Zentralmasse

[Orbit]

Barney
Du bist inzwischen wieder bei der Formel für das Gravitations-Potenzial gelandet, welches im Innern eines homogenen kugelförmigen Körpers gilt.
Das erinnert mich natürlich wieder daran, dass Du seinerzeit meine Vorstellung, aus der Wurzel dieses Potenzials ergebe sich eine physikalisch relevante Geschwindigkeit, in Abrede gestellt hast.
Ich habe mich inzwischen mit dem Virial-Theorem befasst, auf das Du mich damals aufmerksam machtest, und komme zum Schluss, dass dieses Theorem meine Vermutung eher bestätigt:
Wenn der Grundsatz 2T - U = 0 auch hier gilt, dann muss einem Körper am Ort dieses Potenzials eine Geschwindigkeit zugeordnet werden, welche diese Forderung nach der Formel E = mv^2/2 erfüllt, und das kann nur die Geschwindigkeit sein, welche sich aus der Wurzel jener Formel ergibt, welche am Schluss Deines Beitrags steht. Dass es sich nicht um eine Umlaufgeschwindigkeit handeln kann, ist klar. Ich denke, dass es die Höchstgeschwindigkeit eines Testkörpers sei, welcher reibungsfrei radial durch den Körper fallen würde.

Orbit

[Barney]

Hallo Orbit,

Du hast schon Recht, dass man aus dem Potential die Wurzel ziehen kann und daraus eine Geschwindigkeit bekommt. Und damit hat diese Geschwindigkeit auch einen tieferen Sinn, den Du vermutlich schon richtig erkannt hast. Mir hat das damals nicht so recht in´s Konzept gepasst, was natürlich nicht heißen soll, dass die Wurzel keinen Sinn macht und es sieht auch ganz so aus, als wären wir jetzt beide damit ein Stückchen weiter .

Was mir persönlich an dem Ansatz mit den Kugelflächenfunktionen recht gut gefällt, ist die Tatsache, dass man damit ebenfalls die richtigen Konstanten bekommt. Normalerweise wird dabei ja der Gaussche Satz inklusive Kugelsymmetrie ausgewertet. Bei dem Ansatz mit den Kugelflächenfunktionen braucht man nur das Verhalten für \(r \rightarrow \infty\), sowie die Bedingung nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Radialfunktion und kommt damit auf das gleiche Ergebnis. Gerade, wenn man sich noch ausführlicher mit der Numerik dieses Problems beschäftigen will, sind natürlich alle analytischen Lösungen extrem wertvoll als Tests für die numerischen Algorithmen.

Für \(\Phi(0)\) komme ich momentan auf die folgende Formel:
$\Phi(r=0) = 24 GM \frac{d-4R}{24R^2+d^2}$
(symmetrische Kugelschicht mit Radius R, Dicke d und d < 2R)

[Orbit]

Barney
Du berechnest doch hier das Gravitationspotential im Innern einer homogenen Hohlkugel, oder?
Wie kann d > R sein?
Falls R der Innenradius der Hohlkugel wäre, müsste ich Dich aber fragen: "Warum so kompliziert?"

Orbit

[Barney]

[Orbit]

Hallo Barney
Ach so, keine Hohlkugel, sondern eine Kugelzone.
Warum willst nun aber das Gravitationspotential eines solchen geometrischen Körpers berechnen? Einen solchen Himmelskörper gibt es doch gar nicht. Gibt es dort draussen nicht nur Kugeln, Sphäroide und Scheiben, die allerdings auch als sehr flache Sphäroide gedeutet werden könnten?

Orbit

[Barney]

[Orbit]

Barney
Ich glaube, nun einigermassen verstanden zu haben, was Dich umtreibt.
Deine 'momentane Formel' ergibt mit d =2R für das Gravitationspotential im Zentrum 12GM/7R = 1,7143 GM/R.
Müsste das aber nicht 3GM/2R = 1,5 GM/R sein, weil es sich dann nämlich um eine Kugel handelt?
Orbit

[Barney]

[Barney]

[Orbit]

Hallo Barney
Ein Problem hast Du aber immer noch. Für d = 0 ergibt sich ein Gravitationspotential von 2 GM/R.
Das kann ja nicht sein. Natürlich kannst Du einfach sagen, die Masse sei in diesem Fall Null; aber das muss auch aus der Gleichung hervor gehen.
Also: Es fehlt ein Term, den man mit der Masse multiplizieren muss, aus dem hervor geht, dass die Masse bei d = 2R 1 ist und bei d = 0 Null.
Orbit

[Barney]

[Barney]

[Orbit]

[Barney]

[Orbit]