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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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 Verfasst am: 28.09.2011, 09:33 Titel: Formel/Ansatz für Ermittlung einer Strecke gesucht ... |
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Guten Morgen zusammen!
ich stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch - Evtl. könnte mir einmal jemand etwas unterstützend bei folgender Aufgabenstellung unter die Arme greifen:
Die Halbachsen a und b sowie der Winkel α seien bekannt.
Wie ermittle ich daraus das gesuchte r?
Ich bin die ganze Zeit am Grübeln, finde aber einfach überhaupt keinen Ansatz ...
Womöglich bin ich einfach nur zu doof.
Vielen Dank für Eure Bemühungen!
Gruß
SCR
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SCR
Das Festhalten an Überlieferungen ohne jeden Beweis nennt man Glaube.
-> Read the f***ing manual - finally. |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 28.09.2011, 10:19 Titel: |
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Hallo SCR,
das kann man über die zwei Gleichungen $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ und $y/x=\tan \alpha$ lösen. OK? |
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 28.09.2011, 11:17 Titel: |
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Hallo Barney!
Vorab erst einmal vielen Dank für Deine Bereitschaft zur Erteilung von derart grundsätzlicher "Geometrie-Nachhilfe"!
| Barney hat Folgendes geschrieben: | | das kann man über die zwei Gleichungen $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ [...] |
Ja - Aus a²=x²+y² folgt x²/a² + y²/a² = 1 ... in diesem Falle sollten in obiger Grafik x und y durch die beiden eingefügten grünen Strecken repräsentiert werden können (?):
In solchen Richtungen dachte ich schon nach / versuchte ich es bereits. Ich kam da aber irgendwie nicht weiter ...
Denn falls gleichzeitig ...
| Barney hat Folgendes geschrieben: | | [...] und $y/x=\tan \alpha$ lösen. |
... zutreffen sollte, müsste γ doch einen 90°-Winkel bilden (Oder? Dachte ich zumindest ...) - Aber das tut er doch nicht (?) ...
bzw. andersherum: Falls γ=90° würde der Schnittpunkt von xy nicht mehr auf dem Elipsoid liegen (?) ...
Weiterhin: Hätte ich einen Kreis vor mir müsste ich zudem dann nicht eigentlich auf den Durchmesser (hier =2a) und nicht auf den Radius (hier =a) Bezug nehmen?
(in dem Sinne hier:
 )
Kurz: In Summe sind / scheinen mir die von mir eingezeichneten grünen Linien für x und y dann doch als völlig falsch ... 
| Barney hat Folgendes geschrieben: | | OK? |
-> Nein, tut mir leid: Hilft mir leider noch nicht wirklich weiter.
Vielleicht ist das aber alles auch nur "Perlen vor die Säue ..." 
-> Wenn Du mich als "hoffnungslosen Fall" erachtest laß es einfach - Kein Ding.
Gruß
SCR
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 28.09.2011, 12:05 Titel: |
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| SCR hat Folgendes geschrieben: | | -> Wenn Du mich als "hoffnungslosen Fall" erachtest laß es einfach - Kein Ding. |
Hallo SCR,
gaaanz langsam....
Lege erst mal ein Koordinatensystem über deine Ellipse und zwar so, dass der Ursprung des Koordinatensystems mit dem Zentrum der Ellipse zusammenfällt. Die x-Achse zeigt entlang der großen (Halb)achse a und die y-Achse entlang der kleinen (Halb)achse b. Die Koordinaten x und y sind dann die Koordinaten des eingezeichneten Punktes (s. Grafik ganz oben). Das gesuchte r ist dann gleich der x Koordinate. Wir müssen also nur aus den zwei vorgegebenen Gleichungen eine Gleichung in der Form $x = x(\alpha )$ machen.
Das geht so:
$\tan \alpha = y/x$ quadrieren wir zu $\tan^2 \alpha = y^2/x^2$ oder $x^2 \tan^2 \alpha = y^2$. Das setzen wir in den Ellipsengleichung ein:
\[
x^2/a^2 + \frac{x^2 \tan^2 \alpha}{b^2} = 1
\]
(b dabei nicht vergessen!!). Daraus folgt $x^2 (1/a^2+\frac{\tan^2 \alpha}{b^2}) = 1$ oder
\[
x^2(\frac{b^2+a^2\tan^2 \alpha}{a^2b^2}) = 1
\]
oder
\[
r=x=\frac{\pm ab}{\sqrt{b^2+a^2\tan^2 \alpha}}
\]
Bei dieser Formel testet man dann noch den Fall a=b=1 und bekommt damit $x=x$ und damit die Bestätigung, dass die Formel nicht so ganz verkehrt sein kann. |
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SCR
Anmeldedatum: 23.06.2009
Beiträge: 358
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| Verfasst am: 28.09.2011, 14:24 Titel: |
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Ah - Jetzt (glaube ich)!
Die "Ellipsengleichung" ist (in meinem Fall) vermutlich der Schlüssel ...
Die kannte ich (noch?) nicht (bin halt weder Mathematiker noch Physiker - und ob wir die in der Schule ... zumindest keine Ahnung mehr)
-> Das werde ich mir jetzt einmal etwas genauer zu Gemüte führen - Dann sollte mir z.B. am Ende dieses Bild vermutlich auch keine "Rätsel" mehr aufgeben:
Und wenn sich meine ersten Vermutungen bestätigen könnte sich diese Gleichung auch noch seeehr nützlich für weiterführende Hohlkugel-Betrachtungen erweisen - Dann ahnst Du gar nicht, wie sehr Du mir damit geholfen hättest (*).
Dir erst einmal soweit herzlichen Dank für Deine Unterstützung, barney  - Mit den Infos müsste / sollte ich erst einmal alleine klar kommen (Falls dabei doch noch eine Frage auftauchen sollte würde ich mich halt einfach nochmal hier melden).
Vielen Dank!
Gruß
SCR
(*) Das Stichwort "Hohlkugel-Betrachtungen" wird Dir vermutlich nichts sagen: Ist auch egal; es genügt hier: "äußerst hilfreich" 
P.S.: Jetzt kommt mir auch wieder etwas dunkel aus der Schulzeit: Zwei Nadeln (an F1 und F2), ein zusammengeknoteter, etwas längerer Bindfaden, ein Stift -> "Ellipse"
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Gruß
SCR
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 28.09.2011, 21:29 Titel: |
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| SCR hat Folgendes geschrieben: | | Vielen Dank! |
Gerne.
Wie so oft lohnt auch ein (kurzer) Blick in den Wikipedia-Artikel zur Ellipse. Dort findet man auch ein Bild von der Bleisift-Bindfaden-Konstruktion.
Gruß |
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