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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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 Verfasst am: 01.09.2009, 21:34 Titel: |
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| Jan hat Folgendes geschrieben: |
Hallo Erik,
Du schreibst:
| Zitat: | Es ist ganz einfach: Gln. 1a,b) beschreiben beide den Fall, daß B die Geschwindigkeit v von Q und den Winkel 90° zwischen Einstrahlrichtung und Bewegungsrichtung von Q mißt. Dann mißt Q an einer beliebigen harmonischen Welle die Frequenz f(Q), wenn B an derselben Welle die
Frequenz f(B) mißt.
(...)
Warum willst du denn ein bestimmtes IS festlegen? Alle Größen in den Gleichungen haben eine IS-unabhängige Bedeutung. Jedes beliebige IS liefert immer dieselbe Formel.
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Wie wärs mit dem folgenden Argument: weil Du sonst im galiläischen Raum bist. Und da kann ich Dir aus der hohlen Hand sagen, was alle Beteiligten bei einer Sendefrequenz von 30.000 hz messen werden: B wird 30.000 messen, Q wird 30.000 messen, und jeder beliebige andere ebenfalls (beim transversalen Durchgang).
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Das wäre schlicht falsch. Ich bin im Minkowski-Raum. Alle Größen, die ich benötige, leben darin.
Der Doppler-Effekt ist pure Geometrie in der Raumzeit. Um das wenigstens zu illustrieren
hier die Rechnung. Ist IMHO nicht so ohne weiteres zu verstehen, aber Fragen dazu versuche
ich gern zu beantworten.
Die harmonische Welle, die wir benötigen, wird charakterisiert durch einen 4-Wellenvektor k.
Wir haben zwei Beobachter mit jeweiligen 4-Geschwindigkeiten $ u_Q, u_B $. Die
Relativgeschwindigkeit von Q gemessen von B ist der raumartige Vektor $ v_Q $ orthogonal zu $ u_B $,
mit
\[ u_Q = \gamma(u_B + v_Q) \]
k hat, als lichtartiger Vektor, die beiden äquivalenten Zerlegungen
\[ k=\omega_Q(u_Q + n_Q) = \omega_B( u_B + n_B), \]
wobei die räumlichen Ausbreitungsrichtungen des Lichtstrahls durch die normierten Vektoren
$ n_Q, n_Q $, jeweils orthogonal zu $ u_Q $ bzw. $ u_B $ gegeben sind. Nun erhalten
wir durch bloßes Einsetzen und Ausnutzen der Orthogonalitätsrelationen
\(
\begin{eqnarray*}
\omega_Q & = &g(k, u_Q) = \omega_B[ g(u_B, u_Q) + g(n_B, u_Q) ] \\
\qquad &=& \omega_B( \gamma + \gamma g(n_B, v_Q) )\\
\qquad &=& \omega_B\gamma( 1 + g(n_B, v_Q) )
\end{eqnarray*}\)
$ n_B, v_Q $ sind beides Vektoren im 3-Raum von B. Ihr Minkowski-Produkt läßt sich also
als gewöhnliches euklidisches Skalarprodukt auffassen
\[ -g(n_B, v_Q) = |v_Q|\cos\phi_B \]
Damit haben wir das Resultat
\[ \omega_Q = \gamma\omega_B( 1 - |v_Q|\cos\phi_B ) \]
Wie du siehst, ist dein Hohle-Hand-Argument falsch. Gamma bleibt auch im transversalen Fall
stehen.
| Zitat: |
Wir haben es hier mit relativistischen Geschwindigkeiten zu tun, zu deren Bearbeitung stets die Lorentz-Transformation oder abgeleitete Faktoren wie g (gamma) für die Zeitdilatation oder Längenkontraktion oder die Lichtaberration zum Einsatz kommen müssen. In der Formel für den transversalen Dopplereffekt steht ja nicht umsonst f(X)ruh=f(Y)bew*g. Dieses g wirst doch auch Du bei Deinen Rechnungen brauchen, oder? Sonst kannst Du schlecht erklären, warum B und Q gleichzeitig ihr Näschen in die selbe harmonische Welle halten und der eine 22350, der andere aber 30.000 Hz mißt. Wenn Du also dem bewegten Objekt ein g adäquat zur Höhe von v zurechnest, dann bedeutet dass, dass Du das Ruhesystem des unbewegten Objekts als Inertialsystem für die zugrundeliegende Lorentz-Transformation definierst. Du brauchst das gar nicht an die große Glocke zu hängen - in dem Augenblick, wo Du mit gamma-Faktoren rechnest, kann es gar nicht anders sein.
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Irrtum. Wie du auch ohne detailliertes Verständnis der Rechnung feststellen kannst, benötige ich
weder irgendwelche Lorentz-Transformationen, noch Ruhesysteme. Ich brauche überhaupt kein
Koordinatensystem, das ist in der RT nicht anders als in gewöhnlicher Geometrie.
Selbst $ \gamma $ ist hier einfach $ \gamma= g(u_B, u_Q) $, das Minkowski-Produkt beider
4-Geschwindigkeiten. Es benötigt kein Bezugssystem, nur zwei verschiedene Beobachter.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | f(B) (f(Q)) ist die Frequenz, die B (Q) tatsächlich mißt. Was soll "ruh" oder "bew" da noch anzeigen, außer, um
welche Welle es sich jeweils handelt? |
Tja, schlicht und einfach, ob der nachfolgende Term mit einem "*g" oder einem "/g" veredelt wird. Du wirst zugestehen, dass dies den einen oder anderen Unterschied mit sich bringt.
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Das hat nichts mit "ruh" oder "bew" zu tun, sondern folgt allein aus der Beantwortung der 3 Fragen unten.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | Betrachten wir jetzt erstmal nur die eine Welle. Dann können nicht beide Gleichungspaare zusammen die Situation zutreffend beschreiben, denn wenn B einen Winkel mißt, mißt Q einen durch Aberration veränderten Winkel (...) Wenn Gleichungspaar 1 gilt, kann 2 nur für eine andere Welle gelten. D.h. 1 und 2 bescheiben unterschiedliche physikalische Situationen. Insbesondere, wenn 1) die von Q emittierte Welle
beschreibt, kann 2 nur die von B emittierte Welle beschreiben. |
Ja, stimmt. Die beiden transversalen Messvorgänge finden nicht zu genau der gleichen Zeit am gleichen Ort statt, sondern etwas auseinandergezogen. Insofern stimme ich Dir zu, dass es korrekt ist, hier von zwei Situationen zu reden.
Gut. Ich halte jetzt also zum wiederholten Male fest: Die Formeln, die Dietmar und Du hier vorschlagen, beinhalten ausschließlich eine Berechnung der Frequenzen für im Inertialsystem ruhende Empfänger und bewegte Sender. Klar, dass dabei das selbe rauskommt.
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Das ist nicht der Fall. Du mißverstehst einfach die Bedeutung der Formeln.
| Zitat: |
Nun ist es aber so, dass mir danach ist, die ganze Chose auch für Sender im Inertialsystem ruhend, Empfänger bewegt zu berechnen. Das mag jetzt ein ungewöhnliches oder unübliches Anliegen sein, aber in der SRT gilt (angeblich) die Relativität aller Inertialsysteme - egal aus welchen Rechenschritten im Einzelnen, aber am Ende kommt das selbe Ergebnis raus.
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Das ist überhaupt nicht ungewöhnlich. Du hast nur ein und dieselbe Formel auf zwei
unterschiedliche Situationen angewendet, von denen die eine auch noch deinen Voraussetzungen
über gemessene Frequenzen widersprach. Du behauptest einfach, daß ein und dieselbe Formel
zwei verschiedene Dinge bedeutet. Da ist natürlich kein Wunder, daß ein Widerspruch rauskommt.
| Zitat: |
Das heißt, die Entwicklung der rechten Formel aus den folgenden Ingredenzien von Dir ist richtig, aber noch nicht ganz vollständig:
| Erik hat Folgendes geschrieben: | 1) welche Frequenz f(B) mißt B?
2) welche (vektorielle) Relativgeschwindigkeit mißt B an Q?
3) welche Einfallsrichtung (Vektor) mißt B an der Welle?
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1) ist klar. 3 müsste eher Heißen: mißt B die korrekte Einfallsrichtung von 90°? 2) bestimmt die Größe des Gammafaktors g. Fehlt noch:
4) Ist der Empfänger bewegt oder ruhend im Inertialsystem. Das bestimmt die Polung von g: Wenn bewegt, dann "/", wenn ruhend, dann "*". So, damit können wir problemlos zwischen den Inertialsystemen hin- und herswitchen, wie es in der SRT auch möglich sein muss.
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Nein, es fehlt nichts. Von mehr als den Antworten auf 1)-3) hängt die Formel nicht ab,
wie aus der Rechnung oben folgt. 4) ist irrelevant. g wird durch die B und Q allein
bestimmt. Ob es multipliziert oder dividiert wird, hängt davon ab, welcher Beobachter
90° Einfallswinkel mißt (Multiplikation mit seiner Frequenz). Der andere mißt dann automatisch am selben k
$ cos\phi = v $ (woraus Division folgt).
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: | Welcher Beobachter mißt hier 90°?
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Die Ausbreitung der Radiowellen rund um einen ruhenden Sender ist kugelförmig. Der Bewegte Beobachter erreicht den Transversalpunkt genau dann, wenn die Flugrichtung 90° zum Sender beträgt.
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Kein Problem. Ob es eine Kugelwelle ist, ist unerheblich, du mußt trotzdem für beide Beobachter dasselbe k
verwenden.
| Zitat: |
Ich habe es schon mehrfach vorgerechnet, machen wir es nochmal mit einem neuen Dreh: Dietmar (und Erik) haben dankenswerterweise die Formel 1b) eingeführt, in der das bewegte (dilatierte) Objekt seine eigenen Sendefrequenzen misst. Inhaltlich muss man diese Formel wohl so interpretieren: Das bewegte Objekt sendet im Inertialsystem langsamere Frequenzen aus, weil seine internen physikalischen Prozesse zur Wellenerzeugung um den Faktor g verlangsamt sind. Wenn es jetzt seine eigenen verlangsamten Signale misst, dann merkt es das nicht, weil auch die eigene Zeitdauerberechnung bei der Messung der Signale entsprechend verlangsamt ist. Das ist triviale Relativität. Punkt ist: an dieser Stelle berechnen Dietmar, Erik und ich, dass von dem bewegten Objekt 22350 Hz im Inertialsystem als 30.000 Hz in der dilatierten Eigenzeit gemessen werden.
Genau das gleiche Objekt bekommt in einer neuen, aber ansonsten völlig gleichen Situation jetzt satte 30.000 Hz vom ruhenden Sender zum Messen aufgegeben. Genau wie vorher die 22350 auf interne 30.000 aufgebohrt wurden, werden die echten 30.000 jetzt als 40.268 Hz gemessen. Ist eigentlich ganz einfach, oder? Dumm halt nur:
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Nein, um den Fehler zu erkennen müßtest du aber den vorigen Beitrag von mir verstehen, über dem du noch brütest.
Wo ist denn das Problem? |
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Jan
Anmeldedatum: 05.12.2007
Beiträge: 155
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| Verfasst am: 02.09.2009, 11:42 Titel: Das Ganze nochmal - im Minkowski-Raum |
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Hallo Erik,
erst mal Danke für Deine umfangreiche Darstellung. Gut, lass uns die Sache nochmal im Minkowski-Raum durchgehen, das ist eine hübsche Gelegenheit, die dreidimensionale Vorstellungskraft zu schulen.
