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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006 Beiträge: 385
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Verfasst am: 19.09.2009, 16:17 Titel: Re: Versuch zur Ableitung einer zur Dirac-Gleichung ähnliche |
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\( { (12.) ~ ~ ~ } (W-W_p) \vec{\nabla} \mathit{\Psi } + (\vec p - im_0 \vec c) \dot{\mathit{\Psi }} = 0, ~~W = \frac{N}{2} \hbar ~\omega,~~ N= 1,3,5... , { ~ ~ } \mathit{\Psi }=\sqrt{w} =\sqrt{\varepsilon } E \)
\( mit { ~ ~~~ ~ } \frac{W_k}{c^2} = p^2 + m_0^2c^2 = (\vec{p}+im_0 \vec{c})\cdot (\vec{p}-im_0 \vec{c}), { ~ ~ } \vec c = c~ \frac{\vec k}{k} \)
Die Energie W soll der des harmonischen Oszillators entsprechen, daher die Quantisierungsangabe. |
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Uli
Anmeldedatum: 09.06.2006 Beiträge: 472
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Verfasst am: 20.09.2009, 16:26 Titel: Re: Versuch zur Ableitung einer zur Dirac-Gleichung ähnliche |
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Jens Blume hat Folgendes geschrieben: | \( { (12.) ~ ~ ~ } (W-W_p) \vec{\nabla} \mathit{\Psi } + (\vec p - im_0 \vec c) \dot{\mathit{\Psi }} = 0, ~~W = \frac{N}{2} \hbar ~\omega,~~ N= 1,3,5... , { ~ ~ } \mathit{\Psi }=\sqrt{w} =\sqrt{\varepsilon } E \)
\( mit { ~ ~~~ ~ } \frac{W_k}{c^2} = p^2 + m_0^2c^2 = (\vec{p}+im_0 \vec{c})\cdot (\vec{p}-im_0 \vec{c}), { ~ ~ } \vec c = c~ \frac{\vec k}{k} \)
Die Energie W soll der des harmonischen Oszillators entsprechen, daher die Quantisierungsangabe. |
Und was ist Psi ?
Keine Wellenfunktion, sondern proportional zur Wurzel der Energie ?
Ich verstehe nur Bahnhof und sehe da keine relativistische Wellengleichung; soll das etwa die Dirac-Gleichung für ein geladenes Fermion sein ? Kann ich nicht erkennen; wo sind die 4-Spinoren und die Dirac- buw. Gamma-Matrizen ?
Uli
Oder meinst du vielleicht p-Slash (4-Impulskomponenten kontrahiert mit den Diracschen Gamma-Matrizen) statt 3-Vektor p (der an dieser Stelle immer noch überhaupt keinen Sinn macht) ? |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009 Beiträge: 293
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Verfasst am: 22.09.2009, 11:15 Titel: Re: Atomare elektromagnetische Felder |
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Erstmal würde ich gerne die Mathematik dazu rundklopfen:
Jens Blume hat Folgendes geschrieben: |
\( { (4) ~ ~ ~ ~ ~ } \mathit{\Psi} = \mathrm{Re} ~ \mathit{\underline{\Psi}}, {~~~} \)
[...]
\( { (11) ~ ~ ~ ~ ~ } w = \mathit{\Psi }^2 =\mathit{\underline{\Psi}} ~\mathit{\underline{\Psi}}^\ast \) |
Ich gehe davon aus, dass, wie üblich, $\underline{\Psi}^*$ die komplex konjugierte Funktion zu $\underline{\Psi}$ bezeichnen sollte.
Die rechte Seite von (11) kann man umformen:
$ \underline{\Psi} ~ \underline{\Psi}^\ast = {|\underline{\Psi}|} ^2 = {(\mathcal{Re}({\underline{\Psi}}))}^2 + {(\mathcal{Im}(\mathit{\underline{\Psi}}))}^2 $(S.I.1)
Aus (4) erhält man
$ \Psi^2 = {(\mathcal{Re}(\underline{\Psi}))}^2$(S.I.2)
Damit folgt aus (11)
$ \mathcal{Im}(\mathit{\underline{\Psi}}) = 0$(S.I.3)
und somit mit (4)
$\Psi = \underline{\Psi}$(S.I.4)
Sollte das so sein? |
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006 Beiträge: 385
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Verfasst am: 22.09.2009, 13:41 Titel: Re: Atomare elektromagnetische Felder |
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In Gleichung (11) fehlt das Re, also gilt für die Energiedichte
\( { (11.1) ~ ~ ~ ~ } w = \mathit{\Psi }^2 =\mathrm{Re} \left \{ \mathit{\underline{\Psi}} ~ \mathit{\underline{\Psi}}^\ast \right \} \)
Danke, für den Hinweis.
(S.I.1) err. |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009 Beiträge: 293
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Verfasst am: 22.09.2009, 14:04 Titel: Re: Atomare elektromagnetische Felder |
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Jens Blume hat Folgendes geschrieben: |
\( { (11.1) ~ ~ ~ ~ } w = \mathit{\Psi }^2 =\mathrm{Re} \left \{ \mathit{\underline{\Psi}} ~ \mathit{\underline{\Psi}}^\ast \right \} \) |
Sollten die geschweiften Klammern hier eine Sonderbedeutung haben?
Falls nicht:
Der Realteil einer reellwertigen Funktion ist die Funktion selbst.
Den Ausdruck in der Klammer kann man zu einer reellwertigen Funktion umformen.
Also würde das $"\mathcal{Re}"$ hier nichts bewirken.
