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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006
Beiträge: 385
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 Verfasst am: 06.10.2009, 21:24 Titel: Zwei Integrale |
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Guten Tag!
Wie lassen sich die beiden folgenden Integrale vereinfachen und grafisch darstellen?
\( I_1(x)=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{sin~} \varphi \cdot \mathrm{sin~} \alpha ~+~\mathrm{cos~} \varphi \cdot \mathrm{cos~} \alpha } {\sqrt{x^2+\left (\mathrm{cos~} \varphi -\mathrm{cos~} \alpha \right )^2 + \left (\mathrm{sin~} \varphi -\mathrm{sin~} \alpha \right )^2}}~d\varphi \cdot d\alpha\)
\( I_2(x)=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{sin~} \varphi \cdot \mathrm{sin~} \alpha ~+~\mathrm{cos~} \varphi \cdot \mathrm{cos~} \alpha } {\sqrt{\left (x+\mathrm{cos~} \varphi -\mathrm{cos~} \alpha \right )^2 + \left (\mathrm{sin~} \varphi -\mathrm{sin~} \alpha \right )^2}}~d\varphi \cdot d\alpha\)
Vielen Dank für Eure Hilfe
Jens |
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Lucas
Anmeldedatum: 04.05.2006
Beiträge: 569
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| Verfasst am: 06.10.2009, 23:11 Titel: |
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Wie obige Integrale sich vereinfachen lassen, weiss ich nicht auf die Schnelle. Grafisch darstellen ist kein grosser Aufwand, guxdu einfach nach entsprechenden Mathe Hilfsmitteln.
Gruss, Lucas |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 07.10.2009, 08:18 Titel: |
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Hallo Jens,
dass beide Integrale für große x gegen 1/x konvergieren sieht man recht leicht. Für kleine x schlage ich ebenfalls numerische Integration vor. Vielleicht erzählst Du auch mal etwas darüber, wie Du auf die beiden Integrale gekommen bist. Mich erinnert das ein wenig an Optik, s. Fresnel-Integrale usw.
MfG
@Lucas,
hast Du für die Grafik eine freeware verwendet? Wenn ja, könntest Du den Link dazu angeben? |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 07.10.2009, 10:03 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: | | Mich erinnert das ein wenig an Optik, s. Fresnel-Integrale usw. |
Fresnel-Integrale S(x), C(x) sehen eigentlich so aus:
http://mathworld.wolfram.com/FresnelIntegrals.html
Die durch den Nullpunkt verlaufende Stammfunktion F(x) zu sin(x^2) ist nach Fresnel benannt. Es handelt sich um eine Näherung des Kirchoff-Integrals (s. Bergmann/Schaefer, Optik). Bei hinreichendem Abstand von der Beugungsöffnung lässt sich das Fresnel-Integral zudem zum Fraunhofer-Integral vereinfachen.
Gr. zg
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006
Beiträge: 385
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 07.10.2009, 15:34 Titel: |
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| zeitgenosse hat Folgendes geschrieben: | | Es handelt sich um eine Näherung des Kirchoff-Integrals... |
Ergänzende Nachbemerkungen:
Die zuvor genannten Integrale (als Grenzfälle des Kirchhoffschen Beugungsintegrals) sind Näherungen für das Nahfeld (Fresnel-Beugung) und das Fernfeld (Fraunhofer-Beugung). Beim letzteren wird die Lichtquelle im Unendlichen angenommen.
Die Fresnelschen Integrale S(x) und C(x) beschreiben die Intensität der Lichtverteilung hinter einer angeleuchteten Kante:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/d/d1/Fresnelintegralrp.png
Eine numerische Lösung ist meist angebracht.
Bei den Integralen von Jens Blume geht es offensichtlich um etwas anderes.
Gr. zg
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006
Beiträge: 385
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| Verfasst am: 07.10.2009, 16:00 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: | | ...Vielleicht erzählst Du auch mal etwas darüber, wie Du auf die beiden Integrale gekommen bist. .. |
Die beiden Integrale sind proportional zur Energie zweier Leiterschleifen.
--
http://www.pimath.de/magnetfeld/dipolfeld.html |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 07.10.2009, 16:56 Titel: |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: |
dass beide Integrale für große x gegen 1/x konvergieren sieht man recht leicht.
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BTW:
genaugenommen gegen 0/x. Der Nenner geht für große x gegen abs(x) und kann vor das Integral gestellt werden. Ohne den Nenner sind beide Integrale gleich Null. |
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Lucas
Anmeldedatum: 04.05.2006
Beiträge: 569
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| Verfasst am: 08.10.2009, 00:19 Titel: |
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Das obige verwendete mathe tool ist MathCad - kommerziell. Ein ähnliches (freeware) ist SMath Studio (w'lich geht obige Rechnung nicht so einfach damit, ev. muss man bisschen programmieren, dafür gibts das auch für den PocketPC  ).
In (wx)Maxima, Octave, Sage sollte obige Rechnung (Integrale) auch lösbar sein, habs aber nicht probiert.
