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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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 Verfasst am: 17.09.2009, 16:33 Titel: |
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| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Das relativistische Kepler-Problem unterscheidet sich formal nur von dem Newtonschen durch einen Zusatzterm ML²/r³. |
"... im effektiven Potential" wollte ich noch dazuschreiben. |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 17.09.2009, 16:39 Titel: |
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Hallo klara,
ist nun jede Klarheit beseitigt oder konnten wir Dir weiterhelfen ?
Freundliche Grüsse, Ralf |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 17.09.2009, 17:29 Titel: Re: Kreisbahnbedingung |
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| klara hat Folgendes geschrieben: | | Ich muss meinem PH Professor die Kreisbahnbedingung erklären und aus welchen Annahmen sie hergeleitet wurde... |
Bereits Newton (De mundi systemati, 1715) stellte sich die Frage, ob man einen Körper mit genügend grosser Abschussgeschwindigkeit um die Erde herum fallen lassen könnte.
Wie die Vorredner bereits richtig betonten, lautet die Kreisbahnbedingung des antriebslosen Körpers:
v = sqrt(GM/r)
r = R + h
Für eine gedachte erdnahe Bahn muss v daher min. 7.9 km/s (≈ 28'500 km/h) betragen. Für eine realistischere Bahn in z.B. 300 km über Meer ist v ein wenig kleiner. Wie ein Satellit auf diese Höhe gebracht wird, ist freilich ein anderes Problem.
Nebst der Kreisbahn sind natürlich auch andere Bahnen möglich. Sputnik I bspw. (Okt. 1957) durchlief eine ausgeprägte Keplerellipse.
p.s.
Ich schliesse mich der Meinung an, dass für derartig simple Probleme keinerlei Krümmungsfantasien ins Spiel gebracht werden müssen.
Gr. zg
_________________
Make everything as simple as possible, but not simpler! |
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Aragorn
Anmeldedatum: 23.06.2006
Beiträge: 1120
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| Verfasst am: 17.09.2009, 18:28 Titel: |
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| ralfkannenberg hat Folgendes geschrieben: | Hallo klara,
ist nun jede Klarheit beseitigt oder konnten wir Dir weiterhelfen ?
Freundliche Grüsse, Ralf |
Ich denke die liebe Klara hat vorallem eines gelernt: Stelle niemals in einem Physikerforum relativ einfache Fragen.
Die einen werden versuchen sie möglichst kompliziert zu beantworten, die anderen reden gleich völlig am Thema vorbei und die meisten welche zumindest das richtige Endergebnis präsentieren, lesen großzügig über die eigentliche Fragestellung hinweg. Vermutlich wird die Klara hier auf AC nie wieder Fragen stellen wollen.
Gruß Helmut |
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 18.09.2009, 07:57 Titel: |
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| Aragorn hat Folgendes geschrieben: |
Aber ok, dann halt so wie der Prof das will:
-> die Geschw. eines horizontal abgeschossenen Geschoßes läßt sich in eine vertikale und horizontale aufspalten, die sich störungsfrei überlagern.
-> im leeren Raum ist die horizontale Geschw. des Geschosses konstant, während die vertikale Geschw. (die in Richtung Erdboden) ständig zunimmt.
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In Richtung Erdboden (radial) bleibt v null, sonst wäre der Abstand zum Zentrum nicht konstant
und es folglich keine Kreisbahn. Richtung deiner y-Achse ändert sich v periodisch. In keiner
Richtung nimmt v ständig zu. Du vergißt scheinbar, daß deine Formeln nur für kleine Zeiten
gelten und man danach das Koordinatensystem drehen muß.
| Zitat: |
-> nun fällt das Geschoß in der Zeit t um die Strecke y=1/2*a(r)*t^2 in Richtung Erdboden, und legt gleichzeitig in der senkrecht dazu vorliegenden x-Richtung die Strecke x=v*t zurück
-> ist v nun gerade so groß das die Fallstrecke y aufgrund der Erdkrümmung kompensiert wird, weil der Erdboden um genau diese Fallstrecke y zurückweicht, hat es Kreisbahngeschw.
