Beobachtungen zunehmend andeuteten daß gemessene Intervalle von Raum und Zeit irgendwie verbunden sind, wußte man u.a. durch Gauß und Riemann seitens der Differentialgeometrie, daß unterschiedliche Dimensionen durch eine Metrik verknüpft sind oder es potentiell sein können.

Deshalb hängt es von den Voraussetzungen der Zuhörer ab, ob man die LT zBsp vom Bogenelement oder aber von der Konstanz der LG ableitet.

Die im ersten Fall vorausgesetzte Glaubhaftmachung eines Bogenelementes vom Typ ds²=c²dt²-dl² für die reelle Welt als gegeben läuft auf den Nachweis hinaus, daß es dem beobachteten invariantem v bei v->c entspricht -- und das entspricht implizit oder explizit der Ableitung der LT selbst, zumal das alles nur ganz kurze Umformungen sind. Sodaß es vielleicht besser ist zu sagen, daß der kürzeste formale und ebenfalls relativ einleuchtende Weg ist, die LT zusammen mit einer Erklärung der Metrik herzuleiten.

Will man aber die SRT Leuten mit nur ganz geringen Rechenkenntnissen, etwa der Hauptschule, oder Leuten die das bisher alles 'obskur' oder sogar falsch hielten, erklären, so wäre Obiges zu kompliziert, und muß man viel einfacher vorgehen. Unabdingbar ist dabei, zuerst zu sagen daß beobachtet wurde, daß bei höheren Geschwindigkeiten eine 'zusätzliche' Geschwindigkeit oder Beschleunigung, für den außenstehenden Beobachter abgeschwächt erscheint, und zwar bei Annäherung an die LG bis auf praktisch Null abgeschwächt. (Hinzufügen kann man auch noch die Anmerkung, das so auch Beschleunigungen gegen c zunehmend verringert oder das Objekt zunehmend träger/'schwerer' erscheint). Danach kann man, wie in meinem vor²igen post vorgehen, den Leuten auch ruhig sagen daß diese zur Verständlichkeit aus drei Punkten (v~c,-c,0) und mit einer möglichst einfachen Formel genäherte Darstellung bei längerer genauer Rechnung sich auch bestätigt. Die wirklich näher interessierten dieser Zuhörer werden dann jederzeit die Gelegenheit haben, die exakten Ableitungen nachzuvollziehen, aber jedenfalls gehen sie schon von vornherein mit gesundem Verstand statt mit obskurem Unverständnis oder Zweifel an die Sache heran.

Wenn man jung ist, ist man um maximal genaue, 'perfekte', ruhig auch langwierige Rechnungen bemüht. Wenn man älter wird, sortiert man schneller Nebensächlichkeiten aus und konzentriert sich aufs Wesentliche. Das gilt auch für die Bemühungen, etwas 'verständlich' zu machen (zumindest formal verständlich). Besser eine genäherte (trotzdem wesentlich richtige) Herleitung die einfache Zuhörer verstehen, als eine genaue die sie nicht verstehen.

[julian apostata]

[Lucas]

[M_Hammer_Kruse]

Man darf an dieser Stelle eben nicht das normale Pluszeichen verwenden, um die relativistische Geschwindigkeitsaddition zu kennzeichnen.

Es handelt sich nunmal um eine andere Verknüpfung als um die gewöhnliche Addition.

Darum hat sie auch ein anderes Zeichen verdient. Dazu einen Additionsterm in Anführungszeichen zu setzen, ist allerdings unangemessen. Besser - und in der mathematischen Nomenklatur zulässig - ist es z. B., ein Pluszeichen in einem Kreis zu verwenden.

Zum Beispiel $u \oplus v=\frac{u+v}{1+\frac{u \cdot v}{c^2}}$.

Gruß, mike

[julian apostata]

[Barney]

[julian apostata]