Vorab: ich meine mich zu erinnern, dass Du eine eigenwillige Vorstellung des Minkowski-Raums benutzt. Werden wir ja merken. Ich gehe im Folgenden vom Minkowski-Raum in der Art und Herleitung aus, wie sie z.B. in Wikipedia dargestellt wird: http://de.wikipedia.org/wiki/Lorentz-Transformation_und_Minkowski-Raum. Wir können uns darauf einigen, dass dies die übliche und allgemein verwendete Version ist, ok?
Zweitens möchte ich die Angelegenheit folgendermaßen vereinfachen: wir haben zwei Raumschiffe, die mit v=200.000 km einen transversalen Vorbeiflug erleben. Eins sendet (Q=Quelle) und zwar kontinuierlich, eins empfängt (B=Beobachter) die gesendeten Radiosignale von 30.000 Schwingungen pro Sekunde Eigenzeit. (Damit wir nicht immer über unterschiedliche Situationen diskutieren müssen). Die Aufzeichnungszeit des empfangenden Schiffs beträgt 1 Sekunde Eigenzeit. Die Schiffe fliegen mit einem Abstand von 3 Mio. Km (=10 Lichtsekunden) aneinander vorbei, damit die aufgezeichneten Wellen mit angemessen geringer Krümmung (also geringer Abweichung vom lotrechten Winkel von 90°) auftreffen.
So, jetzt bringen wir die Situation in den 4-Dimensionalen Minkowski-Raum mit den drei Raum-Koordinaten x,y,z und der Zeitkoordinate t. Die Raumschiffe bewegen sich in x-Richtung zueinander, die fragliche Lichtwelle bewegt sich auf der z-Achse (also aus der Tiefe des Raums zum Empfänger, wenn dieser ruht, oder in die Tiefe des Raums, wenn der Sender ruht). Die Höhenausdehnung der Raumschiffe und der Lichtwelle spielt keine Rolle, die können wir also weglassen.
1. Berechnung
1. Konstruieren wir als erstes also einen dreidimensionalen Galileoraum mit einem euklidischen Koordinatensystem mit den Achsen x (Bewegungsrichtung des bewegten Raumschiffs), y (auf der Höhenachse wird die Zeit abgetragen, die während des Vorgangs vergeht) und z (Tiefenachse - darin wird sich der Lichtstrahl zwischen den beiden Raumschiffen bewegen). OK?
2. Gucken wir auf die Geschwindigkeit. 200.000 km/s! Da ist Galileo nicht mehr ausreichend, da muss der Minkowski-Raum her. Durch raffinierte Anwendung der Lorentz-Transformation erhalten wir ein zweites, schiefwinkliges Koordinatensystem, welches die räumlichen und zeitlichen Vorgänge des bewegten Schiffs abbilden wird. Ich erspare mir hier eine eigene Formulierung und zitiere aus obigem Wikipedia-Artikel:
| Zitat: | | Ursprünglich ist die Lorentz-Transformation die Gesamtheit der relativistischen Transformationsgleichungen für den Übergang von einem Bezugssystem zu einem relativ dazu bewegten zweiten Bezugssystem. Nach dem oben Gesagten aber kann die Lorentz-Transformation auch aufgefasst werden als die Gesamtheit der Transformationsgleichungen für den Übergang von einem rechtwinkligen zu einem schiefwinkligen Koordinatensystem im Minkowski-Raum und umgekehrt. Das bedeutet: Der Übergang von einem Bezugssystem im dreidimensionalen Erfahrungsraum zu einem relativ dazu bewegten Bezugssystem ist gleichwertig mit dem Übergang von einem rechtwinkligen zu einem schiefwinkligen Koordinatensystem im vierdimensionalen Minkowski-Raum. |
Oder, um es noch mal deutlich zu sagen: dasjenige Raumschiff, welches im euklidischen Koordinatensystem auf der x- und z-Achse als ruhend und sich nur auf der Zeitachse y als bewegend eingetragen wird, befindet sich im Inertialsystem. Das sich in x-Richtung bewegende Raumschiff, dessen zeitlich-räumliche Beziehungen mit dem schiefwinkligen Koordinatensystem abgebildet werden, ist zu dem im Inertialsystem ruhenden Raumschiff bewegt - mit den ganzen Folgen der Zeitdilatation, Längenkontrakion usw, die ja durch die Schiefwinkligkeit geometrisch abgebildet werden.
3. So, soweit alles bereit. Jetzt müssen wir uns nur noch entscheiden, ob wir Raumschiff B oder Raumschiff Q in das euklidische Koordinatensystem setzen (= ins Inertialsystem). Ist eigentlich egal, aber ein Blick in das Internationale Einstein-Konventionsbuch verrät uns, dass es üblich ist, dass empfangende Raumschiff B als unbewegt (und damit ins euklidische Koordinatensystem=Inertialsystem) einzusetzen und das sendende Raumschiff Q als das sich mit v=200.000 km/s in x-Richtung bewegende - es kriegt also das schiefwinklige Koordinatensystem ab.
4. Jetzt suchen wir uns ein schönes Plätzchen irgendwo im Koordinatensystem, setzen das ruhende B unten ein und sehen (vor unserem geistigen Auge) während des Ablaufs der Zeit, wie es langsam auf der Zeitachse nach oben steigt. Dann setzen wir im angemessenen Abstand von 10 Lichtsekunden auf der Tiefenachse Z das sendende Raumschiff Q irgendwo links unten ein und sehen während des Ablaufs der Zeit, wie es mit v=2/3 c von links unten nach rechts oben dübelt (und dabei ständig Radiosignale aussendet, die uns aber noch nicht interessieren). Nun gibt es irgendeinen Zeitpunkt T=0, an dem Q in minimalem Abstand an B vorbeifliegt - der Winkel auf B beträgt 90°, x(B) = x(Q). Genau das Radiosignal, dass B in diesem Augenblick in (-z)-Richtung emittiert, interessiert uns. Dieses bewegt sich während der folgenden 10 sekunden in einem 45°-Winkel (eine Einheit auf der Z-Achse entspricht einer Einheit auf der Zeitachse Y) aus der Tiefe des Raums auf das gleichmäßig auf der Zeitachse Y aufsteigende B zu und trifft zum Zeitpunkt T=10 bei B ein, um dort gemessen zu werden. In dieser Zeit ist das bewegte Raumschiff Q bereits 2 Millionen km weiter nach rechts oben im Diagramm gebrettert.
Wir können ins Diagramm also einzeichnen: Stellung von Q und B beim Zeitpunkt T=0; Stellung von Q und B beim Zeitpunkt T=10, und dann können wir einen satten Strich (jedenfalls, wenn wir das 3-D darstellen) von Q zum Zeitpunkt T=0 zu B zum Zeitpunkt T=10 ziehen - das ist die raumzeitliche Darstellung der Radio-Wellenfronten k, die Q an B gesendet hat.
So, das ist jetzt etwas hemdsärmeliger dargestellt, aber ich glaube, dies entspricht inhaltlich dem, was Du in Deinem letzten Beitrag wesentlich amtlich aussehender dargestellt hast. Richtig? Raumzeitlich gesehen gibt es eine Wellenfront k, die die beiden Raumschiffe im Minkowski-Raum gleichermaßen "berührt". Kann man ja sehen. OK. Völlig korrekt.
Kommen wir zur Auswertung. Die von Raumschiff Q ausgesendeten Radiowellen sind (bei 30.000 Schwingungen pro Sekunde Eigenzeit) um den Faktor g dilatiert, weil der Frequenzgenerator um den Faktor g langsamer läuft. g kann irgendwie aus der Schiefwinkligeit des dilatierten im Verhältnis zum euklidischen abgeleitet werden. Oder so. Das empfangende Raumschiff B befindet sich im euklidischen Koordinatensystem (vulgo im Inertialsystem), seine Rezeption unterliegt also keinerlei Verzerrung. Es bestimmt die Sendefrequenz zu 22.350 Hz. Damit kommen wir zu Dietmars erster Formel [ich wollte das Bild mit img einbinden, aber das tut bei mir nicht!?! Daher die Url. Tips erwünscht: ]
Dietmars Formel 1a)
Und dann berechnen wir noch, was B eigentlich für eine Frequenz für die eigenen ausgestrahlten Radiowellen ermitteln würde: Im gegebenen euklidischen Koordinatensystem beträgt die Sendefrequenz nur 22.350 Hz. Allerdings ist auch die Eigenzeit bei der Rezeption der eigenen Radiowellen um den Faktor "/g" erhöht (1 Sekunde im Raumschiff B dauern 1.34 Sekunden im euklidischen Koordinatensystem von Q), daher ermittelt B seine selbst erzeugte Frequenz zu 22.350/g = 30.000 Hz. Das bildet Dietmars zweite Formel ab:
Dietmars Formel 1b)
So, ich hoffe, bis hierhin habe ich im Prinzip korrekt Deinen Ansatz zur Darstellung der Situation im Minkowski-Raum reproduziert.
2. Berechnung
Jetzt passiert (damit ich mich nicht immer wiederhole) das Folgende: Der Betriebsrat von Raumschiff Q sucht Dich auf und überbringt Dir die Mitteilung der Mannschaft, dass sie es leid ist, immer das bewegte Raumschiff abgeben zu müssen. Sie seien vom ständigen Aufenthalt im schiefwinkligen Koordinatensystem schon selber ganz krumm und schief, und ausserdem würden sich im Raumfahrer-Pub alle über sie lustig machen, weil sie nicht nur nicht in der Lage wären, eine anständige Frequenz von 30.000 Hz auszustrahlen sondern noch darüber hinaus zu doof, es wenigstens selbst zu merken. Die Mannschaft verlangt ultimativ, auch mal ins euklidische Koordinatensystem zu kommen, sonst...!!! Da Du Dir einen wilden Ausstand unmöglich erlauben kannst, gibst Du nach: "Gut! Gut! GUT! Ihr sollt Euren Willen haben!"
Wir wiederholen die Messung nochmal unter identischen Bedingungen. Das Minkowskische Koordinatensystem ist bereits zubereitet. Einzige Änderung: Diesmal kommt Raumschiff Q (Sender) ins euklidische Koordinatensystem und bewegt sich mit Ablauf der Zeit auf der Y-Achse nach oben, während das empfangende Raumschiff B mit Karacho von links unten nach rechts oben dübelt. Raumschiff Q sendet die ganze Zeit Radiosignale aus. Interessieren tut uns genau die Radiowelle, die es 10 Sekunden (also zum Zeitpunkt T=-10) vor demjenigen Raumzeitpunkt ausstrahlt, an dem Raumschiff B Raumschiff Q auf der X-Y-Achse passiert (also der transversale Vorbeiflug stattfindet). Diese wandert im 45°Winkel auf der Z-Achse und Y-Achse auf das herannahende Raumschiff B zu und erreicht es genau in dem Augenblick T=0, in dem Raumschiff B Raumschiff Q mit dem kleinsten Abstand passiert und die Frequenzmessung durchführt. Wir haben wieder die beiden Zeitpunkte T=-10 und T=0, an denen sich die beiden Raumschiffe jeweils an den entsprechenden Raumzeitpunkten befinden, und dazwischen können wir auf der Z-Achse einen satten Strich vom Zeitpunkt T=-10 und Q nach T=0 und B ziehen. Damit haben wir die raumzeitliche Darstellung für das Radiosignal k. Soweit korrekt?
