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lazyjones
Anmeldedatum: 01.01.2007
Beiträge: 312
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 Verfasst am: 27.10.2010, 11:27 Titel: Durchgang durch Grenzflächen, Homogenität des Raumes |
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Hallo allerseits,
ich habe bereits einen Thread zum Thema "Metallreflexion" erzeugt. Das einzige Buch das ich kenne, wo die Fresnelgleichungen explizit auch für absorbierende Medien hergeleitet werden ist "Landau/Lifschitz: Bd. 8, Elektrodynamik der Kontinua".
Dort wird das Thema mit wundervoller Eleganz auf 2 Seiten behandelt. Leider kann ich dem ersten zentralen Gedanken nicht folgen, also ihn nicht "beweisen". Es handelt sich um Paragraph 86 "Reflexion und Brechung von Wellen" (Seite 366).
Bei Google kann man diese Seite einsehen:
http://books.google.de/books?id=kSClhal1Ij0C&pg=PA371&lpg=PA371&dq=landau+lifschitz+%C2%A786&source=bl&ots=tQ5SDKIs4b&sig=r4D9xOVhDXZHL7u9YcqrDjl_Vbg&hl=de&ei=OufHTMKMIIHLswa129jXDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CCIQ6AEwAg#v=onepage&q=landau%20lifschitz%20%C2%A786&f=false
Wie kommt man von der "vollständigen Homogenität in der x/y Ebene" zu Gleichung (86,1)? Für die y Komponente des k-Vektors begreife ich das, da der Strahl keinen Grund hätte die Richtung in y-Richtung zu ändern. Für die x Komponente fehlt mir der "Kniff".
Kann man argumentieren, dass es bezüglich x/y Koordinaten keinen "Sprung" gibt? Ist das ein übliches Argument für Grenzflächenübergänge?
Über einen Kommentar würde ich mich freuen,
Vielen Dank,
Lazyjones |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 27.10.2010, 11:59 Titel: |
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Hallo Lazyjones,
willst Du letztlich die Erwärmung des Materials/Metalles durch den Laserstrahl berechnen? Ich frage das, weil dabei voraussichtlich noch weitere Probleme zusätzlich zur Fresnelgleichung auftauchen werden.
MfG |
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lazyjones
Anmeldedatum: 01.01.2007
Beiträge: 312
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| Verfasst am: 27.10.2010, 15:49 Titel: |
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Ja, eine Erwärmung zu berechnen wäre gut. Aber das ist hier zunächst eine spätere Sorge.
Grüße,
Lazyjones |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 27.10.2010, 22:43 Titel: |
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| lazyjones hat Folgendes geschrieben: | | Wie kommt man von der "vollständigen Homogenität in der x/y Ebene" zu Gleichung (86,1)? |
Hallo Lazyjones,
Gleichung (86,1) enthält mMn einen typischen Flüchtigkeitsfehler. Da die Brechungsindizes von Medium 1 und Medium 2 i.A. verschieden sind, muss man sich also eher $k_{0x} = k_{1x} \neq k_{2x}$ denken. Man kann das unmittelbar aus der Grafik ablesen, die auch so gezeichnet ist, dass Strahl 2 nicht einfach die Verlängerung von Strahl 0 ist, sondern zur Flächennormalen hin gebrochen wird (Brechungsgesetz). Die Homogenität der beiden Medien kann man nach dieser Überlegung erst dann ausnutzen, wenn man ganz konkret nach einer exakten Lösung der Maxwell-Gleichungen mit Materie sucht:
Die elektromagnetische Welle als Lösung der Maxwell-Gleichungen hat dabei erst einmal die Gestalt:
$
\vec{A}(\vec{x},t) = Re (\vec{A}_0 \exp[i(\vec{k}\cdot \vec{x} - \omega t)])
$
sowie:
$
\vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{c\partial t}\quad \mbox{und}\quad \vec{B} = \nabla \times \vec{A}
$
mit zusätzlichen Randbedingungen, wie z.B. $\omega = ck$ für das Vakuum und $\vec{E} \perp \vec{k}$ usw. (s.a. T. Fließbach, "Elektrodynamik").
Die Lösung der in Bild 46 gezeigten Situation ist dann eine Addition dreier solcher Wellen mit der eben genannten Form und einigen Theta-Funktionen für die Berücksichtigung der Grenzfläche z=0. An der Grenzfläche zwischen Medium 1 und Medium 2 sind die em-Felder zwar stetig aber nicht unbedingt stetig differenzierbar und diese Bedingung ergibt dann zusammen mit den Maxwell-Gleichungen die Verteilung der Amplituden der em-Felder der drei Wellen und damit auch das Brechungsgesetz und auch die fresnelschen Formeln. Mit allen Details ausgeschrieben ist das eine Menge Zeugs.
Experten in theoretischer Elektrotechnik (Elektrodynamik) haben das sicher auf Abruf. Wir müssen uns das voraussichtlich aus diverser Literatur "zusammenklauen".
