Zentralmasse

[Barney]

Hallo Orbit,

die Funktion \(\Phi_{l=0}(r,\vartheta)\) von hier nennt man in der theoretischen Physik auch Monopolnäherung und diese Näherung stellt innerhalb des vorgestellten Formalismus die einfachste Näherung für das Gravitationspotential der Kugelzone dar. Für r > R braucht man nur die Dichte \(\rho\) durch M/V ersetzen. Für V verwendet man dabei die bereits angegebene Formel
$V=\frac{\pi d}{12}(12R^2-d^2)$ und sieht dann sehr schnell, dass
$\Phi_{l=0}(r,\vartheta) = -\frac{GM}{r}$ gilt (für r > R). Für sehr große Abstände von der Kugelzone wirkt sich die Geometrie der Kugelzone also nicht mehr auf das Potential aus. Entscheidend für das Fernfeld ist also nur die Gesamtmasse der Kugelzone.
MfG

[Barney]

[Barney]

Für d = 2R wird die oben angegebene Lösung für den Monopolterm übrigens zur exakten Lösung für die Kugel. Das kann man anhand der oben angegebenen Lösung entweder direkt verifizieren oder man betrachet die allgemeine Lösung für l=2,4,6,8,...
\[ A_l(r)=\left \{ \begin{array}{ll}A_0 r^{l+1}&\mbox{falls $r\leq$d/2}\\ A_1 r^{-l}&\mbox{falls r>R}\end{array}\right . \]
A_0 und A_1 sind dabei Integrationskonstanten.

Der Bereich "zwischen" d/2 und R verschwindet für d=2R und deshalb müssen beide Teile bei r =R den gleichen Funktionswert haben und das ist nur über A_0=0 und A_1 = 0 möglich. Daraus folgt, dass alle A_l´s für d=2R und l=2,4,6,8,... insgesamt gleich Null werden.

[Barney]

um nun die restlichen Multipol-Entwicklungen (l=2,4,6,8,...) der Kugelzone zu berechnen verbleibt die Lösung der folgenden Gleichung:
\[ \frac{d^2A_l(r)}{dr^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}A_l(r)=8r\pi^{3/2}\sqrt{2l+1}G\rho\int_0^{\frac{d}{2R}}P_l(x)dx \]
und zwar für d/2 kleiner r kleiner gleich R. Das ist nicht übermäßig schwer:

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist immer die Summe einer partikulären (speziellen) Lösung plus die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, also obiger Gleichung, wobei rechts neben dem =-Zeichen Null steht. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist:
\[ A_l(r)=C_1 r^{l+1} + C_2r^{-l} \]
Eine partikuläre Lösung der inhomogenen (allgemeinen) Gleichung bekommt man folgendermaßen:
Auf der rechten Seite des =-Zeichens steht ein Polynom von r und durch Einsetzen erkennt man, dass \(A_p(r)=k_1 r^{n+2}\) eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung:
\[ \frac{d^2A_l(r)}{dr^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}A_l(r)=k_0 r^n \] ist, falls $k_1 = \frac{k_0}{(n+2)(n+1)-l(l+1)}$ mit \(n \in \textbf{R}\) gilt.
Somit muss für jeden Exponenten des Polynoms auf der rechten Seite der Gleichung ein entsprechender Polynomterm (\(k_1 r^{n+2}\)) zu der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung addiert werden. Die allgemeine Lösung obiger Gleichung besitzt damit für den Bereich d/2 kleiner r kleiner gleich R ebenfalls zwei Integrationskonstanten. Um nun \(A_l\) für beliebige r größer Null zu berechnen, müssen zuletzt aus der Bedingung nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit vier Gleichungen für die vier unbekannten Integrationskonstanten bestimmt werden. Aus diesen vier Gleichungen lassen sich dann die Konstanten berechnen.

Ich habe die gesamte Rechnung für l=2 und l=4 durchgeführt und das Ergebnis für das Potential einmal grafisch berechnet. Die Äquipotentiallinien erscheinen weitgehend als Ellipsen, so dass eine weitere Beschäftigung mit der Lösung für Rotationsellipsoide (Simonyi) ebenfalls als sinnvoll erscheint.

Warum nun diese ganze Rechnung?

Aufgeschrieben habe ich die ganze Sache, weil es mir interessant erscheint aus dem Potential per Gradientenbildung noch das Gravitationsfeld auszurechnen. Daraus kann man dann Rückschlüsse ziehen, ob sich solche Scheiben durch gleichmäßige Rotation stabilisieren lassen und das war ja die ursprüngliche (und interessante) Frage von Nordlicht.
MfG

[Orbit]

[Barney]

[Barney]

[Orbit]

[Orbit]

Hi Barney
Beim Weiterspinnen meines Gedankens frage ich mich nun, ob nicht in einem System mit Kugelhalo aus DM und den Keplergesetzen gehorchenden Himmelskörpern nebst den radialen Protentialdifferenzen immer auch tangentiale auftreten, solange das System nicht im Gleichgewicht ist.
Das Gleichgewicht sei dann erreicht, so nehme ich an, wenn die innere und die äussere Lösung für einen Ort in diesem System denselben Potentialwert ergeben. Da es sich um ein Vielkörper-System handelt, werde dieses Gleichgewicht stets nur näherungsweise erreicht.

Gehen wir davon aus, dass sich im momentanen Erscheinungsbild einer Ansammlung von Himmelskörpern eine Annäherung an diesen Gleichgewichtszustand abbildet, müsste sich die Form dieser Ansammlung bei abnehmender DM-Dichte und zunehmendem Radius des DM-Halos im Laufe der Zeit ändern. Könnte das nicht bedeuten, dass entgegen der Lehrmeinung zur Morphologie der Galaxien...

[Barney]

[Barney]

Hallo Orbit,

ich habe jetzt das Bild hochgeladen und meinen letzten Beitrag entsprechend geändert. Das Bild zeigt das genäherte Potential (l_max = 8 ) der Kugelzone für verschiedene Dicken. Mit einem Klick auf das Bild bekommt man eine Vergrößerung.
br

[Orbit]

Barney
Ein paar Fragen, an welchen Du unschwer erkennen kannst, dass ich noch nicht wirklich verstanden habe, was Du tust:
1) Warum ist beim 4. Bild das Zentrum flacher als bei den übrigen?
2) Beschreiben Deine Grafiken beispielsweise auch einen Kugelsternhaufen (d = 5 und R =2.5), der sich in eine elliptischen Galaxie (d = 0.1 und R =2.5) verwandelt?
3) Sind die mäandrierenden Farbflächen-Grenzen als Geodäten zu verstehen?
4) Ist es denkbar, dass eine flacher werdende Ansammlung von Sternen zwischenzeitlich mehrere fast gleichwertige Gravitationszentren hat?

Orbit

[Barney]

[Orbit]

Herzlichen Dank für Deine ausführlichen Antworten, Barney. Mich dünkt, ich hätte sie bis auf die 3. so weit verstanden, dass ich weiter denken kann.
Morgen mehr.

Gruss Orbit

[Barney]