Kommen wir zur Auswertung. Raumschiff Q sendet, da diesmal im euklidischen Koordinatensystem ruhend, saubere und unverfälschte 30.000 Schwingungen pro Sekunde im Inertialsystem. Raumschiff B empfängt diese 30.000 Schwingungen pro Sekunde Inertialzeit, seine Eigenzeit ist jedoch, da es sich im schiefwinkligen Koordinatensystem befindet, um den Faktor g dilatiert. Die Zeitdauer seiner Messzeit von einer Sekunde Eigenzeit beträgt im euklidischen Zeitraster 1.34 sec. In 1.34 sec treffen jedoch 40.268 Radiowellen auf die Antenne. Daher mißt die verstörte Mannschaft von B diesmal eine Frequenz von 40.268 Schwingungen pro Sekunde. Das entspricht meiner Formel 3a:
f(B)bew=f(Q)ruh/g
Dagegen beträgt die Frequenz, die das sendende Raumschiff Q sicherheitshalber noch mal selbst nachmisst, unverfälschte 30.000 hz. Klar, ruht diesmal ja auch im euklidischen Koordinatensystem bzw. Inertialsystem. Die überglückliche Mannschaft gibt sich Fünf und fällt sich in die Arme. Wenn wir das Messergebnis bei Q ins Verhältnis zum Messergebnis bei B setzen wollen (40.268 * 0.745 = 30.000), ergibt sich meine Formel 3 b):
f(Q)ruh=f(B)bew*g
Diskussion.
Gut, ich glaube, dass ist jetzt klar. Welches der beiden Raumschiffe als ruhend (euklidisches Koordinatensystem, Inertialsystem) und als bewegt (schiefwinkliges Koordinatensysten, dilatiertes System) aufgefaßt wird, ist und muss auch völlig egal sein. Ist es aber nicht: wenn das empfangende Raumschiff b ruht, empfängt es 22350 hz, wenn es das bewegte ist, empfängt es 40.268 hz. Beide Berechnungen sind völlig legitim und (soweit ich sehen kann) korrekt nach den Regeln der SRT durchgeführt. Wenn das so ist, dann führt die SRT im vorliegenden Fall zu wiedersprüchlichen Ergebnissen - sie kann nicht angeben, ob nun Berechnungsweg 1 oder Berechnungsweg 2 das korrekte Ergebnis ermittelt.
Viele Grüße allerseits
Jan |
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 02.09.2009, 14:48 Titel: Re: Das Ganze nochmal - im Minkowski-Raum |
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| Jan hat Folgendes geschrieben: |
Vorab: ich meine mich zu erinnern, dass Du eine eigenwillige Vorstellung des Minkowski-Raums benutzt. Werden wir ja merken.
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Der rein geometrische Standpunkt, den ich meist bevorzuge wenn es um so grundlegende Bedeutungsfragen
in der SRT geht, wird selten konsequent durchgezogen. Das eigenwillige ist aber nur die Darstellung. Ansonsten ist
alles Standard-SRT.
Ja. Ist allerdings wieder etwas koordinatenlastig.
| Zitat: |
Zweitens möchte ich die Angelegenheit folgendermaßen vereinfachen: wir haben zwei Raumschiffe, die mit v=200.000 km einen transversalen Vorbeiflug erleben. Eins sendet (Q=Quelle) und zwar kontinuierlich, eins empfängt (B=Beobachter) die gesendeten Radiosignale von 30.000 Schwingungen pro Sekunde Eigenzeit. (Damit wir nicht immer über unterschiedliche Situationen diskutieren müssen).
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Halte ich für eine gute Idee.
| Zitat: |
Die Aufzeichnungszeit des empfangenden Schiffs beträgt 1 Sekunde Eigenzeit. Die Schiffe fliegen mit einem Abstand von 3 Mio. Km (=10 Lichtsekunden) aneinander vorbei, damit die aufgezeichneten Wellen mit angemessen geringer Krümmung (also geringer Abweichung vom lotrechten Winkel von 90°) auftreffen.
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Auch gut, dann können wir ebene Wellen betrachten, mit einem eindeutigen k. Damit sollte es wirklich einfach sein.
| Zitat: |
1. Berechnung
1. Konstruieren wir als erstes also einen dreidimensionalen Galileoraum mit einem euklidischen Koordinatensystem mit den Achsen x (Bewegungsrichtung des bewegten Raumschiffs), y (auf der Höhenachse wird die Zeit abgetragen, die während des Vorgangs vergeht) und z (Tiefenachse - darin wird sich der Lichtstrahl zwischen den beiden Raumschiffen bewegen). OK?
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Du mußt sagen, auf welches Objekt im Minkwoski-Raum sich dies bezieht, z.B. Q, B oder irgendein drittes. Ich nehme mal an auf B. (Sehe gerade, dazu kommt später noch was, meine Annahme scheint zu stimmen.)
| Zitat: |
2. Gucken wir auf die Geschwindigkeit. 200.000 km/s! Da ist Galileo nicht mehr ausreichend, da muss der Minkowski-Raum her. Durch raffinierte Anwendung der Lorentz-Transformation erhalten wir ein zweites, schiefwinkliges Koordinatensystem, welches die räumlichen und zeitlichen Vorgänge des bewegten Schiffs abbilden wird.
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Wir brauchen kein zweites, wir brauchen nichtmal eins. Aber ok. Leider sind deine folgenden Aussagen über
Schiefwinkligkeit und was du alles draus ableitest, etwas seltsam.
| Zitat: |
3. So, soweit alles bereit. Jetzt müssen wir uns nur noch entscheiden, ob wir Raumschiff B oder Raumschiff Q in das euklidische Koordinatensystem setzen (= ins Inertialsystem). Ist eigentlich egal, aber ein Blick in das Internationale Einstein-Konventionsbuch verrät uns, dass es üblich ist, dass empfangende Raumschiff B als unbewegt (und damit ins euklidische Koordinatensystem=Inertialsystem) einzusetzen und das sendende Raumschiff Q als das sich mit v=200.000 km/s in x-Richtung bewegende - es kriegt also das schiefwinklige Koordinatensystem ab.
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Hier gehen einige Begriffe (Inertialsystem, euklidisches Koordinatensystem) durcheinander. Ansonsten aber auch ok. Es ist zwar überflüssig ein IS zu wählen, aber natürlich nicht verboten.
| Zitat: |
4. Jetzt suchen wir uns ein schönes Plätzchen irgendwo im Koordinatensystem, setzen das ruhende B unten ein und sehen (vor unserem geistigen Auge) während des Ablaufs der Zeit, wie es langsam auf der Zeitachse nach oben steigt. Dann setzen wir im angemessenen Abstand von 10 Lichtsekunden auf der Tiefenachse Z das sendende Raumschiff Q irgendwo links unten ein und sehen während des Ablaufs der Zeit, wie es mit v=2/3 c von links unten nach rechts oben dübelt (und dabei ständig Radiosignale aussendet, die uns aber noch nicht interessieren). Nun gibt es irgendeinen Zeitpunkt T=0, an dem Q in minimalem Abstand an B vorbeifliegt - der Winkel auf B beträgt 90°, x(B) = x(Q).
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Ja, wichtig ist hier, daß sich der Winkel auf B bezieht, d.h. B mißt zwischen der Ausbreitungsrichtung (im 3-Raum von B) und der Relativgeschwindigkeit von Q einen Winkel von 90°. Zur selben Zeit mißt aber Q einen anderen Winkel zwischen der Ausbreitungsrichtung (im 3-Raum von Q) und der Relativgeschwindigkeit von B, nämlich genau den Winkel $ \cos\phi = |v_Q| $. Das ist der entscheidende Punkt. Und den übersiehst du nach wie vor.
| Zitat: |
So, das ist jetzt etwas hemdsärmeliger dargestellt, aber ich glaube, dies entspricht inhaltlich dem, was Du in Deinem letzten Beitrag wesentlich amtlich aussehender dargestellt hast. Richtig?
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Glaube schon. Allerdings wollte ich dir mit der amtlich aussehenden Darstellung vor allem die Flausen austreiben, es sei irgendwie wichtig, in welchem IS man rechnet. Weil ja nicht mal irgendein IS drin vorkommt. Scheint aber komischerweise keinen Eindruck hinterlassen zu haben.
| Zitat: |
Raumzeitlich gesehen gibt es eine Wellenfront k, die die beiden Raumschiffe im Minkowski-Raum gleichermaßen "berührt". Kann man ja sehen. OK. Völlig korrekt.
Kommen wir zur Auswertung. Die von Raumschiff Q ausgesendeten Radiowellen sind (bei 30.000 Schwingungen pro Sekunde Eigenzeit) um den Faktor g dilatiert, weil der Frequenzgenerator um den Faktor g langsamer läuft. g kann irgendwie aus der Schiefwinkligeit des dilatierten im Verhältnis zum euklidischen abgeleitet werden. Oder so. Das empfangende Raumschiff B befindet sich im euklidischen Koordinatensystem (vulgo im Inertialsystem), seine Rezeption unterliegt also keinerlei Verzerrung. Es bestimmt die Sendefrequenz zu 22.350 Hz. Damit kommen wir zu Dietmars erster Formel
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Hier bringst du wieder euklidische Koordinaten und Inertialsystem durcheinander. Außerdem etwas schwammig ausgedrückt, aber ansonsten ok.
| Zitat: |
[ich wollte das Bild mit img einbinden, aber das tut bei mir nicht!?! Daher die Url. Tips erwünscht: ]
Dietmars Formel 1a)
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Du kannst die mit dem internen Latex-Interpreter erzeugten Formeln einfach zitieren. Oder selbst einfügen mit | Code: | | [ltex] blabla[/ltex] |
| Zitat: |
Und dann berechnen wir noch, was B eigentlich für eine Frequenz für die eigenen ausgestrahlten Radiowellen ermitteln würde: Im gegebenen euklidischen Koordinatensystem beträgt die Sendefrequenz nur 22.350 Hz. Allerdings ist auch die Eigenzeit bei der Rezeption der eigenen Radiowellen um den Faktor "/g" erhöht (1 Sekunde im Raumschiff B dauern 1.34 Sekunden im euklidischen Koordinatensystem von Q), daher ermittelt B seine selbst erzeugte Frequenz zu 22.350/g = 30.000 Hz. Das bildet Dietmars zweite Formel ab:
Dietmars Formel 1b)
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Hier fängt es schon an, durcheinander zu gehen. Formel 1b) betrachtet dieselbe Welle in derselben Situation wie 1a). Der Unterschied ist nur, daß sich Einfallswinkel und Geschwindigkeit nun auf Q beziehen. Da $ cos\phi_Q = v $, wenn $ \cos\phi_B=0 $, folgt aus der allgemeinen Formel
\[
\omega_Q = \frac{\omega_B}{\gamma( 1 - v\cos\phi_Q)}= \frac{\omega_B}{\gamma( 1 - v²)} = \gamma\omega_B \qquad (1b)
\]
Warum redest du hier also plötzlich von der Welle, die B aussendet? B sendet definitionsgemäß Wellen aus, die im eigenen Ruhesystem die Frequenz 30000 Hz haben. Der Widerspruch liegt also in deinen Annahmen, nicht in der SRT.