MfG |
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Snusmumriken
Anmeldedatum: 27.01.2008
Beiträge: 182
Wohnort: Norddeutschland
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| Verfasst am: 28.10.2010, 10:00 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: |
Gleichung (86,1) enthält mMn einen typischen Flüchtigkeitsfehler. Da die Brechungsindizes von Medium 1 und Medium 2 i.A. verschieden sind, muss man sich also eher $k_{0x} = k_{1x} \neq k_{2x}$ denken. Man kann das unmittelbar aus der Grafik ablesen, die auch so gezeichnet ist, dass Strahl 2 nicht einfach die Verlängerung von Strahl 0 ist, sondern zur Flächennormalen hin gebrochen wird (Brechungsgesetz). |
Diese Brechung geschieht aber nicht aufgrund einer Änderung von $k_x$, sondern durch die Änderung von $k_z$.
Gruß,
Snus |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 28.10.2010, 13:46 Titel: |
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| Snusmumriken hat Folgendes geschrieben: | | Diese Brechung geschieht aber nicht aufgrund einer Änderung von $k_x$, sondern durch die Änderung von $k_z$. |
Danke Snus. Das habe ich übersehen. Zusammen mit dem Brechungsgesetz kann man die Gleichung $k_{1x}=k_{2x}$ auch ausrechnen. Die veränderte Lichtgeschwindigkeit aufgrund der zwei Brechungsindizes wirkt natürlich nur in z-Richtung.
MfG |
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lazyjones
Anmeldedatum: 01.01.2007
Beiträge: 312
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| Verfasst am: 28.10.2010, 14:37 Titel: |
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Vielen Dank für eure Mühe!
Seid gestern Abend spät habe ich es verstanden. Landau hat Recht.
| Zitat: | | Zusammen mit dem Brechungsgesetz kann man die Gleichung $k_{0x}=k_{2x}$ auch ausrechnen. |
Nun, es stimmt, aus dem Snellius Brechungsgesetz folgt: $k_{0x} = k_{2x}$. Eigentlich ist es aber anders herum: Aus $k_{0x} = k_{2x}$ muss das Brechungsgestz folgen, was es auch tut.
Um $k_{0x} = k_{2x}$ zu zeigen, muss man in beiden Medien ebene Wellen als Lösung hinschreiben. Natürlich ist hier der k-Vektor in beiden Medien unterschiedlich. Insbesondere ist er im metallischen Medium komplex.
Wenn man sich durch Vergleich der ebenen Wellen anschaut was auf der Grenzfläche z=0 gilt:
$k_{0x}\cdot x + k_{0y}\cdot y = k_{2x}\cdot x + k_{2y}\cdot y$
so sieht man, dass aus dieser Gleichung, die für alle (x,y) gelten muss, die Aussage folgt.
Betrachten wir y=0:
Wäre $k_{0x}$ ungleich $k_{2x}$, so würde es nur bei x=0 keinen Phasensprung beim Übergang durch die Grenzfläche geben. Da die Wahl des Koordinatenursprungs wegen der Homogenität des Raumes beliebig ist, ist das unmöglich.
Vielen Dank für Eure Gedanken, Kommentare und Hilfe!
Mit besten Grüßen,
Lazyjones |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 28.10.2010, 18:42 Titel: |
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| lazyjones hat Folgendes geschrieben: | | Insbesondere ist er im metallischen Medium komplex. |
Womit im Metall scheinbar ein em-Wechselfeld erzeugt wird, das mit der Eindringtiefe exponentiell abfällt. Im Falle eines intensiven Lasers kann man sich jetzt gut vorstellen, dass durch so ein Wechselfeld die Atomkerne und Elektronen des Metalles so extrem durchgeschüttelt/beschleunigt werden, dass das Metall zu schmelzen beginnt oder einfach wegdampft.
Interessant! |
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lazyjones
Anmeldedatum: 01.01.2007
Beiträge: 312
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| Verfasst am: 29.10.2010, 10:48 Titel: |
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Der Mechanismus ist im Wesentlichen der folgende: Durch das exponentiell abklingende Lichtfeld wird innerhalb einer dünnen Schicht an der Oberfläche eine Energie eingekoppelt. Die Lichtenergie wird in Joulesche Wärme umgesetzt.
Diese Oberflächenwärmequelle kann zu hohen Temperaturen bis hin zur Verdampfungestemperatur des Material führen. Ab diesem Moment bohrt sich der Strahl geradezu in das Material hinein. Diese sogenannte "Dampfkapillare" ist von reichlich geschmolzenem Material umgeben, welche auch eine hohe Dynamik aufweist. Wenn die Probe aus zwei einzelnen aufeinenderliegenden Folien oder Blechen bestand, hat man am Ende eine Schweißverbindung erzeugt.
Es gibt aber noch viele weitere Prozesse in der Materialbearbeitung, die mittels Laser durchgeführt werden kann. Wichtig sind vor allem noch "Bohren", "Härten" und "Beschriften". Aufgrund der hohen erzielbaren Qualität als auch der guten Automatisierbarkeit stellt die Laser-Materialbearbeitung einen wachsenden Markt im industriellen Umfeld dar. Insbesondere die Automobilindustrie, aber auch Photovoltaik-Industrie etc. setzen zunehmend solche Fertigungsverfahren ein.
Viele Grüße,
Lazyjones |
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