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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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 Verfasst am: 10.10.2009, 12:27 Titel: |
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| Optimist71 hat Folgendes geschrieben: | | Das gilt uebrigens auch fuer Deinen anderen Thread ueber atomare Magnetfelder, in dem es letztendlich um wichtige Grundlagen der Quantenmechanik geht.Es waere schade, wenn der Thread in der Versenkung verschwinden wuerde. [...] Und selbst wenn sich Deine urspruengliche These als falsch erwiesen hat, so ist das doch ein wertvoller Erkenntnisgewinn? |
Der Einschätzung schliesse ich mich an.
Es ist imo nicht zu erwarten, dass wir dort grössere physikalische Sensationen ausgraben, aber jenen Themenkomplex einmal gründlich zu diskutieren kann nicht schaden sondern nur nützen.
Grüsse,
Solkar |
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006
Beiträge: 385
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| Verfasst am: 10.10.2009, 12:57 Titel: |
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Ich habe in der Zwischenzeit die angebenen Integral-Funktionen genauer gelöst.
Weder Mathematika (7.01.0) noch wxMaxima (0.8.3) kann die beiden Funktionen grafisch darstellen.
Die aktuelle Maple-Version liegt mir noch nicht vor.
Ich habe mit Delphi 5.0 folgende Lösung für die von mir gesuchte Summe I_1 + 2*I_2 erhalten:
Das Ergebnis ist stark von der gewählten Schrittweite abhängig (hier 200·2000).
MfG Jens Blume |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 10.10.2009, 13:47 Titel: |
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| Jens Blume hat Folgendes geschrieben: |
Das Ergebnis ist stark von der gewählten Schrittweite abhängig (hier 200·2000).
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Hallo Jens,
nur der Vollständigkeit halber: Welches Integrationsverfahren hast Du dabei implementiert?
br |
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006
Beiträge: 385
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| Verfasst am: 10.10.2009, 13:55 Titel: |
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Für die größere Abbildung:
Inneres Integral: Keplersche Fassregel (Simson-Integration)
Äußeres Integral: Reckteck (Obersumme)
Die Simsonregel bringt bei hohen Auflösungen nur einen verschwindenen Vorteil.
Für die kleinere Abbildung:
Inneres Integral: Reckteck (Obersumme)
Äußeres Integral: Reckteck (Obersumme) |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 10.10.2009, 15:10 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: | | und deswegen habe ich momentan keine Probleme mit schrägen Ideen vom OP (wofür steht eigentlich diese Abkürzung?) |
Netzjargon:
OP = Original Poster
Gegen zuweilen "schräge Ideen" habe ich nichts. Mich stört hingegen, wenn einer ein Problem einbringt (das durchaus diskussionswürdig ist) und sich danach nach Belieben oder gar nicht an der Diskussion beteiligt. So ist bspw. die berechtigte Frage nach der Herkunft und Anwendung der beiden Integrale noch immer unbeantwortet. Damit meine ich, dass der OP diese Frage zunächst beantworten sollte. Bei der vorliegenden Einsilbigkeit ist diese Hoffnung verschwindend klein.
Gr. zg
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Make everything as simple as possible, but not simpler! |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 10.10.2009, 15:18 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: | | trotzdem muss man J. Blume zugute halten, dass er hier im Forum den Simonyi als Literaturquelle angegeben hat. |
Den "Simony" kannte ich bisher auch nicht. Ich begnüge mich mit dem "Küpfmüller" (Theoretische Elektrotechnik).
Es gab einen Károly Simonyi (1916-2001). Dieser war Professor für Elektrotechnik und Verfasser des Standardwerks „Kulturgeschichte der Physik“. Ich denke, dass dies derselbe Simony ist, der auch das Buch "Theoretische Elektrotechnik" schrieb, das sicherlich lesenswert ist. Das sieht man bereits am Inhaltsverzeichnis.
Gr. zg
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 10.10.2009, 15:48 Titel: |
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Hallo Jens,
ich habe mich mal mit den Numerical Recipes an den Rechner gesetzt und alles in C++ eingegeben. Mit dem Doppelintegral muss man schon etwas aufpassen, aber es hat geklappt und ich kann die Ergebnisse von Lucas mit x aus [0.5 ; 3.6] sehr gut verifizieren. Der Knick scheint eher eine scharfe Kante zu sein. Das Minimum von I_2(x) liegt gemäß meiner Rechnung bei -5.212549. Die Spiegelsymmetrie von I_2(x) ist mir noch nicht ganz klar. Eventuell rechne ich später noch I_1 + 2*I_2 zur Verifikation Deiner Rechnung.
MfG |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 10.10.2009, 16:27 Titel: |
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| zeitgenosse hat Folgendes geschrieben: |
Wie erklärst du dir die beiden Knickstellen im blauen Graphen?
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So: \(\sqrt{x^2}\). Diese Funktion sieht auch erst mal ganz harmlos aus, bis man bemerkt, daß bei x=0 eine echte Kante vorliegt. Bei x=0 ist diese Funktion auch nicht differentierbar.
| Barney hat Folgendes geschrieben: |
Der Knick scheint eher eine scharfe Kante zu sein.
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eventuell erscheint der Knick aufgrund von Rundungsfehlern bei der numerischen Integration im Plot etwas runder als er sein sollte.
MfG |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 10.10.2009, 16:57 Titel: |
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| Jens Blume hat Folgendes geschrieben: |
Das Ergebnis ist stark von der gewählten Schrittweite abhängig (hier 200·2000).