Wenn ich mir die folgende Argumentation anschaue, scheinst Du auch vorauszusetzen, daß die von B oder Q gemessene Frequenz davon abhängt, in welchem Inertialsystem man sie ausrechnet. Dasselbe gilt für Begriffe wie Eigenzeit, von der du behauptest sie sei mal dilatiert und mal nicht. Das ist aber nicht so. Diesen Punkt sollten wir wohl erstmal klären. Sowohl k als auch alle 4-Geschwindigkeiten sind dieselben wie vorher. Dann müssen auch die gemessenen Frequenzen dieselben sein. Die Frequenz, die ein bestimmter Beobachter an einer gegebenen Welle mißt, ist lorentz-invariant. |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 02.09.2009, 15:42 Titel: Re: Lichtkegel unter relativistischen Geschwindigkeiten |
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| Jan hat Folgendes geschrieben: |
Angenommen, die obige Apparatur befindet sich in einem Raumschiff, welches mit 200.000 km/s durch den Äther reist. Sie ist zum Heck des Schiffes ("ätherabwärts") gerichtet. Eine Lichtwellenfront, die von der Lampe ausgesandt wird, pflanzt sich durch den Äther mit 300.000 km/s fort und verbreitert sich dabei mit zunehmender Strecke - der Lichtkegel weitet sich auf. Allerdings kommt der Wellenfront die Leinwand mit 200.000 km/s entgegen. Daher wandert die Lichtwelle nicht 10 m durch den Äther, bis sie auf die Leinwand trifft, sondern nur 6 - weil die Leinwand ihr in dieser Zeit um 4 m entgegen gekommen ist.
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Hallo Jan,
mir fällt leider schon in Deiner Themaeröffnung ein recht deutlicher Denkfehler (?) auf und das ist eigentlich schade, weil sich die Versuchsbeschreibung selbst recht gut und fehlerfrei liest. Aus dem Denkfehler resultiert dann meiner Meinung nach ein falsches Ergebnis von 6m (s. Zitat).
Dazu die folgende Frage. Gehst Du bei der Ableitung der 6m implizit von gleichen Laufzeiten des Lichtes aus? Das wäre zwar nicht verboten, aber man muss auch dabei schon etwas aufpassen:
Fall1:
Die Lichtwelle ist im Ruhesystem t_1 Sekunden zu der 10m entfernten Wand unterwegs. Es gilt also
s_1 = c * t_1, bzw. t_1 = s_1/c.
Fall2:
Die Lichtwelle wird im Raumschiff Richtung Heck geschickt und läuft wiederum t_1 Sekunden bis zu der Entfernung
s_2 = c * t_1 - v * t_1 = (c-v)*t_1.
Setzt man jetzt Formel 1 in 2 ein erhält man:
s_2 = (c-v)/c * s_1
und kommt mit Deinen Angaben auf 10/3m im Gegensatz zu 6m! Ich erwähne das deswegen, weil mir dieser Fehler (?) schon fast symptomatisch für die ganze Diskussion vorkommt  .
MfG |
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Jan
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| Verfasst am: 02.09.2009, 17:22 Titel: |
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Hallo Barney,
mal kurz auf LET umschalten... das Licht bewegt sich immer im Äther (rsp es ist eine Welle des Äthers) mit 300.000 km/s. Der Äther wird hier als absolutes Ruhesystem aufgefaßt. Im vorliegenden Fall ging es um Licht, welches durch eine Blende fiel und dann auf die 10 m entfernte Wand krachte, welche dem Licht mit 200.000 km/s entgegenkam. Um das Verhältnis auszurechnen, müßte eigentlich berücksichtigt werden, dass das Raumschiff längenkontrahiert ist. Da aber die Blende um gerade einen solchen Betrag an die Lampe heranrückt und damit der Strahl um einen entsprechenden Betrag größer wird, habe ich diesen Faktor bei der folgenden Kalkulation einfach ausgeklammert. Bleibt: c=3/2 v bzw. 6/4 v - also verteilen sich die 10 m auf 6 m Lichtweg und 4 m entgegenkommendes Heck. Das scheint mir doch zu stimmen.
Hallo Erik,
Über weite Strecken sind wir ja klar. Das ist schon mal prima.
Vorab eine Anmerkung: wie in dem zitierten Wikipedia-Artikel stand, werden Ruhesystem und bewegtes System der normalen SRT in euklidisches und schiefwinkliges Koordinatensystem im Minkowski-Raum übertragen. Und Inertialsystem ist nur die amtliche Bezeichnung für Ruhesystem. Insofern glaube ich nicht, dass mir da was durcheinandergeht. Aber da kommts im Augenblick ja nicht drauf an.
Zwei Sachen waren unklar:
Zuerst mal habe ich mich bei dem Abschnitt vor Dietmars zweiter Formel mit B und Q verheddert.
| Jan hat Folgendes geschrieben: | | Und dann berechnen wir noch, was B eigentlich für eine Frequenz für die eigenen ausgestrahlten Radiowellen ermitteln würde: Im gegebenen euklidischen Koordinatensystem beträgt die Sendefrequenz nur 22.350 Hz. Allerdings ist auch die Eigenzeit bei der Rezeption der eigenen Radiowellen um den Faktor "/g" erhöht (1 Sekunde im Raumschiff B dauern 1.34 Sekunden im euklidischen Koordinatensystem von Q), daher ermittelt B seine selbst erzeugte Frequenz zu 22.350/g = 30.000 Hz. Das bildet Dietmars zweite Formel ab: |
Die Frage war natürlich: welche Frequenz Q für die eigenen ausgestrahlten Radiowellen ermitteln würde. Was aber das Grundproblem noch nicht löst. Meine Vorstellung ist: Q hängt irgendwo eine Antenne über die Antriebspylonen und misst seine eigene Sendefrequenz. Auch für Q gilt natürlich das, was Du für das fälschliche B geantwortet hast:
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Warum redest du hier also plötzlich von der Welle, die B aussendet? B sendet definitionsgemäß Wellen aus, die im eigenen Ruhesystem die Frequenz 30000 Hz haben. |
Die Antenne über den Antriebspylonen scheint also irgendwie nicht das zu sein, was hier passieren soll. Was hier passieren soll, ist das Folgende:
| Zitat: | 1. Ja, wichtig ist hier, daß sich der Winkel auf B bezieht, d.h. B mißt zwischen der Ausbreitungsrichtung (im 3-Raum von B) und der Relativgeschwindigkeit von Q einen Winkel von 90°. Zur selben Zeit mißt aber Q einen anderen Winkel zwischen der Ausbreitungsrichtung (im 3-Raum von Q) und der Relativgeschwindigkeit von B, nämlich genau den Winkel  . Das ist der entscheidende Punkt. Und den übersiehst du nach wie vor.
2. Hier fängt es schon an, durcheinander zu gehen. Formel 1b) betrachtet dieselbe Welle in derselben Situation wie 1a). Der Unterschied ist nur, daß sich Einfallswinkel und Geschwindigkeit nun auf Q beziehen. Da  , wenn  , folgt aus der allgemeinen Formel
 |
Sorry, da verlassen sie mich. Q hat die fragliche Welle produziert, die entsprechende Wellenfront ist von Q zu B gewandert. Jetzt sehen wir das irgendwie andersrum - stellen wir uns das jetzt rückwärts vor? Also von T=10 nach T = 0? Auch die rückwärtige Welle trifft lotrecht auf Q, so wie sie Q lotrecht verlassen hat. Wo kommt da der Cosinus ins Spiel? (also wirklich blöd gefragt, was ist da Ankathede, Gegenkathede und Hypothenuse - ich bin verwirrt). Cos(f)(Q) ist v? Interessant. Und daraus kann man dann ableiten, dass F(Q)= F(B)*g ist? Cool. Ich denk noch mal drüber nach. Aber einige erhellende Worte würden mich freuen.
Aber eigentlich ist die 1b-Formel ja nicht das Problem, auf das ich hinaus will. Es liegt in der 3a-Formel, wo die 40.268 zustande kommen. Und Du hast ja recht:
| Zitat: | | Sowohl k als auch alle 4-Geschwindigkeiten sind dieselben wie vorher. Dann müssen auch die gemessenen Frequenzen dieselben sein. Die Frequenz, die ein bestimmter Beobachter an einer gegebenen Welle mißt, ist lorentz-invariant. |
Das sollte man allerdings erwarten.
| Zitat: | | Wenn ich mir die folgende Argumentation anschaue, scheinst Du auch vorauszusetzen, daß die von B oder Q gemessene Frequenz davon abhängt, in welchem Inertialsystem man sie ausrechnet. Dasselbe gilt für Begriffe wie Eigenzeit, von der du behauptest sie sei mal dilatiert und mal nicht. |
Eigentlich gehe ich nicht davon aus und behaupte das auch nicht - ich habe einfach mal Q als ruhend und B als bewegt in das Minkowski-Diagramm eingesetzt. Und dann kommt das raus.
Deswegen: machs doch einfach mal selber. Nimm ein frisches Minkowksi-Diagramm, vergiß, was Du bisher berechnet hast, und setze spaßeshalber Q als ruhend und B als bewegt. Und dann kalkulierst Du, welche Frequenz das bewegte B messen wird. Ist doch keine große Sache. Was kommt denn da bei Dir raus, und warum?
Viele Grüße allerseits
Jan |
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Jan
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| Verfasst am: 03.09.2009, 10:09 Titel: Paradoxon 1/2 |
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Hallo allerseits,
hallo Erik! OK. Nach ausführlicher Kontemplation Deiner Aussagen...
| Zitat: | 1. Ja, wichtig ist hier, daß sich der Winkel auf B bezieht, d.h. B mißt zwischen der Ausbreitungsrichtung (im 3-Raum von B) und der Relativgeschwindigkeit von Q einen Winkel von 90°. Zur selben Zeit mißt aber Q einen anderen Winkel zwischen der Ausbreitungsrichtung (im 3-Raum von Q) und der Relativgeschwindigkeit von B, nämlich genau den Winkel . Das ist der entscheidende Punkt. Und den übersiehst du nach wie vor.
2. Hier fängt es schon an, durcheinander zu gehen. Formel 1b) betrachtet dieselbe Welle in derselben Situation wie 1a). Der Unterschied ist nur, daß sich Einfallswinkel und Geschwindigkeit nun auf Q beziehen. Da , wenn , folgt aus der allgemeinen Formel
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... erkenne ich jetzt das Problem, auf das Du mich hinweisen möchtest. Ich werde es jetzt nochmal mit Bezug auf Ruhesysteme rekapitulieren. Zumindest mir macht das die ganze Sache wesentlich anschaulicher. Kurz gesagt lautet es:
Ohne Anwesenheit eines Äthers ist es für die beiden Raumschiffe unmöglich, Einigkeit darüber zu erzielen, an welchem Raumzeitpunkt der Sender diejenigen Signale aussendet, welche dann lotrecht beim Empfänger eintreffen.
Im Fall 1a) ruhender Empfänger B, bewegter Sender Q treffen diejenigen Wellen lotrecht beim Empfänger ein, die zum Zeitpunkt T=0 vom Sender emittiert werden, wenn der Empfänger also im 90°Winkel zum Empfänger steht. Das raumzeitliche Wellenereignis k von Q (T=0) zu B (T=10) ist eine Gerade auf der Z-Achse.