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Die Bedingung für die Kreisbahn benutzt du schon einen Schritt vorher. Sonst wäre nämlich nicht
immer (trotz Achsendrehung) v_y = 0. (Voraussetzung für y=1/2*a*t^2) |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 18.09.2009, 08:43 Titel: |
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| Aragorn hat Folgendes geschrieben: | | Vermutlich wird die Klara hier auf AC nie wieder Fragen stellen wollen. |
Hallo klara,
Aufgabenstellungen in der Physik und der Mathematik haben in der Regel die Eigenschaft, dass man sehr viel Zeit verliert, wenn man sich über die Aufgabenstellung nicht im Klaren ist. Es lohnt sich in diesem Falle also wesentlich, diese gründlich zu hinterfragen, der Rest ist dann nur noch das Nutzen der richtigen Formeln.
Ich bin also nicht einmal davon überzeugt, dass der Professor von Dir Formeln sehen will, ich vermute eher, dass er nur wissen will, ob Du erstens die Aufgabe verstanden hast und wie zweitens ein Lösungsansatz aussehen könnte.
| klara hat Folgendes geschrieben: | | dass es nur darum geht warum ein Satellit in seiner Umlaufbahn bleibt. |
Das ist also im Grunde genommen die Aufgabenstellung.
1.Schritt:
Die erste (stillschweigende) Erkenntnis an dieser Stelle ist die, dass der Satellit keineswegs in Ruhe ist, sondern im Gegenteil mit hoher Geschwindigkeit "um die Erde fällt". Hätte seine Geschwindigkeit keine "Seitwärtskomponente" (korrekt: Tangentialkomponente), sondern nur eine Radialkomponente (also direkt zur Erde hin), so würde er auf die Erde abstürzen, doch dank dieser Tangentialkomponente "fällt" er um die Erde herum. Dabei ist noch zu beachten, dass diese Tangentialkomponente genügend gross sein muss, um nicht trotzdem abzustürzen, gleichzeitig aber nicht zu gross sein darf, um nicht wegzufliegen. Ja - sie muss sogar einen genauen Wert haben, um auf derselben Umlaufbahn verbleiben zu können.
Ich fasse diesen 1.Schritt zusammen:
1. Satellit ist nicht in Ruhe, sondern fällt mit grosser Geschwindigkeit um die Erde herum
2. um Höhe der Umlaufbahn halten zu können muss die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit den richtigen Wert haben
| klara hat Folgendes geschrieben: | | mit meiner Antwort, dass sich Zentripetalkraft und Schwerkraft aufheben hat er sich nicht zufrieden gegeben und hat irgendwas von Krümmung der Erde und freier Fall gemurmelt. |
2.Schritt:
Wie berechnen wir den richtigen Wert der Tangentialkomponente der Geschwindigkeit ?
Idee: "Gravitationskraft = Zentripetalkraft"
Natürlich ist das so formuliert falsch, denn wenn diese beiden Kräfte gleich gross wären, so würde die doppelte Gravitationskraft resultieren.
Sie sind also nur vom Betrag her gleich gross, von der Richtung her indes entgegengesetzt.
Bleiben wir noch ohne Formel: Welche Grösse wird in die Gravitationskraft einfliessen und welche in die Zentripetalkraft ?
Tipp: Bislang haben wir uns ja nur die beiden Geschwindigkeitskomponenten angeschaut. Falls Du die Formeln für Gravitationskraft und Zentripetalkraft herleiten musst, musst Du darauf achten, die richtigen Komponenten der Geschwindigkeit zu benutzen !
!!! Vorsicht !!!: Jetzt kommt ein Zwischenschritt: Die Richtung dieser Geschwindigkeitskomponenten ändert sich laufend ! Denn sonst würde der Satellit ja geradeaus weiterfliegen. Tut er aber nicht, er fliegt bzw. "fällt" ja um die Erde herum.
Für unsere Berechnung ist das nicht weiter schlimm, im Gegenteil - es vereinfacht sogar die Situation; wir müssen uns dieser Situation also nur bewusst sein.
Was aber auf der Umlaufbahn stets gleich bleibt ist und das ist schon die Zusammenfassung des 2.Schrittes:
- Betrag der beiden Kräfte (Gravitationskraft und Zentripetalkraft) ist auf jedem Punkt der Umlaufbahn gleich gross
- Richtung der beiden Kräfte (Gravitationskraft und Zentripetalkraft) ist auf jedem Punkt der Umlaufbahn entgegengesetzt
Tja, und jetzt musst Du das nur noch in die Formeln der Gravitationskraft und der Zentripedalkraft einsetzen, die richtigen Geschwindigkeitskomponenten (also Radialgeschwindigkeit oder Tangentialgeschwindigkeit) verwenden und dabei berücksichtigen, dass die Masse des Satelliten sehr viel kleiner als diejenige der Erde ist, so dass Masse(Erde)+Masse(Satellit) ~ Masse(Erde) gilt und dann hast Du eigentlich alles zusammen. Und nicht irritieren lassen, dass die Richtungen der Radialgeschwindigkeit oder Tangentialgeschwindigkeit laufend ändern - das spielt keine Rolle, da obige Bedingung über Betrag und Richtung der beiden Kräfte in jedem Punkt der Umlaufbahn erfüllt sein müssen !
