Atomare elektromagnetische Felder

[Jens Blume]

Atomare elektromagnetische Felder

Materiewellen sind die mit elektrischen Ladungen mitgeführten elektromagnetischen Wellen, welche den Teilchenimpuls tragen. Sie sind u. a. für die Beugung von Elektronen in Spaltversuchen verantwortlich und für die Ausbildung von Stehwellen in Atomen. Für die Beschreibung atomarer elektromagnetischer Felder wird von ihrer Energiedichte ausgegangen

\( { (1) ~ ~ ~ ~ ~ } w = \frac{1}{2} \varepsilon E^2 + \frac{1}{2} \mu H^2 = \varepsilon E^2, { ~ ~ ~ } \mathit{\Psi }=\sqrt{w} =\sqrt{\varepsilon } E \)

Die Wellengleichung des elektrischen Feldanteils ist

\( { (2) ~ ~ ~ ~ ~ } \Delta \vec {E} - \frac{1}{c^2} \ddot{ \vec {E}} = 0 \)

Für Gleichung (1) genügt eine skalare Wellengleichung

\( { (3) ~ ~ ~ ~ ~ } \Delta \mathit{\Psi } - \frac{1}{c^2} \ddot{\mathit{\Psi }} = 0 \)

Eine einfache Lösung stellt die folgende Materiewelle dar

\( { (4) ~ ~ ~ ~ ~ } \mathit{\Psi} = \mathrm{Re} ~ \mathit{\underline{\Psi}}, {~~~} \mathit{\underline{\Psi}} = \mathit{\underline{\Psi}}_0 e^{j \left (\vec{k} \cdot \vec{r} ~ - ~\omega ~ t} \right ) \)

Die Verwendung der komplexen Lösung ergibt zunächst

\( { (5) ~ ~ ~ ~ ~ } \Delta \mathit{\underline{\Psi}} + \frac{\omega ^2}{c^2} {\mathit{\underline{\Psi}}} = 0, {~~~} \ddot{\mathit{\underline{\Psi}}} = - \omega ^2 \mathit{\underline{\Psi}}_0 e^{j \left (\vec{k} \cdot \vec{r} ~ - ~\omega ~ t} \right ) \)

Aus dem Teilchenimpuls folgt die Wellenlänge der von seiner Ladung mitgeführten elektromagnetischen Welle

\( { (6) ~ ~ ~ ~ ~ } p=mv=\frac{W}{c^2}v=\frac{hf}{c^2}v=\frac{hf}{cf \lambda }v,{~~~}\lambda =\frac{h}{mc},{~~~}\frac{hf}{mc^2}=\frac{\hbar \omega}{mc^2}=1 \)

Die Oszillationsenergie eines Teilchens setzt sich aus potentieller und kinetischer Energie zusammen

\( { (7) ~ ~ ~ ~ ~ } W=\left (n+\frac{1}{2} \right )\hbar \omega,{~~~}W=W_p+\frac{1}{2}\hbar \omega,{~~~}W_p=n \hbar \omega,{~~~}2 \left (W - W_p \right )=\hbar \omega \)

wird (7) mit der Beziehung aus (6) erweitert, so folgt

\( { ( ~ ~ ~ ~ ~ } \frac{\omega^2}{c^2}=\frac{2 m}{\hbar ^2}\left (W - W_p \right ) \)

Aus (3) folgt daher die Materiewellengleichung

\( { (9) ~ ~ ~ ~ ~ } \Delta \mathit{\Psi } - \frac{2 m}{\hbar^2 \omega^2}\left (W - W_p \right ) \ddot{\mathit{\Psi }} = 0\)

und aus (5) folgt die zeitunabhängige Materiewellengleichung

\( { (10) ~ ~ ~ ~ ~ } \Delta \mathit{\underline{\Psi}} - \frac{2 m}{\hbar ^2}\left (W - W_p \right ) \mathit{\underline{\Psi}} = 0 \)

Mit (1) gilt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes

\( { (11) ~ ~ ~ ~ ~ } w = \mathit{\Psi }^2 =\mathit{\underline{\Psi}} ~\mathit{\underline{\Psi}}^\ast \)


Während die Atommodelle von Bohr und Sommerfeld für den Weg des Teilchen-Schwerpunktes materiewellenbedingt quantisierte Bahnen angeben, erfassen die nach Schrödinger benannten Gleichungen (10) und (11) mit (12) die Energiedichte der Materiewellen.