Im Fall 1b) (ich hoffe, jetzt verstehe ich Dich richtig, Erik) betrachten wir den gleichen Vorgang aus der Sicht von Q, also im Ruhesystem von Q. Für Q stellt sich die Situation so dar, dass B Q in diesem Augenblick T=0 mit v=2/3c passiert. Die Wellen, die das bewegte B schließlich erreichen werden, laufen in diesem Augenblick T=0 nicht seitlich, sondern nach "schräg hinten". Und zwar genau in die Richtung, in der sich B von Q aus gesehen befindet, wenn die Wellen B erreichen. Im euklidischen Koordinatensystem von Q wird der Auftreffenszeitpunkt T auch nicht 10 sein, sondern T=12.02. Aus Sicht von Q sind diese Wellen zum Zeitpunkt T=0 beim Auftreffen auf B nicht lotrecht, sondern bereits wieder merklich im rückwärtigen Dopplereffekt und entsprechend verlangsamt. Oder anders gesagt, Erik: Wenn wir die Situation 1a) (Ruhesystem B, raumzeitliches Ereignis ksteht lotrecht zur X-Achse) nehmen und eine Koordinatentransformation zwischen euklidischem B-System und schiefem Q-System vornehmen, stellt sich die Situation so dar wie oben beschrieben: das raumzeitliche Ereignis k steht jetzt schräg zur euklidischen X-Achse von Q. Spannend!
Aus Sicht eines ruhenden Senders (das ist mein Fall 3a) treffen diejenigen Wellen lotrecht beim Empfänger ein, die zum Zeitpunkt t=-10 losgeschickt werden. Diese Wellen breiten sich lotrecht im Ruhe-Koordinatensystem aus und treffen zum Zeitpunkt T=0 auf den bewegten Empfänger. (Und dann kommen auch die 40.268 hz zustande). Nur würden diese Wellen für den Empfänger nicht transversal, sondern schräg von vorne kommen und damit erhöht sein.
Soweit ist mir zumindest ein Teil der Problematik klar. Für die SRT muss ich das noch mal in Ruhe durchrechnen, hab aber leider gerade was anderes zu tun. Ein interessanter Punkt bleibt auf alle Fälle, den ich demnächst noch mal einzeln erläutere: Für die LET, die von der Existenz eines Äthers ausgeht, gelten die von mir hier der SRT unterstellten Paradoxien. Bzw: wenn es einen Äther gibt, kann man empirisch ausprobieren, welches der Ruhesysteme dasjenige des Äthers ist. Das bedeutet doch zumindest schon mal, dass die LET gegen die SRT empirisch testbar ist. ES KANN NUR EINE GEBEN! 
Erst mal viele Grüße allerseits
Jan |
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Erik
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| Verfasst am: 03.09.2009, 12:48 Titel: Re: Paradoxon 1/2 |
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Ich denke, jetzt hast du's. Die einzelnen Zeitpunkte, von denen Du sprichst habe ich jetzt aber
nicht verifiziert, weil sie eigentlich unerheblich sind. Noch ein paar Kommentare hierzu:
| Jan hat Folgendes geschrieben: |
Vorab eine Anmerkung: wie in dem zitierten Wikipedia-Artikel stand, werden Ruhesystem und bewegtes System der normalen SRT in euklidisches und schiefwinkliges Koordinatensystem im Minkowski-Raum übertragen. Und Inertialsystem ist nur die amtliche Bezeichnung für Ruhesystem. Insofern glaube ich nicht, dass mir da was durcheinandergeht. Aber da kommts im Augenblick ja nicht drauf an.
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Inertialsystem heißen alle Systeme, die über Lorentz-Trafo zusammenhängen und in denen kräftefreie Körper
Geraden durchlaufen. Auch das von dir als "schiefwinklig" bezeichnete System ist ein Inertialsystem. Es
ist übrigens nicht wirklich schief im Sinne der Minkowski-Geometrie, sondern sieht nur auf dem Papier so
aus. Auch sind beide Systeme nicht "euklidisch". Euklidisch sind jeweils nur die Unterräume mit x,y,z.
| Zitat: |
Soweit ist mir zumindest ein Teil der Problematik klar. Für die SRT muss ich das noch mal in Ruhe
durchrechnen,
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Dieselbe Situation vom B-System ins Q-System zu übertragen, ist überhaupt nicht schwierig. Wir müssen
nur den Vektor k, der bzgl. des B-Systems die Komponenten $ k=(\omega_B, \omega_B \vec{n}_B) $
hat, im Q-System ausdrücken. Das geht explizit mit einem Lorentz-Boost mit
Geschwindigkeit $ \vec{v}_Q $. Da $ \vec{v}_Q $ orthogonal zu $ \vec{n}_B $, ist das eine recht einfache
Übung, da die meisten Terme verschwinden.
Ergebnis: $ k = [\gamma \omega_B, \omega_B(\vec{n}_B -\gamma\vec{v}_Q ) ] $
Die 0-Komponente dieses Vektors ist definitionsgemäß die Frequenz, die Q mißt. Also
\[ \omega_Q = \gamma\omega_B, \]
genau wie vorher. Wenn du auf die Orthogonalität von $ n_B $ und $ v_Q $ verzichtest, hast du übrigens eine alternative
Herleitung der allgemeinen Doppler-Formel, mit Winkel und allem.
| Zitat: |
Ein interessanter Punkt bleibt auf alle Fälle, den ich demnächst noch mal einzeln erläutere: Für die LET, die von der Existenz eines Äthers ausgeht, gelten die von mir hier der SRT unterstellten Paradoxien. Bzw: wenn es einen Äther gibt, kann man empirisch ausprobieren, welches der Ruhesysteme dasjenige des Äthers ist.
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Denke ich nicht. Dort sind alle Effekte, wie Aberration, relative Gleichzeitigkeit etc.
doch dieselben. |
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Jan
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| Verfasst am: 06.09.2009, 23:26 Titel: Kleiner Tip gebraucht. |
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Hallo Erik,
leider hatte ich die letzten (und auch die kommenden Tage) wenig Zeit, aber ich würde gerne noch mal rechnerisch nachvollziehen, aufgrund welcher einzelnen Schritte Empfänger B seine Frequenz mißt, wenn die Radiowellen bei ihm einlaufen, unter der Voraussetzung, dass Sender Q als im Ruhesystem ruhend betrachtet und B als bewegt aufgefaßt wird. Wobei ich aufgrund Deiner Hinweise ja erkannt habe, dass dies keine transversale Dopplersituation ist: Uns interessieren die Wellen, die der als ruhend aufgefaßte Sender Q in dem Moment t=0 aussendet, in dem Raumschiff B in 3 Mio. km Entfernung vorbeifliegt - die Wellen, die bei Raumschiff B ankommen werden, laufen B hinterher, um von schräg hinten bei B einzutreffen und dort gemessen zu werden.
Deiner Formel nach soll diese Frequenz im Endeffekt  betragen. Wobei ich den davorstehenden Satz nicht verstehe:
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Die 0-Komponente dieses Vektors ist definitionsgemäß die Frequenz, die Q mißt. Also |
Q ist ja weiterhin der Sender, B weiterhin der Empfänger. Also mißt Q doch gar nicht, der sendet nur. Was uns interessiert, ist doch die Frequenz, die B mißt - nur unter der Voraussetzung berechnet, das wir die ganze Sache mit Q als im Ruhesystem ruhend auffassen. Hattest Du das so gemeint, oder noch was anderes? (Dass Q seine eigene Frequenz als 30.000 hz messen wird, ist wirklich trivial). Gefragt ist nach der Frequenz f(B)bew=f(Q)ruh*xy. Einfaches Umstellen Deiner Formel ergibt f(B)bew=f(Q)/g - naja, das wären die schon häufiger aufgetauchten 40.268 hz. Davon hast Du mich ja selbst überzeugt, das dies im vorliegenden Fall nicht rauskommen kann.
Ich habe mir dazu den Artikel zum Lorentz-Boost angesehen, muss aber leider sagen, dass ich zu ungeübt in Mathematik bin, um da wirklich durchzusteigen. Auch wenn es nicht so irre schwer aussieht - da bin ich nicht genug drin. Also würde ich es gerne mal Schritt für Schritt durchrechnen - dann verstehe ich zumindest am Ende besser, was ein Lorentz-Boost so tut.
Ich denke, folgende Fakten sind gegeben: Raumschiff Q ruht und sendet seine Radiowellen mit 30.000 hz in "seinem" Ruhesystem aus. Raumschiff B kommt angedüst und kreuzt Raumschiff Q zum Zeitpunkt t=0 transversal in einer Entfernung von 3 Mio. km (10 Lichtsekunden). Die zum Zeitpunkt t=0 ausgesandten Radiowellen, die Raumschiff B letztendlich erreichen werden, laufen von Raumschiff Q aus seitlich "hinter Raumschiff B her". Dabei unterliegen sie einem halblongitudinalen Dopplereffekt, der zu einer "Verdünnung" und damit Erniedrigung der gemessenen Frequenz beim Auftreffen auf Raumschiff B führen wird. Da Raumschiff B sich im Ruhesystem von Q bewegt, ist seine Eigenzeit dilatiert - das führt dazu, dass der Messvorgang der Radiowellen (1 Sekunde in Eigenzeit) sich um den Faktor /g verlängert. Die Formel zur Berechnung der bei B gemessenen Zeit hat also die folgende Form: f(B)bew=f(Q)ruh*"Dopplerverdünnung"/g.
Woran es bei mir noch hapert, ist die Frage, mit welcher Geschwindigkeit sich Raumschiff B im Ruhesystem von Q bewegt. Davon hängt ab, mit welchem Winkel die Wellen von Q auf B auftreffen. Kann ich einfach davon ausgehen, dass auch Raumschiff B sich mit 200.000 km/s bewegt? Oder muss ich bei der Transformation der Koordinatensysteme (von B nach Q) in Rechnung stellen, dass "aus Sicht von Raumschiff Q" die Entfernungen in x-Richtung dilatiert erscheinen? Und hätte Raumschiff B dann eine höhere (200.000 /g) oder niedrigere Geschwindigkeit (200.000 *g)? Finde ich gerade echt verwirrend. Ein klärendes Wort wäre schön, dann werde ich in den nächsten Tagen die Sache mal vorrechnen.
Viele Grüße allerseits
Jan |
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 08.09.2009, 13:18 Titel: Re: Kleiner Tip gebraucht. |
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| Jan hat Folgendes geschrieben: | Hallo Erik,
leider hatte ich die letzten (und auch die kommenden Tage) wenig Zeit, aber ich würde gerne noch mal rechnerisch nachvollziehen, aufgrund welcher einzelnen Schritte Empfänger B seine Frequenz mißt, wenn die Radiowellen bei ihm einlaufen, unter der Voraussetzung, dass Sender Q als im Ruhesystem ruhend betrachtet und B als bewegt aufgefaßt wird. Wobei ich aufgrund Deiner Hinweise ja erkannt habe, dass dies keine transversale Dopplersituation ist: Uns interessieren die Wellen, die der als ruhend aufgefaßte Sender Q in dem Moment t=0 aussendet, in dem Raumschiff B in 3 Mio. km Entfernung vorbeifliegt - die Wellen, die bei Raumschiff B ankommen werden, laufen B hinterher, um von schräg hinten bei B einzutreffen und dort gemessen zu werden.