| klara hat Folgendes geschrieben: | | und mich schon vorgewarnt, dass genau die Frage noch einmal kommen würde. |
Das finde ich sehr fair von Deinem Professor und ich habe es in meinem Studium sehr schätzen gelernt, wenn ich auf faire Professoren gestossen bin. Leider ist das nicht immer der Fall.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Aragorn
Anmeldedatum: 23.06.2006
Beiträge: 1120
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| Verfasst am: 18.09.2009, 08:53 Titel: |
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Hallo Erik,
| Erik hat Folgendes geschrieben: | In Richtung Erdboden (radial) bleibt v null, sonst wäre der Abstand zum Zentrum nicht konstant
und es folglich keine Kreisbahn. |
Ja, im Falle der Kreisbahngeschwindigkeit. Ist v_x kleiner ist das nicht der Fall.
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | In keiner Richtung nimmt v ständig zu. |
Warum fällt dann ein Stein Richtung Erdboden, wenn seine Geschw. sich angeblich nicht ändert?
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Du vergißt scheinbar, daß deine Formeln nur für kleine Zeiten gelten und man danach das Koordinatensystem drehen muß. |
Nein, das vergesse ich nicht. Vielleicht solltest du dir die Fragestellung des Professors nochmal genau durchlesen:
| Klara hat Folgendes geschrieben: | | ... und hat irgendwas von Krümmung der Erde und freier Fall gemurmelt. |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | Die Bedingung für die Kreisbahn benutzt du schon einen Schritt vorher. Sonst wäre nämlich nicht
immer (trotz Achsendrehung) v_y = 0. (Voraussetzung für y=1/2*a*t^2) |
In meiner Betrachtung ist v_y nicht Null, sondern der Erdboden bewegt sich von der Tangente gerade so weg, daß y kompensiert wird.
@Ralf,
ich glaube kaum das es dem Professor genügt, wenn Klara die Worte Gravitationskraft und Zentipedalkraft zwischen allerhand Text versteckt.
Gruß Helmut |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 18.09.2009, 09:09 Titel: |
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| Aragorn hat Folgendes geschrieben: | @Ralf,
ich glaube kaum das es dem Professor genügt, wenn Klara die Worte Gravitationskraft und Zentipedalkraft zwischen allerhand Text versteckt.
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Hallo Helmut,
ohne klara zu nahe treten zu wollen ... - vor einiger Zeit wandte sich eine frühere Klassenkameradin an mich: Ihre Tochter muss in der Schule ein Referat über die Bogenlänge einer stetigen Kurve halten und sie haben beide 0 Idee, wie man das angehen könne.
Na fein, ich selber habe sowas auch noch nie gemacht und also in einem schlauen Buch nachgeschaut. Die Herleitung war eigentlich nicht weiter schlimm, allerdings gab es noch eine unklare Situation, wie man einen Grenzwert aus einer Wurzel herauskriegt. Dcoh irgendwann hatte ich eine Idee und dieses Problem, das rund die Hälfte meiner Zeit für die Lösung dieses Referats in Anspruch nahm, war auch gelöst.
In der Prüfung kam es dann so heraus, dass die Tochter meiner Klassenkameradin nicht genau wusste, was eine stetige Funktion ist … - und ich bezweifle sehr, dass der Prüfer selber überhaupt verstanden hat, dass da beim Grenzwert und der Wurzel ein Problem sein könnte.
Sie bekam dann trotzdem eine 2- für ihre Darbietung; ich wäre vermutlich weniger grosszügig gewesen.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Aragorn
Anmeldedatum: 23.06.2006
Beiträge: 1120
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| Verfasst am: 18.09.2009, 09:10 Titel: |
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Ok, dann halt nochmal die Argumentation die der Professor hören will etwas ausführlicher:
Wir haben ein Geschütz das waagrecht (tangential) zum Erdboden ausgerichtet und 5 Meter über dem Erdboden befindet.
Wir wollen so tun als ob es keine Luftreibung gäbe.
Wenn das Geschütz nun ein Geschoß abfeuert dann fällt dieses infolge der Erdanziehung innerhalb von einer Sekunde auf den Erdboden (y=0,5*g*t^2).