Gruss, Lucas
ps:
- für links, nach fetten wörtern googlen + "math cas"
- die blaue fette linie (I2) links und rechts von x = 0 - zwischen den knicks - ist nicht teil der lösung sondern ein display "fehler" der software |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 08.10.2009, 05:40 Titel: |
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| Lucas hat Folgendes geschrieben: | | die blaue fette linie (I2) links und rechts von x = 0 - zwischen den knicks - ist nicht teil der lösung sondern ein display "fehler" der software |
Das sollte man zuvor wissen! Habe es zwar bereits vermutet, weil eine derartige Knickfunktion für die vorliegende Funktion wenig Sinn ergibt.
Gr. zg
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 08.10.2009, 06:04 Titel: |
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| Jens Blume hat Folgendes geschrieben: | | Die beiden Integrale sind proportional zur Energie zweier Leiterschleifen. |
Dafür gibt's aber einfachere Integrale:
W = Int LI(dI/dt)dt = ½(L∙I²max)
Was versuchst du mit dem Link (Erdmagnetfeld) überhaupt zu zeigen?
Sprich dich ruhig ein wenig aus ohne dass immer wieder mühselige Nachfragen nötig sind.
Gr. zg
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Optimist71
Anmeldedatum: 03.07.2006
Beiträge: 367
Wohnort: Oslo (Norwegen)
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| Verfasst am: 08.10.2009, 09:21 Titel: |
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Hallo Jens,
der Anregung von zeitgenosse
| zeitgenosse hat Folgendes geschrieben: | Was versuchst du mit dem Link (Erdmagnetfeld) überhaupt zu zeigen?
Sprich dich ruhig ein wenig aus ohne dass immer wieder mühselige Nachfragen nötig sind. |
moechte ich mich anschliessen. Denn die Themen der von Dir eroeffneten Threads sind durchaus interessant, geht es doch hier um wichtige physikalische Grundlagen! Aus solchen Threads koennen wir alle noch was lernen.
Das gilt uebrigens auch fuer Deinen anderen Thread ueber atomare Magnetfelder, in dem es letztendlich um wichtige Grundlagen der Quantenmechanik geht. Es waere schade, wenn der Thread in der Versenkung verschwinden wuerde. Vielleicht willst Du ja doch noch auf ein paar der zahlreichen Antwortpostings, die Du dort erhalten hast, eingehen? Und selbst wenn sich Deine urspruengliche These als falsch erwiesen hat, so ist das doch ein wertvoller Erkenntnisgewinn?
-- Optimist
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"Det er meget nedslående å leve i en tid da det er lettere å sprenge et atom enn en fordom."
A. Einstein |
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Lucas
Anmeldedatum: 04.05.2006
Beiträge: 569
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| Verfasst am: 09.10.2009, 22:54 Titel: |
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| zeitgenosse hat Folgendes geschrieben: | | Lucas hat Folgendes geschrieben: | | die blaue fette linie (I2) links und rechts von x = 0 - zwischen den knicks - ist nicht teil der lösung sondern ein display "fehler" der software |
Das sollte man zuvor wissen! Habe es zwar bereits vermutet, weil eine derartige Knickfunktion für die vorliegende Funktion wenig Sinn ergibt.
Gr. zg |
sorry, da war ich jetzt zu eilig unterwegs, was ich oben schrieb ist falsch, die ganze blaue linie gehört zur lösung, also kein display "fehler".
Gruss, Lucas |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 10.10.2009, 07:57 Titel: |
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| Lucas hat Folgendes geschrieben: | | sorry, da war ich jetzt zu eilig unterwegs, was ich oben schrieb ist falsch, die ganze blaue linie gehört zur lösung, also kein display "fehler". |
Hauptsache, du weisst, was du sagst.
Wie erklärst du dir die beiden Knickstellen im blauen Graphen?
p.s.
Der OP schweigt wie gewohnt. Fragen aufwerfen und danach stillschweigend untertauchen, das liebe ich sooo.
Gr. zg
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 10.10.2009, 11:22 Titel: |
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| zeitgenosse hat Folgendes geschrieben: |
Fragen aufwerfen und danach stillschweigend untertauchen, das liebe ich sooo.
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Hallo zeitgenosse,
trotzdem muss man J. Blume zugute halten, dass er hier im Forum den Simonyi als Literaturquelle angegeben hat. Diese Buch kannte ich vorher nicht, obwohl es zu den Büchern gehört, die ein (theoretischer) Physiker vermutlich schon mal gesehen haben sollte. Gerade als Ersatz oder Erweiterung zum Jackson sehr zu empfehlen.
Implizit kann ich deswegen bei JB auch die Frage nach Wissenserhalt erkennen. Der Simonyi wird seit vielen Jahren nicht mehr gedruckt und da stellt sich mir schon die Frage, ob dadurch nicht manche Erkenntnis aus diesem Buch stillschweigend der Vernichtung preisgegeben wird. Wissenserhalt ist sozusagen "Chefsache" und deswegen habe ich momentan keine Probleme mit schrägen Ideen vom OP (wofür steht eigentlich diese Abkürzung? "Themenersteller" kann es ja irgendwie schlecht sein).
br |
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