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\(\parindent 0pt
Wir sollten uns vielleicht auf die wesentlichen Größen konzentrieren. Entfernung und Emissionszeitpunkt spielen keine Rolle. Ich betone nochmal, daß es der RT egal ist in welchem IS du etwas ausrechnest, vorausgesetzt du änderst nicht die Situation implizit ab.
Wenn du die Situation im Ruhesystem von Q ausrechnen willst, brauchst du nichts weiter zu tun als den Vektor
\[
k = \omega_B(u_B + n_B)
\]
in diesem System darzustellen. Hier nochmal ein Rechenweg ohne Lorentz-Transformation. Sie ist m.E. recht ausführlich. Es wäre schön, wenn du einfach sagst wo du nicht mehr mitkommst.
\)
\(\parindent 0pt
$u_B$ ist einfach: Im Ruhesystem von Q hat es die Form
\[
u_B=(\gamma, \gamma \vec{v}_B),
\]
wobei $\vec{v}_B$ die von Q gemessene Geschwindigkeit von B ist.
Der Vektor $n_B = (n^0_B, \vec{n}_B)$ ist aus dem 3-Raum von B, steht also orthogonal zu dessen 4-Geschwindigkeit, weshalb
\[0= g(n_B, u_B) = \gamma( n_B^0 - \vec{n}_B\cdot\vec{v}_B)\]
bzw.
\[ n_B = (\vec{n}_B\cdot\vec{v}_B, \vec{n}_B)\]
\)
\(\parindent 0pt
Weiterhin wissen wir von $n_{B}$ nur welchen Winkel es mit der von B gemessenen Geschwindigkeit von Q einschließt. Wir nehmen zunächst den allgemeinen Fall und spezialisieren später auf $\phi_{B} = 90°$
\[
-g(v_Q, n_B) = v \cos\phi_B,
\]
wobei $v = |v_Q| = |v_B|$ ist. (Dies beantwortet deine Frage weiter unten.) Nun müssen wir also die von B gemessene Geschwindigkeit von Q im Ruhesystem von Q ausdrücken. Das ist etwas pervers und man sieht daran, daß das Ruhesystem eben nicht optimal gewählt ist. In einer Gl., in der sich die meisten Meßgrößen auf B beziehen, sollte man, wenn überhaupt, eben vorzugsweise B als ruhend wählen.
\)
\(\parindent 0pt
Um $v_Q$ im Q-System zu bestimmen, kann man nun entweder den Vektor $(0, \vec{v}_Q)$ einer LT unterziehen oder einfach die Beziehung
\[ u_Q = \gamma( u_B + v_Q)\]
benutzen, aus der folgt
\[ v_Q = \frac{u_Q}{\gamma} - u_B.\]
Wegen $u_Q = (1, \vec{0})$ im Q-System, bedeutet das
\[ v_Q = (1/\gamma - \gamma, - \gamma\vec{v}_B) = (-v²\gamma, -\gamma\vec{v}_B).\]
Damit erhalten wir
\[ v\cos\phi_B = v²\gamma n^0_B - \gamma\vec{v}_B\cdot\vec{n}_B = -\frac{\vec{v}_B\cdot\vec{n}_B}{\gamma}\]
\)
\(\parindent 0pt
Nun sind wir fertig:
\[
k = \omega_B\left[ (\gamma, \gamma\vec{v}_B) + ( \vec{n}_B\cdot\vec{v}_B, \vec{n}_B) \right]
\]
Damit ist die Frequenz, die jeder im Q-System ruhende Beobachter mißt, die 0-Komponente von $k$ im Q-System, also
\[ k^0\equiv \omega_Q = \omega_B\gamma + \omega_B\vec{n}_B\cdot\vec{v}_B
= \omega_B\gamma - \omega_B\gamma v \cos\phi_B.
\]
Transversal (für B) bedeutet $\phi_B = 90°$, mit der Konsequenz $\vec{v}_B\cdot\vec{n}_B = 0$, $n_B = (0, \vec{n}_B)$ und
\[ \omega_Q = \gamma\omega_B.\]
\)
| Zitat: |
Deiner Formel nach soll diese Frequenz im Endeffekt betragen. Wobei ich den davorstehenden Satz nicht verstehe:
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Die 0-Komponente dieses Vektors ist definitionsgemäß die Frequenz, die Q mißt. Also |
Q ist ja weiterhin der Sender, B weiterhin der Empfänger. Also mißt Q doch gar nicht, der sendet nur.
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Es spielt keine Rolle, wer sendet. Es gibt eine Welle (mit definiertem Wellenvektor) und zwei relativ zueinander bewegte Beobachter, die die Frequenz dieser Welle messen.
| Zitat: |
(Dass Q seine eigene Frequenz als 30.000 hz messen wird, ist wirklich trivial). Gefragt ist nach der Frequenz f(B)bew=f(Q)ruh*xy. Einfaches Umstellen Deiner Formel ergibt f(B)bew=f(Q)/g - naja, das wären die schon häufiger aufgetauchten 40.268 hz. Davon hast Du mich ja selbst überzeugt, das dies im vorliegenden Fall nicht rauskommen kann.
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Hier liegt immer noch irgendein Denkfehler vor: In meiner Formel ist f(Q) = 30000 Hz und f(B) = 22.350 Hz. Durch Umstellen ändert sich dies nicht.
| Zitat: |
Ich denke, folgende Fakten sind gegeben: Raumschiff Q ruht und sendet seine Radiowellen mit 30.000 hz in "seinem" Ruhesystem aus. Raumschiff B kommt angedüst und kreuzt Raumschiff Q zum Zeitpunkt t=0 transversal in einer Entfernung von 3 Mio. km (10 Lichtsekunden).
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Das war IMHO nicht die ursprüngliche Situation. Es sollte IIRC Q aus der Sicht von B transversal zum Lichtstrahl sein, nicht umgekehrt. Leider geht für mich das wesentliche an der Situation immer in deiner umständlichen Beschreibung unter. Es reicht, wenn du genau die Antworten auf die Fragen 1) -3) angibst. Dann ist die Situation eigentlich klar.
| Zitat: |
Woran es bei mir noch hapert, ist die Frage, mit welcher Geschwindigkeit sich Raumschiff B im Ruhesystem von Q bewegt. Davon hängt ab, mit welchem Winkel die Wellen von Q auf B auftreffen. Kann ich einfach davon ausgehen, dass auch Raumschiff B sich mit 200.000 km/s bewegt? |
Aber klar. Der Betrag der Relativgeschwindigkeit ist für beide Beobachter gleich. Schon wegen des Relativitätsprinzips. Die Richtung ist natürlich eine Frage der Achsenorientierung. |
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Jan
Anmeldedatum: 05.12.2007
Beiträge: 155
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| Verfasst am: 09.09.2009, 13:05 Titel: Durchgerechnet: Auch hier kein Widerspruch! |
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Hallo Erik,
erst mal vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Ich fange mal von hinten an.
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Aber klar. Der Betrag der Relativgeschwindigkeit ist für beide Beobachter gleich. Schon wegen des Relativitätsprinzips. Die Richtung ist natürlich eine Frage der Achsenorientierung. |
Das ist doch mal ein Wort. Kam mir eigentlich auch so vor.
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Hier liegt immer noch irgendein Denkfehler vor: In meiner Formel ist f(Q) = 30000 Hz und f(B) = 22.350 Hz. Durch Umstellen ändert sich dies nicht. |
Genau, und gamma (g)=0.745. Du erhälst als Endergebnis Deiner Umformungen f(Q)=g*f(B). Oder? Nun ist 0.745*22.350=16.651, und das ist definitiv ungleich 30.000. Wenn Deine Formel stimmt, müssen entweder f(Q) oder f(B) einen anderen Wert haben. Da bei dieser Berechnung Q als im Ruhesystem ruhend vorausgesetzt wird, ist unbestreitbar, dass f(Q)=30.000 Hz. Also müsste f(B) einen anderen Wert annehmen, um die Formel 30.000=0.745*xy zu erfüllen. Einfaches Auflösen nach f(B) ergibt: f(B)=30.000 * (1/0.745)=40.268.
Das bedeutet: falls Deine Umformung richtig wäre, würde unter der Bedingung "Q im Ruhesystem" die von B gemessene Frequenz 40.268 Hz betragen, während sie unter der Bedingung "B im Ruhesystem" 22.350 Hz betragen würde. Damit würde sich genau der ursprünglich von mir behauptete Widerspruch bestätigen: in Abhängigkeit vom Ruhesystem berechnet man mit der SRT unterschiedliche Ergebnisse für die bei B gemessene Frequenz. Und die SRT kann nicht angeben, welche dieser beiden Frequenzen die "wahre" ist, weil ja beide aufgrund des Relativprinzips die gleiche Berechtigung haben. Beide sind sozusagen legitime Teilwirklichkeiten der gesamten Raumzeitlichen Wirklichkeit.
So, jetzt noch zu Deinem ersten Teil. Ich würde das ja gerne genauer nachvollziehen, aber ich stolpere schon bei der ersten Formel (leider nicht rauskopierbar, daher hier "latinisiert":
k=wB(uB+nB)
Tja. Mir ist hier schon der Zusammenhang zwischen Deinen griechischen Buchstaben und meiner Beschreibung nicht klar. Und ich weiß auch nicht mehr genau, wie man Vektoren amtlich darstellt. Aber erwarten würde ich etwas in der folgenden Art. Wir haben ein dreidimensionales Koordinatensystem mit den Achsen x, t, z. Eine Einheit für x und z entspricht 300.000 km, eine Einheit für t entspricht 1 sec.
k ist im Ruhesystem von B ein Vektor, der von t=0 zu t=10 und von (sagen wir) z=-10 zu z=0 reicht, während x (sagen wir 0) unverändert bleibt. Der Vektor lautet also (0, 10, 10). Über diesen Vektor wird eine Frequenz transportiert, die von Q ausgesandt wird. Da Q im Ruhesystem von B eine dilatierte Eigenzeit aufweist, beträgt die von Q ausgestrahlte Frequenz im Ruhesystem von B f(Q)*g (also 30.000 * 0.745 = 22.350). Eigentlich müsste man jeder einzelnen der 22.350 Wellen im Messzeitraum von B (1 Sekunde Messdauer) einen eigenen Vektor verpassen. Wenn B sinnvollerweise 0.5 sec vor dem Transversal-Vorbeiflug von Q zu messen beginnt und 0.5 sec danach wieder aufhört, dann müsste von der Zeit t=-0,5 bis t=+0,5 jede einzelne Welle mit einem Vektor eingezeichnet werden. Wir hätten dann ein Bündel von 22.350 Vektoren, die zwischen t=9,5 und t=10,5 bei B auflaufen und ausgezählt würden. Das Ereignis k besteht aus diesen 22.350 Einzelvektoren.