Diese Fallzeit ist völlig unabhängig von der Geschoßgeschwindigkeit in x-Richtung (der Tangente zum Erdboden).
Wenn das Geschoß nun so schnell abgefeuert wird, das die Erdkrümmung die Fallstrecke ausgleicht, dann hat es Kreisbahngeschwindigkeit erreicht und fällt um die Erde herum (in einer Höhe von 5 Metern) ohne aufzuschlagen.
Das ist bei 7,7 km/s der Fall, weil die Erdkrümmung auf einer Strecke von 7,7 km den Erdboden um genau diese 5 Meter absenkt (relativ zu Tangente, die am Abschußpunkt an der Erdoberfläche angelegt wurde).
Gruß Helmut |
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 18.09.2009, 09:26 Titel: |
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| Aragorn hat Folgendes geschrieben: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | In Richtung Erdboden (radial) bleibt v null, sonst wäre der Abstand zum Zentrum nicht konstant
und es folglich keine Kreisbahn. |
Ja, im Falle der Kreisbahngeschwindigkeit. Ist v_x kleiner ist das nicht der Fall.
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Es ging doch um die Kreisbahn. Deine Behauptung ständig steigendes v ist aber auch bei einer Ellipse
falsch.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | In keiner Richtung nimmt v ständig zu. |
Warum fällt dann ein Stein Richtung Erdboden, wenn seine Geschw. sich angeblich nicht ändert?
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"Nimmt nicht ständig zu" heißt nicht "bleibt konstant", sondern "nimmt zu und wieder ab".
"Ändert sich ständig" wäre in bezug auf eine feste Richtung richtig, aber nicht in Bezug auf die sich
ändernde radiale Richtung.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Du vergißt scheinbar, daß deine Formeln nur für kleine Zeiten gelten und man danach das Koordinatensystem drehen muß. |
Nein, das vergesse ich nicht. Vielleicht solltest du dir die Fragestellung des Professors nochmal genau durchlesen:
| Klara hat Folgendes geschrieben: | | ... und hat irgendwas von Krümmung der Erde und freier Fall gemurmelt. |
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Das Gemurmel des Professors über Erdkrümmung hat mit dieser Frage nichts zu tun. Die Erde könnte auch ein
Massenpunkt sein und es würde dasselbe gelten.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | Die Bedingung für die Kreisbahn benutzt du schon einen Schritt vorher. Sonst wäre nämlich nicht
immer (trotz Achsendrehung) v_y = 0. (Voraussetzung für y=1/2*a*t^2) |
In meiner Betrachtung ist v_y nicht Null, |
Doch ist es, sonst wäre y-r = -1/2 a t^2 + v_y t. |
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Aragorn
Anmeldedatum: 23.06.2006
Beiträge: 1120
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| Verfasst am: 18.09.2009, 09:45 Titel: |
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| Erik hat Folgendes geschrieben: | Es ging doch um die Kreisbahn. Deine Behauptung ständig steigendes v ist aber auch bei einer Ellipse
falsch. |
Ständig steigendes v (relativ zum Erdboden) gibt es nur bei Verwandlung von kinetischer in potentielle Energie (bezogen auf den Erdboden). Das ist bei jedem v der Fall, außer im Falle v=Kreisbahngeschwindigkeit.
| Erik hat Folgendes geschrieben: | "Nimmt nicht ständig zu" heißt nicht "bleibt konstant", sondern "nimmt zu und wieder ab".
"Ändert sich ständig" wäre in bezug auf eine feste Richtung richtig, aber nicht in Bezug auf die sich
ändernde radiale Richtung. |
Ich sprach von keiner radialen Richtung, sondern gab als y-Richtung das Lot auf die Tangente am Abschußpunkt an.
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Das Germurmel des Professors über Erdkrümmung hat mit dieser Frage nichts zu tun. |
Doch das hat eben sehr viel mit der Antwort die der Prof hören will zu tun.
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Die Erde könnte auch ein Massenpunkt sein und es würde dasselbe gelten. |
Ja, und das ist auch kein Problem weil a_y(r) sich nicht dafür interessiert ob die Erde eine Kugel oder ein Massenpunkt ist.
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Doch ist es, sonst wäre y-r = -1/2 a t^2 + v_y t. |
v_y ist in meiner Argumentation die Geschw. in Lotrichtung zur Tangente am Abschußpunkt. Nicht die radial auf den Erdmittelpunkt zeigende, von der du ausgehst.
