Zentralmasse

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da ich auf S. 6 dieses Themas den Ansatz für die Zerlegung einer zylindersymmetrischen Funktion nur sehr stichpunktartig angegeben habe, möchte ich die Gelegenheit nutzen die wesentlichen Punkte dazu aufzuschreiben. Der eben angegebene Vorschlag für das Potential im Inneren der Kugelzone bietet sich dafür sehr gut an und ich umgehe damit die Pflicht alle Ableitungen in einer pdf-Datei zu sammeln.

Nun also zur Herleitung der Vergleichsreihe für das innere Potential der Kugelzone. Die Bezeichnungen und Definitionen stammen im Wesentlichen aus dem Buch von T. Fließbach, ''Elektrodynamik'', 3. Auflage, S98 f.

Es gilt:
$Y_l = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l(\cos \vartheta)$

Für diese Funktionen gilt die folgende Gleichung (Orthogonalitätsrelation):
$\begin{array}{lll}\langle Y_l | Y_{l'} \rangle & := & \frac{1}{4\pi} \int_0^{\pi} \sqrt{2l+1}\sqrt{2l'+1}P_l(\cos \vartheta)P_{l'}(\cos \vartheta) \sin \vartheta d\vartheta \\
& = & -\frac{1}{4\pi}\int_0^{\pi}\sqrt{2l+1}\sqrt{2l'+1}P_l(\cos \vartheta)P_{l'}(\cos \vartheta) d(\cos \vartheta ) \\ & = & \frac{1}{4\pi}\int_{-1}^1 \sqrt{2l+1}\sqrt{2l'+1}P_l(x)P_{l'}(x)dx \\ & = & \frac{1}{2\pi} \delta _{ll'} \end{array}$
Die Funktionen \(Y_l\) bilden damit eine Basis im Hilbertraum der riemann-integrierbaren Funktionen und die zu testende Funktion für das Potential im Inneren der Zone läßt sich nach diesen Funktionen entwickeln. Der Einfachheit halber setze ich die zwei Konstanten c und d gleich Null. Die Konstante e wurde oben bereits berechnet, denn diese Konstante entspricht dem Potential am Ursprung \(x=y=z=0\).

Wegen der Zylindersymmetrie der Testfunktion darf man \(y=0\) setzen. Mit \(z = r \cos \vartheta\) und \(x = r \sin \vartheta\) ergibt sich dann:
$\Phi_{\mbox{Innen}} = ar^2\sin ^2 \vartheta + br^2\cos ^2 \vartheta + e
$
und
$\Phi_{\mbox{Innen}} = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{A_l(r)}{r}Y_l(\vartheta)
$
Werden jetzt beide Seiten dieser zwei Gleichungen mit \(Y_{l'}\sin \vartheta\) multipliziert und anschließend über \(\vartheta\) integriert, erhält man eine Gleichung für die gesuchten Funktionen \(A_l(r)\):
$\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}\int_0^{\pi}(ar^2\sin ^2 \vartheta + br^2\cos ^2 \vartheta + e)P_l(\cos \vartheta) \sin \vartheta d\vartheta = \frac{A_l(r)}{2\pi r}$
MfG

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Am Äquator der Kugelzone erhält der Gradient \(\nabla \Phi\) eine besonders einfache Form, weil die (partiellen) Ableitungen nach \(\vartheta\) und \(\varphi\) verschwinden. Die partielle Ableitung nach r entspricht also dem Betrag des Gradienten und daraus läßt sich dann gemäß $v=\sqrt{r\frac{\partial \Phi}{\partial r}}$ die Geschwindigkeit ausrechnen, mit der ein Testkörper um das Zentrum der Zone kreisen müßte, um gerade die Fallbeschleunigung der Zone aufzuheben (Rotationskurve). Die numerische Berechnung des Gradienten bis l=12 führt so auf die folgenden Grafik:

Ich habe dazu die Daten unserer Heimatgalaxie aus der deutschen Wikipedia genommen (M=3.6e41kg, R=4.73e20m d= 3/50 R). Das Maximum am Rand der Zone entspricht mit 327 km/s (die Einheit im Bild muss m/s heißen) größenordnungsmäßig den Meßwerten.
Freundliche Grüße

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leer.

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