[Nebenbei: da es sich um eine Welle, also eine zeitlich ausgedehnte Sinus-Schwingung handelt, würde tatsächlich eine einzige Welle genügen, um ihre Frequenz zu bestimmen: eine Radiowelle erzeugt in der entsprechenden Antenne einen Wechselstrom, dessen Flussrichtung mit positivem und negativem Wellenbauch korrespondiert. Es wäre für B also auch möglich, die Zeitdauer einer einzigen Welle zu messen. Die würde hier 1/22.350 sec. betragen. Das heißt, wenn wir k als dieses einzige Ereignis auffassen, hätte k die Form (0,10,10) und die Zeitdauer td= 1/22.350 sec]
Wenn wir jetzt den Perspektivwechsel vornehmen und das vom B gemessene Vektorbündel k aus der Sicht von "Q als im Ruhesystem ruhend" betrachten, ändern sich die folgenden Dinge: Q sendet mit 30.000 hz; eine einzelne Radiowelle hat die zeitliche Ausdehnung von 1/30.000 sec. Die Eigenzeit von B und damit die Dauer des Messvorgangs ist um den Faktor g=0.745 dilatiert; B wird also in der Ruhesystemzeit von Q für die Dauer von 1.34 sec einlaufende Wellen auszählen. [Bzw. die Zeitdauer einer einzelnen eingehenden Welle um den Faktor 1/g kürzer messen]. Da B sich zum Zeitpunkt t=0 bereits auf einer Höhe (transversal) mit Q befindet und sich mit v=200.000 km in x-Richtung weiterbewegt, treffen die Wellen von Q schräg von hinten auf Raumschiff B auf.
Die Berechnung des neuen raumzeitlichen Vektors ist einfach (ich vermute, dass ich jetzt etwas ähnliches tue wie Du): Wir wissen, dass der Vektor im Ruhesystem von B den Wert x, t, z von (0, 10, 10) hatte. Im Ruhesystem von Q ist die Eigenzeit von B dilatiert. Die Zeitdauer von 10 sec. im Ruhesystem von B beträgt im Ruhesystem von Q t*1/g, also 13,42 sec.
t(Vektor Q ruh)=t(Vektor B ruh)*1/g
Da sich Licht immer mit 300.000 km/s fortbewegt, kennen wir auch die Gesamtlänge des Vektors (4.026.846 km). Der zu überbrückende Abstand auf der z-Achse bleibt gleich (3.000.000 km=10 Einheiten im Koordinatensystem).
z(Vektor Q ruh)=z(Vektor B ruh)
Die Strecke, die der Vektor jetzt über die X-Achse ausgedehnt ist, ergibt sich aus (Pythagoras)
x=sqrt(t^2-z^2)
zu 8,95 Einheiten von 300.000 km. Gegenprobe: genau diese Strecke legt Raumschiff B bei 200.000 km/s in 13,42 sec auf der x-Achse zurück. Der neue Vektor im Ruhesystem von Q hat also die Ausprägung
(8,95; 13,43; 10) bei einer Einzelschwingungsdauer td = 1/30.000
Das Verhältnis zwischen dem k-Vektor (als Hypothenuse) und dem Vektor des Raumschiffs B (8,95; 13,43, 0) als Ankathede (und damit dem Cos des eingeschlossenen Winkels a) ergibt sich zu (Ankathede / Hypothenuse): 8,95 /13,43=0.6667. Das Verhältnis entspricht (bzw. ist identisch mit) v/c (hier 2/3), ist aber immer positiv:
cos a=x/t = |v/c|
Damit können wir den "schrägen" Dopplereffekt berechnen: Raumschiff B erreichen die einzelnen Wellen des Vektorbündels k mit der Frequenz
(1+((v/c)*(cos a))) = 1+(v/c)*|(v/c)|
wobei hier die Bewegung von B auf der X-Achse als negative Geschwindigkeit aufzufassen ist, also als -v. Ergibt den Faktor:
1+((-2/3)*|2/3|)= 1- 0,444 = 0,556. Naaa, da sieht man doch schon, wo das wieder drauf hinausläuft.
Letzter Faktor: Die Eigenzeit, damit die Messzeit und damit die aufgenommenen Frequenzen in B sind um den Faktor /g mit g=sqrt(1-v/c) erhöht. Damit ergibt sich jetzt endlich der richtige Term:
f(B bew)=f(Q ruh) * (1+(v/c)*|v/c|)/sqrt(1-v^2/c)
bei gegebenem c=1 vereinfacht sich das zu
f(B bew)=f(Q ruh) * (1+((v)*|v|))/sqrt(1-v^2)
Für den vorliegenden Fall, dass v ein negatives Vorzeichen hat, ergibt sich nach einigen leicht fasslichen Umformungen (hüstel) jedenfalls
f(B bew)=f(Q ruh)* sqrt(1-v^2) bzw. f(Q ruh)*g
Also:
f(B bew)=30.000 * 0.745=22.350.
Das (und nur genau das Ergebnis, Dietmar) ist nun tatsächlich mit der SRT vereinbar: egal ob B oder Q als bewegt aufgefaßt werden, in beiden Fällen wird B die Frequenz von 22.350 Hz messen. Wenn B als ruhend aufgefaßt wird: weil die Frequenz von Q durch dessen Zeitdilatation um den Faktor g erniedrigt ist. Wenn Q als ruhend aufgefaßt wird: Weil die Frequenz von Q normal und die Messdauer (und damit die aufgezeichnete Anzahl von Wellen) von B um den Faktor /g erhöht ist, weil aber durch die Bewegung von B schräg zu den Radiowellen von Q ein gegenläufiger Dopplereffekt auftritt, der genau die Größe von g^2 aufweist. Bleibt am Ende wieder g übrig.
Also: kein Widerspruch; und die LET würde genau das Gleiche rausbekommen. Kann man also mal wieder nix draus machen!
Erik, leider verstehe ich Deine griechischen Formeln zu wenig, um sagen zu können, wo Dein Fehler liegt. Ich hoffe nur, dass ich mich auf meine amateurhafte Art und Weise deutlich genug ausgedrückt habe, um klarzumachen, wie diese Berechnung richtig durchgeführt wird (zumindest führt sie zum einzig richtigen Ergebnis für die SRT).
Insgesamt war das jedenfalls eine interessante Übung im relativistischen Dopplereffekt. Man kann durchaus die Frequenzen aus der Sicht von B und Q getrennt ausrechnen. Und meine ursprüngliche These hat sich bestätigt, dass ein bewegter Empfänger einlaufende Frequenzen als erhöht (/g) registriert. Was ich nicht bedacht hatte (Danke, Erik!), war der Umstand, dass ein bewegter Empfänger (im vorliegenden Paradigma) einem gegenläufigen Dopplereffekt unterliegt, der das quadrierte Ausmass von g beträgt. Und damit beträgt in der Summe aller Faktoren die letztlich gemessene Frequenz wieder F(Q)*g. Immerhin ein Umstand, der in den hier im Forum zu Rate gezogenen Physikbüchern nicht erläutert wurde. Wieder was gelernt!
Viele Grüße allerseits
Jan |
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Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
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| Verfasst am: 09.09.2009, 17:49 Titel: Re: Durchgerechnet: Auch hier kein Widerspruch! |
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| Jan hat Folgendes geschrieben: | Hallo Erik,
erst mal vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Ich fange mal von hinten an.
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Aber klar. Der Betrag der Relativgeschwindigkeit ist für beide Beobachter gleich. Schon wegen des Relativitätsprinzips. Die Richtung ist natürlich eine Frage der Achsenorientierung. |
Das ist doch mal ein Wort. Kam mir eigentlich auch so vor.
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Hier liegt immer noch irgendein Denkfehler vor: In meiner Formel ist f(Q) = 30000 Hz und f(B) = 22.350 Hz. Durch Umstellen ändert sich dies nicht. |
Genau, und gamma (g)=0.745.
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Bei mir ist
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v²}} \]
die übliche Bezeichnung für den bekannten relativistischen Parameter. Der ist niemals kleiner 1. Du bringst gamma und seinen Kehrwert durcheinander.
Es ist $ 30000 Hz = f(Q) = \gamma f(B) = 1/0.745* 22350 Hz $.
| Zitat: |
Du erhälst als Endergebnis Deiner Umformungen f(Q)=g*f(B). Oder?
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Ja.
| Zitat: |
Nun ist 0.745*22.350=16.651, und das ist definitiv ungleich 30.000. Wenn Deine Formel stimmt, müssen entweder f(Q) oder f(B) einen anderen Wert haben.
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Oder gamma.
| Zitat: |
Da bei dieser Berechnung Q als im Ruhesystem ruhend vorausgesetzt wird, ist unbestreitbar, dass f(Q)=30.000 Hz.
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Bitte versuche zu verstehen, daß die Aussage f(Q) = 30000 Hz nicht das geringste damit zu tun hat, wen du als "im Ruhesystem ruhend" voraussetzt.
| Zitat: |
Also müsste f(B) einen anderen Wert annehmen, um die Formel 30.000=0.745*xy zu erfüllen. Einfaches Auflösen nach f(B) ergibt: f(B)=30.000 * (1/0.745)=40.268.
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Nein. f(B) = 0.745*30000 Hz = 22350 Hz, genau wie oben.
| Zitat: |
Das bedeutet: falls Deine Umformung richtig wäre, würde unter der Bedingung "Q im Ruhesystem" die von B gemessene Frequenz 40.268 Hz betragen, während sie unter der Bedingung "B im Ruhesystem" 22.350 Hz betragen würde. Damit würde sich genau der ursprünglich von mir behauptete Widerspruch bestätigen: in Abhängigkeit vom Ruhesystem berechnet man mit der SRT unterschiedliche Ergebnisse für die bei B gemessene Frequenz. Und die SRT kann nicht angeben, welche dieser beiden Frequenzen die "wahre" ist, weil ja beide aufgrund des Relativprinzips die gleiche Berechtigung haben. Beide sind sozusagen legitime Teilwirklichkeiten der gesamten Raumzeitlichen Wirklichkeit.
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Das hat sich hoffentlich jetzt schon erledigt. Meine Rechnung ist widerspruchsfrei. Ich habe ja auch schon mehrfach vorgerechnet, wie man zwischen dem Standpunkt von B und Q wechselt und daß das formal äquivalent ist zum Umstellen der Formel.
| Zitat: |
So, jetzt noch zu Deinem ersten Teil. Ich würde das ja gerne genauer nachvollziehen, aber ich stolpere schon bei der ersten Formel (leider nicht rauskopierbar, daher hier "latinisiert":
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Du mußt nichts kopieren. Du kannst einfach zitieren, wenn du die ltex-Tags wiederherstellst.
| Zitat: |
k=wB(uB+nB)
Tja. Mir ist hier schon der Zusammenhang zwischen Deinen griechischen Buchstaben und meiner Beschreibung nicht klar.
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k ist ein lichtartiger Vektor. Im B-System hat er die Form
\[
(\omega_B, \omega_B\vec{n}_B) = \omega_B[ \underbrace{(1,\vec{0})}_{=u_B} + \underbrace{(0, \vec{n}_B)}_{=n_B}],
\]
wobei $ \vec{n}_B $ auf 1 normiert, die Ausbreitungsrichtung gemessen von B ist und $ \omega_B $ die (Kreis-) Frequenz (bei dir f(B), bei mir aus Gewohnheit eben $ \omega_B $.) Die Formel oben drückt das nur Koordinatenunabhängig aus und gilt deshalb in jedem Koordinatensystem. Nur die Komponenten der beteiligten Vektoren hängen vom KS ab.
| Zitat: |
Und ich weiß auch nicht mehr genau, wie man Vektoren amtlich darstellt. Aber erwarten würde ich etwas in der folgenden Art. Wir haben ein dreidimensionales Koordinatensystem mit den Achsen x, t, z. Eine Einheit für x und z entspricht 300.000 km, eine Einheit für t entspricht 1 sec.
k ist im Ruhesystem von B ein Vektor, der von t=0 zu t=10 und von (sagen wir) z=-10 zu z=0 reicht, während x (sagen wir 0) unverändert bleibt. Der Vektor lautet also (0, 10, 10).
