Endliche Reihen

[Heinrich Katscher]

[Heinrich Katscher]

[Orbit]

Katschers Privattheorie, die hier längst durch ist, hat mit dem hier diskutierten Thema nichts zu tun.
Ich empfehle, diesen erneuten Versuch Katschers, einen Thread für seine Zwecke zu entern, im Keime zu ersticken. Wie wir hier längst erfahren haben, bringen Diskussionen mit Katscher über dessen Hirngespinste absolut nichts.

Orbit

[ralfkannenberg]

[M_Hammer_Kruse]

Und die übrigen beiden Formeln erhält man mit Hilfe von Euler:
$
e^{ix}=\cos(x)+i*sin(x)
$
nach elementaren Umformungen aus der ersten, wenn man dort in statt n setzt:

Einerseits ist nach Euler
$
\sum{n=1}^N e^{in}=\sum{n=1}^N cos(n)+i*\sum{n=1}^N sin(n)
$
andererseits nach Formel (1)
$
\sum{n=1}^N e^{in}=\frac {e^i*(e^{iN}-1)}{e^{i}-1}
$

Gruß, mike

[M_Hammer_Kruse]

Und die übrigen beiden Formeln erhält man mit Hilfe von Euler $e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)$: nach elementaren Umformungen aus der ersten, wenn man dort in statt n setzt:

Einerseits ist nach Euler

$
\sum_{n=1}^N e^{in}=\sum_{n=1}^N cos(n)+i*\sum_{n=1}^N sin(n)
$

andererseits nach Formel (1)

$\huge{\sum_{n=1}^N e^{in}=\frac {e^i*(e^{i\;N}-1)}{e^i-1}}$

Das letzte läßt sich umformen zu

$\huge
\frac {e^{i/2}*(e^{i\;N/2}-e^{-i\;N/2})*e^{i\;N/2}}{e^{i/2}-e^{-i/2}}
$

Gruß, mike

[ralfkannenberg]

[babau]

Barneys Gleichungen (2) und (3) kann man aus Barneys Gleichung (1) beweisen mit den
Beziehungen

\(\cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}) \quad\quad\quad\quad (5a) \)

\(\sin(x) =-\frac{1}{2}i(e^{ix}-e^{-ix}) \quad\quad\quad\quad (5b) \)

für beliebige komplexe Zahlen \(x\).

Mit Substitution

\(w:=e^i\quad\quad\quad\quad (6)\)}

und Identifikation \(x==n\)

lassen sich (5a),(5b) umschreiben zu

\(\cos(n)=\frac{1}{2}(w^{n}+w^{-n})\quad\quad\quad\quad (7a)\)
\(\sin(n)=-\frac{1}{2}i(w^{n}-w^{-n})\quad\quad\quad\quad (7b) \)

Barneys Gleichung (1) gilt, wie Ralf schon gesagt hat, nicht nur für \(e\), sondern für
beliebige Basen, nicht zuletzt auch für \(w\) und \(\frac{1}{w}\):

\(\sum\limits_{n=1}^{N}w^n=\frac{w}{w-1}(w^N-1)\quad\quad\quad\quad (8a)\)

\(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{w^n}=\frac{1}{1-w}(\frac{1}{w^N}-1)\quad\quad\quad\quad (8b)\)


Die linke Seite von Barneys Gleichung (2) mit Verwendung von (7b),(8a),(8b) ergibt:

\(\sum\limits_{n=1}^{N} sin(n) = -\frac{1}{2}i\,\big(\sum\limits_{n=1}^{N} w^n - \sum\limits_{n=1}^{N} w^{-n}\big)\quad\quad\quad\quad (9)\)
\(\quad\quad\quad\quad= -\frac{1}{2}i(\frac{w}{w-1}(w^N-1)+\frac{1}{w-1}(w^{-N}-1)\)

\(\quad\quad\quad\quad= -\frac{1}{2}i\frac{1}{w-1}\big(w(w^N-1)+(w^{-N}-1)\big) \)

Zähler und Nenner jeweils mit \(w^{-\frac{1}{2}}\) multipliziert:

\(\sum\limits_{n=1}^{N} sin(n) = -\frac{1}{2}i\frac{w^{-1/2}\big(w(w^N-1)+(w^{-N}-1)\big)}{w^{1/2}-w^{-1/2}}\)
\(\quad\quad\quad\quad = -\frac{1}{2}i\frac{w^{1/2}(w^N-1)+w^{-1/2}(w^{-N}-1)}{w^{1/2}-w^{-1/2}}\)

\(\quad\quad\quad\quad = -\frac{1}{2}i\frac{w^{N+1/2}+w^{-(N+1/2)}-w^{1/2}-w^{-1/2}}{w^{1/2}-w^{-1/2}}\quad\quad\quad\quad (* \frac{1/2}{1/2}=1)
\)


\(\quad\quad\quad\quad=\frac{\frac{1}{2}(w^{1/2}+w^{-1/2})-\frac{1}{2}(w^{N+1/2}+w^{-(N+1/2)})}{\frac{1}{2}\frac{2}{i}(w^{1/2}-w^{-1/2})}\)

Und in dieser Form erkennen wir unmittelbar auch die drei Terme gemäß den Gleichungen (7a),(7b)

\(\quad\quad\quad\quad\frac{cos\frac{1}{2}-cos(N+\frac{1}{2})}{2 sin\frac{1}{2}}\)

rechte Seite von Barneys Gleichung (2).

q.e.d.



Barneys Gleichung (3) kann in analoger Weise mit den Gleichungen (7a),(7b),(8a),(8b) bewiesen werden.

Grüße
babau

[ralfkannenberg]

[M_Hammer_Kruse]

Hallo Ralf,

oben ist nur Barneys Gleichung (1) bewiesen. Die trigonometrischen Fälle (2) und (3) noch nicht.

Ich konnte meine obige Darstellung nicht mehr vervollständigen, nachdem Du auf den Beitrag schon geantwortet hattest. Nach dem Babau nun (2) und (3) gezeigt hat, verzichte ich jetzt darauf, das auch noch mal zu tun.

Gruß, mike

[ralfkannenberg]

[Barney]

[Nathan5111]

[ralfkannenberg]

[El Cattivo]

Das Satz ist trivial.....

....aber richtig böse war, das mein Matheprof bei Vektoren auf Pfeile verzichtetet. Stattdessen nahm er Sütterlin zur Kenntlichmachung. Jeder studentische Widerstand war vergebens: Pfeile seien uncool, er müsse beim schreiben einmal mehr absetzen und die Verwirrung war vollständig. Hab dann für Mathe Nachhilfe bei Opa und Oma genommen.

mfg