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Nachtrag:
Jens Blume hat Folgendes geschrieben: |
\( [...] \mathit{\underline{\Psi}} = \mathit{\underline{\Psi}}_0 e^{j \left (\vec{k} \cdot \vec{r} ~ - ~\omega ~ t} \right ) \) |
Was für ein $"j"$ sollte das im Exponenten sein?
$|\vec{j}|$ oder die Lösung von $j^2=-1$ ?
Ich "vermute" letzteres....
Mir ist bekannt, dass im Ingenieurwesen es üblich ist, die imaginäre Einheit als $j$ zu schreiben.
Aber ich möchte anraten, dass wir nur eine Schreibweise im Zuge dieses Threads verwenden. |
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006 Beiträge: 385
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Verfasst am: 22.09.2009, 16:38 Titel: Re: Atomare elektromagnetische Felder |
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In Gleichung (11) ist nur die Wirk-Energiedichte gemeint
\( { (11.2) ~ ~ ~ ~ } w = \mathit{\Psi }^2 =\mathrm{Re^2} \mathit{\underline{\Psi}} \)
Danke, für die Hinweise.
i = j = sqrt (-1)
MfG Jens Blume |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009 Beiträge: 293
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Verfasst am: 22.09.2009, 18:22 Titel: Re: Atomare elektromagnetische Felder |
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Hallo Jens!
Jens Blume hat Folgendes geschrieben: |
\( [...] \mathit{\underline{\Psi}} = \mathit{\underline{\Psi}}_0 e^{j \left (\vec{k} \cdot \vec{r} ~ - ~\omega ~ t} \right ) \) |
Wenn ich mal nach bekanntem Muster ein kleines unterstrichenes "psi" $\underline{\psi}$
$ \underline{\Psi} = \underline{\Psi}_0 e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r}- \omega t)} = \underbrace{\underline{\Psi}_0 e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}}_{= \underline{\psi}} \cdot e^{-i \omega t} $(S.II.1)
einführe, dann würde ich jenes tatsächlich als zeitunabhängig geltenlassen und dann diese Gleichung erhalten:
$ \Delta \underline{\psi}\ + \ \frac{2 m}{\hbar ^2}\left (W - W_p \right ) \underline{\psi} = 0 $(S.II.2)
(Man beachte bitte das "+"-Zeichen)
Für jenes $\underline{\Psi}$ aus Deiner Gl(10)
Jens Blume hat Folgendes geschrieben: |
und aus (5) folgt die zeitunabhängige Materiewellengleichung
[...]
\( { (10) ~ ~ ~ ~ ~ } \Delta \mathit{\underline{\Psi}} - \frac{2 m}{\hbar ^2}\left (W - W_p \right ) \mathit{\underline{\Psi}} = 0 \) |
finde ich aber hier
Jens Blume hat Folgendes geschrieben: |
\( { (4) ~ ~ } [...] ~ ~ \mathit{\underline{\Psi}} = \mathit{\underline{\Psi}}_0 e^{j \left (\vec{k} \cdot \vec{r} ~ - ~\omega ~ t} \right ) \) |
keine Zeitunabhängigkeit.
Grüsse,
Solkar |
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006 Beiträge: 385
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Verfasst am: 22.09.2009, 19:35 Titel: Re: Atomare elektromagnetische Felder |
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Hallo Solkar,
ich muß mich noch ein Mal bei Dir bedanken:
... aus (5) folgt die zeitunabhängige Materiewellengleichung
\( { (10.1) ~ ~ ~ ~ } \Delta \mathit{\underline{\Psi}}_0 + \frac{2 m}{\hbar ^2}\left (W - W_p \right ) \mathit{\underline{\Psi}}_0 = 0 \)
MfG Jens Blume |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009 Beiträge: 293
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Verfasst am: 22.09.2009, 21:32 Titel: Re: Atomare elektromagnetische Felder |
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Jens Blume hat Folgendes geschrieben: | \( { (10.1) ~ ~ ~ ~ } \Delta \mathit{\underline{\Psi}}_0 + \frac{2 m}{\hbar ^2}\left (W - W_p \right ) \mathit{\underline{\Psi}}_0 = 0 \)
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Ich hatte mir unter dem $\underline{\Psi_0}$ eigentlich eher sowas
$\underline{\Psi_0} = \underline{\Psi}(\vec{r_0},t_0) = const$ (S.III.1)
vorgestellt.
Da verschwände dann aber der $\Delta$-Term in Gl.(10.1).
Soll das so sein?
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Btw - wie kamst Du eigentlich von den $\Delta$ auf der ersten Seite zu dem $\vec{\nabla}$ in Deiner Gl.(12)?
Es gilt zwar bekanntermassen
$\Delta \equiv \nabla \cdot \nabla$
aber das erklärt die Herleitung von Gl.(12) noch nicht. |
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Jens Blume
Anmeldedatum: 20.12.2006 Beiträge: 385
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Verfasst am: 23.09.2009, 07:47 Titel: Re: Atomare elektromagnetische Felder |
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und aus (5) folgt die zeitunabhängige Materiewellengleichung
\( { (10.3) ~ ~ ~ ~ ~ } \Delta \mathit{\underline{\psi}} + \frac{2 m}{\hbar ^2}\left (W - W_p \right ) \mathit{\underline{\psi}} = 0 \) |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009 Beiträge: 293
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Verfasst am: 19.10.2009, 14:12 Titel: Re: Atomare elektromagnetische Felder |
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Gut, jetzt hätte ich aber immer noch gerne zur Herleitung von Gl(12) Erläuterungen von Dir.
Ich könnte zwar zu den DGl (mehr odder weniger) educated guessing betreiben, aber da Du ja irgendwann mal Deine Gl(12) hergeleitet hast, wäre es sicherlich zielführend, wenn Du erstmal Deine Herleitung hier wiedergäbest.
Grüsse,
Solkar |
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