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[zeitgenosse]

[Orbit]

[Uli]

[zeitgenosse]

[Optimist71]

Die Frage ist, was man unter "wesensverwandt" zu verstehen hat ...

Die Born'sche Interpretation von $ |\Psi|^2 $ als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beruht ja auf der Interpretation der Energiedichte des EM-Feldes als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fuer Photonen. Insofern (ueber ihre Betrags-Quadrate) sind EM-Feld und Materiewellen schon "wesensverwandt". Genau genommen muesste man sagen, dass die Energiedichte des EM-Feldes mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fuer Photonen proportional ist (wg. Normierung).

Wuerde es eine Wellenfunktion fuer Photonen geben, so wuerde gelten

$ |\Psi|^2 \sim \epsilon E^2 $

wobei $ E $ die elektrische Feldstaerke ist , und $ \epsilon E^2 $ ist die Energiedichte des (klassischen!) EM-Feldes ist.

Allerdings gibt es meines Wissens nach keine Wellenfunktion fuer Photonen. Die (nichtrelativistische) Schroedingergleichung ist fuer Photonen nicht anwendbar, und die Wellenfunktion macht nur in Verbindung mit dieser Gleichung Sinn. Die Wellenfunktion selbst ist eine komplexwertige Funktion, ihr wird also keine physikalische Realitaet zuerkannt. Die Komponenten des EM-Feldes sind dagegen reell und messbar.

Relativistische Erweiterungen wie die Klein-Gordon Gleichung oder die Dirac-Gleichung gelten nur fuer Spin-0 bzw. Spin 1/2 Partikel, sie sind auf Photonen also ebenfalls nicht anwendbar. Photonen werden erst in der QED quantenmechanisch behandelt, dort gibt es aber keine Wellenfunktionen mehr. Ergo: Mit der aehnlichen Interpretation der jeweiligen Betragsquadrate als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fuer die entsprechenden Teilchen endet die "Wesensverwandtschaft" von QM-Wellenfunktion und EM-Feld.

-- Optimist
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"Det er meget nedslående å leve i en tid da det er lettere å sprenge et atom enn en fordom."
A. Einstein

[Jens Blume]

[zeitgenosse]

[Optimist71]

[Jens Blume]

[Optimist71]

Hallo Jens,

[Jens Blume]

Die Angaben zu de Broglie sind interessant, aber zunächst zur nach ihm benannten Wellenlänge, siehe Gleichung (6):

Unter Berücksichtigung des Brechungsindexes ergibt sich, widerspruchsfrei

\( { (6.1) ~ ~ ~ ~ } \lambda = \frac{h}{mc} = \frac{h}{m {c_0}} \sqrt{\mu_r} = \frac{h}{mv} \)

(Jedes Elementar-Teilchen beeinflusst durch seinen Spin die Permeabiltätskonstante.).

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[Uli]

[Erik]

Irgendwie gehen hier Wellenfunktionen und Feldstärken durcheinander. Die Entsprechung des EM-Feldes für Materieteilchen ist das Dirac-Feld. Beides sind keine Wellenfunktionen, sondern QM-Operatoren. Die Schrödinger-Gl. beschreibt typischerweise die Zeitentwicklung von Zuständen (und nicht der Felder) und die gibt es in der QM immer, egal ob relativistisch oder nichtrelativistisch, feldtheoretisch oder 1-Teilchen-QM. Der Unterschied ist eigentlich nur, ob es sich beim Hamiltonoperator um die 0-Komponente des 4-Impulses handelt oder nicht. In der Feldtheorie ist H eben noch aus Feldoperatoren zusammengesetzt.

[Optimist71]

Hallo Uli,