Freier Fall einmal etwas anders

[Barney]

Hallo zusammen,

ausgehend von diesem Thema hat sich eine längere Diskussion über den Verschmelzungsvorgang Schwarzer Löcher entwickelt. Um die verlinkten Simulationen besser verstehen zu können, gab es dabei die Idee zuerst die Dynamik zweier Massepunkte zu untersuchen. Erster Anlaufpunkt ist hierfür zweifellos das Zweikörperproblem. Dabei wird gemäß Newtonscher Mechanik untersucht, auf welchen Bahnen sich zwei Massekörper im Weltraum umkreisen. Ein zweites Szenario stellt die Kollision der zwei Massepunkte dar und genau dieses Szenario möchte ich hier etwas genauer vorstellen. Die Rechnungen dazu können mit vergleichsweise geringen Mathematik-Kenntnissen nachvollzogen werden.

Damit die Bewegung des Schwerpunktes dieses Systems nicht berücksichtigt werden muss, betrachte ich zuerst nur ein System aus zwei Massepunkten mit gleicher Masse m. Ausgangspunkt für die Berechnung der Kollision dieser zwei Massepunkte ist natürlich das
Kraftgesetz von I. Newton \(F=m\cdot a\) und das Gravitationsgesetz \(F = G \frac{m^2}{r^2}\), das auch gleich die zu lösende Bewegungsgleichung liefert:
$
(1) \quad \quad m \ddot{r} = -\frac{Gm^2}{r^2}
$
Das Minuszeichen wird dabei benötigt, damit die Bewegung in Richtung kleinerer r verläuft (Kollision). Auf beiden Seiten kann die Masse \(m\) gekürzt werden und die zweite Ableitung wird gemäß \(\ddot{r} = v\frac{dv}{dr}\) umgeschrieben. \(v\) ist die aktuelle Geschwindigkeit eines der zwei Massepunkte. Der andere Massepunkt hat wegen der gleichen Masse dem Betrag nach die gleiche Geschwindigkeit.

Beide Massepunkte werden bei der Distanz \(2r_0\) dem freien Fall überlassen. Zusätzlich haben die zwei Massepunkte an diesem Punkt die Geschwindigkeit \(v_0\). Die Vektoren dieser Geschwindigkeit sind dabei der Einfachheit halber genau entgegengesetzt und haben ebenfalls den gleichen Betrag.

Damit ergibt sich:
$
(2) \quad \quad v dv = - \frac{Gm}{r^2} dr
$
was unmittelbar zu
$
(3) \quad \quad v^2 = \frac{2GM}{r}+2c_1
$
integriert werden kann. Die Integrationskonstante \(c_1\) bestimmt sich über die Startgeschwindigkeit \(v_0\):
$
(4) \quad \quad v_0^2 = \frac{2GM}{r_0}+2c_1
$

Da die zwei Massepunkte Schwarze Löcher darstellen, empfiehlt es sich noch den Schwarzschildradius \(r_S\) als praktische Längenskala einzuführen. Es gilt also \(r_S = \frac{2GM}{c^2}\), mit c für die
Lichtgeschwindigkeit. Die erste Integrationskonstante \(c_1\) berechnet sich damit zu:
$
(5) \quad \quad c_1 = \frac{c^2}{2}\left( \frac{v_0^2}{c^2} -\frac{r_S}{r_0}\right)
$
Aus (3) und (5) läßt sich jetzt der Geschwindigkeitsverlauf berechnen:
$
(6) \quad \quad v(r) = \sqrt{\frac{r_S c^2}{r} + v_0^2 - \frac{r_S c^2}{r_0}}
$
Der zeitliche Verlauf der Ortsvariablen \(r(t)\) erfordert eine weitere Integration und zwar die von Gleichung (3).
$
(7) \quad \quad \frac{dr}{dr} = -\sqrt{\frac{r_S c^2}{r} + 2c_1} = -\sqrt{\frac{r_S c^2 + 2c_1 r}{r}}
$
Die Integration dieser Gleichung hängt nun ganz entscheidend vom Vorzeichen von \(c_1\) ab.

Fortsetzung folgt...

[Barney]

[FrankSpecht]

Moin, Barney,

[Orbit]

Besten Dank Barney.
Doch zur Berechnung der Laufzeit in deinem zweiten Beitrag: Ist to nicht einfach Null und t somit der gesuchte Wert?
Orbit

[Barney]

[Barney]

[Barney]

Fortsetzung

Um noch zu berücksichtigen, dass bei hohen Fallgeschwindigkeiten auch relativistische Effekte aufgrund der Geschwindigkeit nahe bei c auftreten, soll auch noch ein relativistischer Ansatz untersucht werden:

Die Grundgleichung für das obige Beispiel ist dabei die Verallgemeinerung des newtonschen Kraftgesetzes. Dieses lautet in relativistischer Notation

$
(9) \quad \quad \frac{dp^{\alpha}}{d\tau} = F^{\alpha}
$

mit \(p^{\alpha}\) als Viererimpuls, \(F^{\alpha}\) als Minkowski- oder Viererkraft und \(\tau\) für die Eigenzeit. Die Eigenzeit entspricht dabei einer Uhr, die sich mit dem Massepunkt mitbewegt, was für das obige Beispiel jedoch nicht weiter benötigt wird.