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Bis auf die Zahlenwerte richtig. Natürlich ist in unserem Bsp. im B-System k=(0, 22350, 22350).
| Zitat: |
Über diesen Vektor wird eine Frequenz transportiert, die von Q ausgesandt wird. Da Q im Ruhesystem von B eine dilatierte Eigenzeit aufweist, beträgt die von Q ausgestrahlte Frequenz im Ruhesystem von B f(Q)*g (also 30.000 * 0.745 = 22.350).
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Das ist übrigens genau dieselbe Formel, die ich abgeleitet habe, nur gamma hat bei mir die übliche Bedeutung.
| Zitat: |
Eigentlich müsste man jeder einzelnen der 22.350 Wellen im Messzeitraum von B (1 Sekunde Messdauer) einen eigenen Vektor verpassen.
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Nein, Vektoren kann man frei in der Raumzeit verschieben. Zu einer ebenen monochromatischen Welle gehört nur ein k.
| Zitat: |
Wenn B sinnvollerweise 0.5 sec vor dem Transversal-Vorbeiflug von Q zu messen beginnt und 0.5 sec danach wieder aufhört, dann müsste von der Zeit t=-0,5 bis t=+0,5 jede einzelne Welle mit einem Vektor eingezeichnet werden. Wir hätten dann ein Bündel von 22.350 Vektoren, die zwischen t=9,5 und t=10,5 bei B auflaufen und ausgezählt würden. Das Ereignis k besteht aus diesen 22.350 Einzelvektoren.
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Braucht man nicht. Wir hatten uns ja ohnehin schon auf die Näherung mit ebenen Wellen beschränkt.
| Zitat: |
Wenn wir jetzt den Perspektivwechsel vornehmen und das vom B gemessene Vektorbündel k aus der Sicht von "Q als im Ruhesystem ruhend" betrachten, ändern sich die folgenden Dinge: Q sendet mit 30.000 hz;
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Wieso ändert sich das? War vorher genauso.
| Zitat: |
eine einzelne Radiowelle hat die zeitliche Ausdehnung von 1/30.000 sec. Die Eigenzeit von B und damit die Dauer des Messvorgangs ist um den Faktor g=0.745 dilatiert; B wird also in der Ruhesystemzeit von Q für die Dauer von 1.34 sec einlaufende Wellen auszählen. [Bzw. die Zeitdauer einer einzelnen eingehenden Welle um den Faktor 1/g kürzer messen]. Da B sich zum Zeitpunkt t=0 bereits auf einer Höhe (transversal) mit Q befindet und sich mit v=200.000 km in x-Richtung weiterbewegt, treffen die Wellen von Q schräg von hinten auf Raumschiff B auf.
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Hört sich so an, als bewege sich B transversal für Q (da du ja im Q-System bist). Es war aber umgekehrt Q transversal aus Sicht von B. Im Q-System ist das anders. Allerdings scheinst du das unten wieder hingebogen zu haben.
| Zitat: |
Die Berechnung des neuen raumzeitlichen Vektors ist einfach (ich vermute, dass ich jetzt etwas ähnliches tue wie Du): Wir wissen, dass der Vektor im Ruhesystem von B den Wert x, t, z von (0, 10, 10) hatte. Im Ruhesystem von Q ist die Eigenzeit von B dilatiert. Die Zeitdauer von 10 sec. im Ruhesystem von B beträgt im Ruhesystem von Q t*1/g, also 13,42 sec.
t(Vektor Q ruh)=t(Vektor B ruh)*1/g
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Dieser Zusammenhang gilt nur, wenn v_Q orthogonal zu n_B. Ist also hier zufälligerweise richtig. Dein Argument mit der Zeitdilatation ist deshalb falsch (die ist ja unabhängig vom Winkel). Du bekommst t(Vektor Q ruh) im allgemeinen durch Lorentztransformation (die im Gegensatz zur ZD vom Winkel abhängt) vom B System ins Q-System. Dann hängt i.a. t(Vektor Q ruh) auch von x(Vektor B ruh) und v_Q ab.
| Zitat: |
Da sich Licht immer mit 300.000 km/s fortbewegt, kennen wir auch die Gesamtlänge des Vektors (4.026.846 km). Der zu überbrückende Abstand auf der z-Achse bleibt gleich (3.000.000 km=10 Einheiten im Koordinatensystem).
z(Vektor Q ruh)=z(Vektor B ruh)
Die Strecke, die der Vektor jetzt über die X-Achse ausgedehnt ist, ergibt sich aus (Pythagoras)
x=sqrt(t^2-z^2)
zu 8,95 Einheiten von 300.000 km. Gegenprobe: genau diese Strecke legt Raumschiff B bei 200.000 km/s in 13,42 sec auf der x-Achse zurück. Der neue Vektor im Ruhesystem von Q hat also die Ausprägung
(8,95; 13,43; 10) bei einer Einzelschwingungsdauer td = 1/30.000
Das Verhältnis zwischen dem k-Vektor (als Hypothenuse) und dem Vektor des Raumschiffs B (8,95; 13,43, 0) als Ankathede (und damit dem Cos des eingeschlossenen Winkels a) ergibt sich zu (Ankathede / Hypothenuse): 8,95 /13,43=0.6667. Das Verhältnis entspricht (bzw. ist identisch mit) v/c (hier 2/3), ist aber immer positiv:
cos a=x/t = |v/c|
|
Bis auf die Fehler oben, die sich nicht auswirken, bist du bis hierhin, sofern ich alles richtig verstanden habe, ziemlich nah an der korrekten Rechnung.
| Zitat: |
Damit können wir den "schrägen" Dopplereffekt berechnen: Raumschiff B erreichen die einzelnen Wellen des Vektorbündels k mit der Frequenz
(1+((v/c)*(cos a))) = 1+(v/c)*|(v/c)|
wobei hier die Bewegung von B auf der X-Achse als negative Geschwindigkeit aufzufassen ist, also als -v.
|
Diese Formel ist allerdings falsch. Der „schräge“ Dopplereffekt ergibt sich nach wie vor aus $ f(B) = f(Q)\gamma (1 - v \cos a) $. Wobei der Winkel a hier, wie es deine Rechnung auch unterstellt, von Q gemessen wird. (Daher der formale Rollentausch von B und Q.) Das gamma fehlt hier einfach. Ohne dies kannst du diesen Ausdruck nicht als „Frequenz, die B erreicht“ bezeichnen. Du versuchst wahrscheinlich den relativistischen Doppler-Effekt auf den nichtrelativistischen plus Zeitdilatation zurückzuführen. Das ist dann natürlich keine korrekte relativistische Rechnung mehr.
Auch das Vorzeichen ist falsch: v ist bereits der Betrag der Geschwindigkeit, welcher unabhängig von der Bewegungsrichtung ist. Diese Richtung ist allein durch den Winkel a gegeben.
| Zitat: |
Ergibt den Faktor:
1+((-2/3)*|2/3|)= 1- 0,444 = 0,556. Naaa, da sieht man doch schon, wo das wieder drauf hinausläuft.
Letzter Faktor: Die Eigenzeit, damit die Messzeit und damit die aufgenommenen Frequenzen in B sind um den Faktor /g mit g=sqrt(1-v/c) erhöht. Damit ergibt sich jetzt endlich der richtige Term:
[...]
Also:
f(B bew)=30.000 * 0.745=22.350.
Erik, leider verstehe ich Deine griechischen Formeln zu wenig, um sagen zu können, wo Dein Fehler liegt.
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Da liegt kein Fehler. Ich habe dasselbe Ergebnis wie du, allerdings ohne zwischenzeitiges Händewedeln, sondern mathematisch exakt.
| Zitat: |
Ich hoffe nur, dass ich mich auf meine amateurhafte Art und Weise deutlich genug ausgedrückt habe, um klarzumachen, wie diese Berechnung richtig durchgeführt wird (zumindest führt sie zum einzig richtigen Ergebnis für die SRT).
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Für den Anfang gar nicht schlecht, aber 100%ig richtig war es leider auch nicht. aber als Heuristik ist es vielleicht schon ok.
| Zitat: |
Insgesamt war das jedenfalls eine interessante Übung im relativistischen Dopplereffekt. Man kann durchaus die Frequenzen aus der Sicht von B und Q getrennt ausrechnen. Und meine ursprüngliche These hat sich bestätigt, dass ein bewegter Empfänger einlaufende Frequenzen als erhöht (/g) registriert. Was ich nicht bedacht hatte (Danke, Erik!), war der Umstand, dass ein bewegter Empfänger (im vorliegenden Paradigma) einem gegenläufigen Dopplereffekt unterliegt, der das quadrierte Ausmass von g beträgt. Und damit beträgt in der Summe aller Faktoren die letztlich gemessene Frequenz wieder F(Q)*g. Immerhin ein Umstand, der in den hier im Forum zu Rate gezogenen Physikbüchern nicht erläutert wurde. Wieder was gelernt!
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Vielleicht solltest du das Thema nicht zu früh abhaken. Was du nicht bedacht hattest, war Aberration. Dies lese ich aus diesem Fazit nicht heraus. |
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Jan
Anmeldedatum: 05.12.2007
Beiträge: 155
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| Verfasst am: 12.09.2009, 17:05 Titel: Oha! |
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Hallo allerseits,
hallo Erik, zuerst mal Dank für die aufmunternden Worte! Ich find gerade nicht die Zeit für eine ausführlichere Antwort, aber zumindest das Folgende möchte ich doch schon mal einräumen:
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Bei mir ist |
| Zitat: | die übliche Bezeichnung für den bekannten relativistischen Parameter. Der ist niemals kleiner 1. Du bringst gamma und seinen Kehrwert durcheinander.
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Ich habs noch mal nachgeguckt und allerdings festgestellt, dass ich mich mit dem gamma g verhauen habe. Sowas! Seit Jahren rechne ich frohgemut mit dem Kehrwert (bzw. dem Teil unter dem Bruchstrich) von g und merke es nicht - gut, dass Dir das mal aufgefallen ist. Dann hattest Du natürlich von Anfang an richtig gerechnet, und ich habe es jetzt noch mal hemdsärmelig nachvollzogen. Wobei ich da im Einzelnen noch die eine oder andere Nachfrage habe - braucht aber noch ein paar Tage. Ich möchte auch gerne noch eine Zusammenfassung (diesmal mit g in der richtigen Art und Weise) schreiben, damit der Sachverhalt möglichst an einer Stelle dokumentiert ist. Und dann müßte man mal gucken, ob daraus noch was Problematisches für die SRT zu stricken ist - ich bin einige Varianten im Kopf mal durchgegangen; ich glaube eher nicht. Wobei die Aberration wirklich eine seltsame Rolle beim Transversalen Dopplereffekt spielt. Könnten wir ja nochmal diskutieren.
Viele Grüße allerseits
Jan |
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