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Hallo Jens,
bei meiner Rechnung (x aus [1.0 , 3.0]) bekomme ich mit einer Integrationsformel mit einem Fehler in vierter Ordnung in h (O(h^4)) praktisch das gleiche Ergebnis und zwar mit 200*200 Stützstellen .
Generell darf man bei numerischen Berechnungen mit einer Schrittweite diese nicht zu klein wählen, da sonst die Rundungsfehler in´s Gewicht fallen. Das Finden passender Werte wird deswegen auch als "Art of Scientific Computing" bezeichnet. Braucht man extrem hohe Genauigkeiten, muss man auf Kommazahlen mit möglichst vielen Dezimalstellen zurückgreifen. Auch dazu bieten die Numerical Recipes einigen Code an und es macht wirklich Spaß damit zu experimentieren. Z.B. pi auf tausende von Stellen hinter dem Komma zu berechnen. Interessant sind speziell bei pi auch die Berechnungsalgorithmen, wie Gauß- oder Borwein-Algorithmus.
MfG |
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Lucas
Anmeldedatum: 04.05.2006
Beiträge: 569
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| Verfasst am: 10.10.2009, 17:43 Titel: |
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Das Mathematica das nicht schaffen soll, überrascht mich...
Hier noch eine Vergrösserung des positiven 'Knicks' (I2 bisschen umgeformt)
Gruss, Lucas |
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006
Beiträge: 385
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| Verfasst am: 10.10.2009, 18:59 Titel: |
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| Lucas hat Folgendes geschrieben: | | Das Mathematica das nicht schaffen soll, überrascht mich... |
Mit
| Code: | | Plot[Integrate[Cos[p - a] + (x^2 + 2*x), {p, 0, 2 Pi}, {a, 0, 2 Pi}], {x, -6, 6}, PlotRange -> {-60, 60}] |
zeichnet Mathematica nach ca. 2 Minuten noch eine Parabel mit dem Scheitelpunkt (-1,-40).
Mit
| Code: | | Plot[Integrate[(Sin[p]*Sin[a] + Cos[p]*Cos[a])/Sqrt[x^2 + (Cos[p] - Cos[a])^2 + (Sin[p] - Sin[a])^2], {p, -pi/4, 7 Pi/4}, {a, -pi/8, 15 Pi/8}], {x, -6, 6}, PlotRange -> {-100, 100}] |
ist es überfordert.
MfG Jens |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 10.10.2009, 19:05 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: |
Die Spiegelsymmetrie von I_2(x) ist mir noch nicht ganz klar.
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\(I_2(-x)\) kann man aus \(I_2(x)\) durch Vertauschen von \(\alpha\) und \(\varphi\) ableiten, d.h. \(I_2(x)\) ist spiegelsymmetrisch. |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 10.10.2009, 19:27 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: | | \(\sqrt{x^2}\). Diese Funktion sieht auch erst mal ganz harmlos aus, bis man bemerkt, daß bei x=0 eine echte Kante vorliegt. Bei x=0 ist diese Funktion auch nicht differentierbar. |
Ist mir eigentlich schon klar. Ich dachte an die Anwendung des Integrals (Energie einer Leiterschleife).
Die Betragsfunktion f(x) = |x| erzeugt auch einen Knick und ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Ihre schwache Ableitung stimmt aber fast überall mit der Signumfunktion überein.
Die Knickfunktion, die ich im Auge hatte, kann an ihrer Nullstelle auch "abgerundet" verlaufen:
K(x - ξ) = |x - ξ|/2
Eine gezupfte Saite lässt sich auch durch eine Knickfunktion beschreiben. Ihre 1. Ableitung ergibt die Heaviside-Funktion. Das nur kurz am Rande.
Gr. zg
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006
Beiträge: 385
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| Verfasst am: 10.10.2009, 23:34 Titel: |
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| zeitgenosse hat Folgendes geschrieben: | | ..., weil eine derartige Knickfunktion für die vorliegende Funktion wenig Sinn ergibt. |
Es liegt meiner Ansicht nach gar kein Knick, sondern eine negative Polstelle vor (siehe obige erneuerte Zwischenablagenkopie (PC-Druck-Taste)). |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 11.10.2009, 12:42 Titel: |
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| Jens Blume hat Folgendes geschrieben: | | Es liegt meiner Ansicht nach gar kein Knick, sondern eine negative Polstelle vor. |
Bei einer Polstelle müsste die Funktion aber asymptotisch gegen ∞ verlaufen.
Oder anders formuliert:
Wenn es sich um eine Polstelle handelt, ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert. Es besteht in solch einem Fall eine ersichtliche Definitionslücke.
Solches ist als Beispiel bei der gebrochenrationalen Funktion f(x)=1/x an der Stelle x=0 gegegeben.
Eine andere Funktion mit Polstelle bei x=1 (mit der Näherungsparabel \( p(x) = \frac{1}{5} x^2\)) ist:
\( \frac {x^3 - x^2 + 5}{5x - 5}\)
Ein drittes Beispiel mit der Polgeraden bei x=1 ist:
\( I(x) = \frac{4x + 1}{(x - 1)^2}\)
Beim zu besprechenden "Simony-Integral" erkenne ich dagegen die für eine Polstelle benötigten Kriterien z.Z. nicht. Weshalb sollte am angeblichen Pol eine Definitionslücke existieren?
Gr. zg
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