Gruß Helmut |
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 18.09.2009, 10:29 Titel: |
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| Aragorn hat Folgendes geschrieben: | | Erik hat Folgendes geschrieben: | Es ging doch um die Kreisbahn. Deine Behauptung ständig steigendes v ist aber auch bei einer Ellipse
falsch. |
Ständig steigendes v (relativ zum Erdboden) gibt es nur bei Verwandlung von kinetischer in potentielle Energie (bezogen auf den Erdboden).
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(Wohl eher umgekehrt.)
| Zitat: |
Das ist bei jedem v der Fall, außer im Falle v=Kreisbahngeschwindigkeit.
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Nein. Bei geschlossenen Keplerbahnen wird v in einer festen Richtung mal größer und dann wieder kleiner.
Die Beschleunigung ändert auch dauernd ihre Richtung.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | "Nimmt nicht ständig zu" heißt nicht "bleibt konstant", sondern "nimmt zu und wieder ab".
"Ändert sich ständig" wäre in bezug auf eine feste Richtung richtig, aber nicht in Bezug auf die sich
ändernde radiale Richtung. |
Ich sprach von keiner radialen Richtung, sondern gab als y-Richtung das Lot auf die Tangente am Abschußpunkt an.
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Dann ist y eine feste Richtung im Raum, v_y ändert sich periodisch und deine Formeln hören nach
kurzer Zeit auf zu gelten. Oder die Formeln stimmen zu jedem Zeitpunkt (für kleine Intervalle) und
y ist die momentane radiale Richtung. Anders geht's nicht.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Das Germurmel des Professors über Erdkrümmung hat mit dieser Frage nichts zu tun. |
Doch das hat eben sehr viel mit der Antwort die der Prof hören will zu tun.
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Zum Glück hat er nichts vom Wetter gemurmelt, sonst müßten wir das jetzt auch noch irgendwie unterbringen.
Ich bin sicher mit der Kreisdefinition als Menge aller Punkt mit festem Abstand zum Zentrum gibt er sich
zufrieden. Daraus folgt alles ohne Probleme. Einen Kreis als Kurve zu definieren, deren Krümmung von
einem kleineren Kreis kompensiert wird, finden nur um Einfachheit bemühte Erklärungskünstler wie du besser.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Die Erde könnte auch ein Massenpunkt sein und es würde dasselbe gelten. |
Ja, und das ist auch kein Problem [...]
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Für die Erdkrümmung schon. Da hätte man dann unendlich zu kompensieren.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Doch ist es, sonst wäre y-r = -1/2 a t^2 + v_y t. |
v_y ist in meiner Argumentation die Geschw. in Lotrichtung zur Tangente am Abschußpunkt. Nicht die radial auf den Erdmittelpunkt zeigende, von der du ausgehst.
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Wenn y nicht die momentane radiale Richtung ist, gilt deine Formel ja eben nicht.
(Zumindest nicht für alle Zeiten t). a kann übrigens auch nicht die Beschleunigung in y-Richtung
sein, wenn y nicht die momentane Radialrichtung ist. Schließlich ist a nur bei der Kreisbewegung und in Radialrichtung konstant
\[
\vec{a}\cdot\vec{r} = -v².
\] |
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El Cattivo
Anmeldedatum: 22.04.2007
Beiträge: 1556
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| Verfasst am: 18.09.2009, 10:49 Titel: |
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| ralfkannenberg hat Folgendes geschrieben: | Idee: "Gravitationskraft = Zentripetalkraft"
Natürlich ist das so formuliert falsch, denn wenn diese beiden Kräfte gleich gross wären, so würde die doppelte Gravitationskraft resultieren.
Sie sind also nur vom Betrag her gleich gross, von der Richtung her indes entgegengesetzt. |
Hallo Ralf - verwechselst du Zentripetalkraft mit Zentrifugalkraft?
mfg |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
|
| Verfasst am: 18.09.2009, 11:01 Titel: |
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| El Cattivo hat Folgendes geschrieben: | | Hallo Ralf - verwechselst du Zentripetalkraft mit Zentrifugalkraft? |
Ja 
Somit kann die Richtungsbedingung ersatzlos gestrichen werden, was das ganze einfacher macht.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Orbit
Anmeldedatum: 29.09.2008
Beiträge: 1469
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| Verfasst am: 18.09.2009, 11:09 Titel: |
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Liebe klara
Halt Dich an Aragorn.
Der beschreibt das schon richtig, obwohl es sogar für einen Laien verständlich ist. 
Orbit |
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