Da die Bewegung auf einer Geraden stattfindet, genügt es die nullte und erste Komponente für die Zeit- und x-Koordinate zu betrachten. Insgesamt sind also zwei Gleichungen zu lösen. Der Viererimpuls berechnet sich zu:

$
\begin{array}{lcl}
p^0 &=& \gamma m c\\
p^1 &=& \gamma m v
\end{array}
$

und die Ableitung nach der Eigenzeit kann mit Hilfe des Gamma-Faktors gemäß

$
\frac{d}{d\tau} = \gamma \frac{d}{dt}
$

übersetzt werden. Es gilt somit

$
\begin{array}{lcl}
\gamma c \dot{\gamma} m&=& F^0\\
\gamma \left(\dot{\gamma}v + \gamma \dot{v}\right)m &=& F^1
\end{array}
$

, wobei der Punkt, wie üblich, für die Ableitung nach t und t selbst für eine ruhende Uhr im Schwerpunktsystem steht.

Damit wäre der linke Teil von Gleichung 9 erst einmal geklärt. Der rechte Teil berechnet sich nun wie folgt. Zuerst begeben wir uns in das bewegte System S' eines der zwei Massepunkte. Ein Beobachter in diesem System sieht, wie der zweite Massepunkt sich auf ihn selbst zubewegt. Zusätzlich gilt in diesem System das newtonsche Gravitationsgesetz, da der Beobachter in diesem System S' ja ruht. Um nun exakt zu bleiben, muss jedoch die relativistische Massenzunahme des bewegten Massepunktes berechnet werden. Um diese Massenzunahme zu berechnen, muss wiederum bekannt sein, mit welcher Geschwindigkeit sich dieser Massepunkt in S' bewegt. Das ist über die relativistische Geschwindigkeitsaddition leicht berechenbar, denn es addiert sich in S' einfach die Geschwindigkeit v von S' relativ zum Schwerpunktsystem mit der gleichen Geschwindigkeit v des zweiten Massepunktes, da beide Massepunkte ja die gleiche Masse haben sollen. Es gilt also

$
v' = \frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}
$

Der zweite Massepunkt erscheint in S' also mit der Masse

$
m' = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}} = m \frac{c^2+v^2}{c^2-v^2}
$

und die newtonsche Kraft in S' berechnet sich zu

$
F_N = -\frac{Gm^2}{4r'^2}\frac{c^2+v^2}{c^2-v^2}
$

Der Abstand r' zwischen den zwei Massepunkten in S' kann nun über die Formel für die Längenkontraktion mit dem Abstand im Schwerpunktsystem verknüpft werden und es gilt

$
F_N = -\frac{Gm^2}{4r^2}\gamma ^2\frac{c^2+v^2}{c^2-v^2}
$

als Ausdruck für die newtonsche Kraft in S'. Da wir uns jedoch für die Beschreibung im Schwerpunktsystem interessieren, muss diese Kraft zuletzt über eine Lorentztransformation zurück in das Schwerpunktsystem S transformiert werden:

$
\begin{array}{lcl}
F^0&=&\gamma \frac{v}{c} F_N\\
F^1&=&\gamma F_N
\end{array}
$

Damit bekommen wir die rechte Seite des verallgemeinerten Kraftgesetzes (9). Die erste Gleichung dieses vektoriellen Gesetzes läßt sich zu

$
\dot{\gamma} = \frac{vF_N}{mc^2}
$

umformen. Wird dieser Ausdruck für \(\dot{\gamma}\) in die zweite Gleichung eingesetzt, erhält man die (bzw. eine, weil ich darauf vorerst keine Garantie auf Fehlerfreiheit geben will) verallgemeinerte Bewegungsgleichung im Schwerpunktsystem:

$
(10) \quad \quad \dot{v} = -\frac{r_S}{8r^2}(c^2+v^2)\gamma
$

wobei \(r_S\) wieder für den Schwarzschildradius eines der zwei Massepunkte steht (30 km).

In einer weiteren Fortsetzung möchte ich noch zeigen, wie diese Differentialgleichung integriert werden kann, um zumindest den relativistischen Geschwindigkeitsverlauf des freien Falles der zwei Massepunkte analytisch zu berechnen.
MfG

[Orbit]

Hallo Barney
Danke für die Präsentation deiner Rechnung. Zur viertletzten Formel zur Kraft habe ich eine Frage: Warum schreibst du dort nicht einfach gamma^3 und lässt den Term (c^2+v^2)/(c^2-v^2) weg? Käme das nicht auf dasselbe hinaus?

Und zur Gleichung 10: Die rechte Seite ergibt keine Geschwindigkeit, sondern eine Beschleunigung.

Orbit

[FrankSpecht]

Hallo, Orbit,

[Barney]

[Orbit]

Frank
Habe verstanden. Ich habe den Punkt über v übersehen.

Barney

[Barney]

[Barney]

[Orbit]

[Barney]