| Vorheriges Thema anzeigen :: Nächstes Thema anzeigen |
| Autor |
Nachricht |
achtphasen
Anmeldedatum: 20.10.2008
Beiträge: 848
|
 Verfasst am: 17.07.2009, 18:43 Titel: |
 |
|
An Erik und Ralf Kannenberg vielen Dank!
ich habe heute in diesem Thread sehr interessierende Information erhalten - ich werde frühestens morgen nachfragen - ganz verstanden/'gelernt' habe ich (noch) nicht.
Meine Analogien zu sich krümmenden Oberflächen erscheinen mir noch immer stimmig - doch will ich die Informationen zuerst verarbeiten, bevor ich hier nochmals nachhake.
Ich 'gestehe' gerne, zum ersten Mal über die Differenz zwischen 'innerer' und 'äusserer' Krümmung nachzudenken ... ich werde auf diesen Thread gerne zurückkommen. |
|
| Nach oben |
|
 |
ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 18:58 Titel: |
|
|
Sehr geehrter Herr Fasnacht,
ich gebe Ihnen dennoch die Übungsaufgabe jetzt schon mit.
Nehmen wir eine Kugeloberfläche (also ohne den Inhalt der Kugel); in erster Näherung können Sie sich da die Erdoberfläche vorstellen (natürlich ohne Berge und Täler).
Die Erdoberfläche ist zweidimensional, aber natürlich können Sie die ganze Erde und mit ihr auch deren Teilmenge der Erdoberfläche in einen grossen Würfel einbetten, dessen Durchmesser gerade der Erddurchmesser ist und dessen Mittelpunkt mit dem Erdmittelpunkt zusammenfällt.
Vorsicht: Ich habe nun drei Mengen beschrieben: Den Würfel, die Erdkugel und die Oberfläche dieser Erdkugel !
Nehmen wir nun die Metrik des Würfels, da ist alles euklidisch, Dreieck-Winkelsumme schön 180° wie wir das in der Schule gelernt haben usw.
Nun gehen wir auf der Erdoberfläche spazieren und fangen irgendwo am Äquator an. Gehen wir zum Nordpol; dort angekommen biegen Sie rechtwinklig (z.B. gegen den Uhrzeigersinn, also nach rechts, ab) und gehen wieder geradeaus weiter, bis Sie am Äquator ankommen. Dort biegen Sie wieder rechtwinklig ab, am einfachsten nach links und gehen wieder zum Ausgangspunkt zurück. Um auf den ersten Weg, also zum Nordpol zu gelangen, müssen Sie dann wieder nach links rechtwinklig abbiegen.
Diese Route ist ein grosses Dreieck auf der Erdoberfläche, doch Sie sind dreimal rechtwinklig abgebogen, also 270° ....... - also auch ohne Kenntnis von der Einbettung in den Würfel zu haben können Sie bemerken, dass irgendetwas nicht stimmt ......
Und das kommt von der Krümmung ! - Mit der rechtwinkligen Würfelmetrik sehen Sie das natürlich sofort, aber wenn Sie zum Fenster rausschauen, gibt es eben keinen solchen Würfel, in den die Erde eingebettet ist und anhand dem man sofort sehen würde, dass da was gekrümmt ist !
Wo ist nun die Aufgabe ? Nun - sie besteht nur darin, sich diese oben geschilderte Situation gut vorzustellen. Nehmen wir dabei der Einfachheit halber an, dass sich die Erde nicht dreht und auch nicht um die Sonne wandert.
Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg |
|
| Nach oben |
|
|
Orbit
Anmeldedatum: 29.09.2008
Beiträge: 1469
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 19:11 Titel: |
|
|
Ralf
Deine Erklärung ist wieder mal gut gemeint, aber in diesem Sinne einmal mehr, wie ich Dir auch schon erklärt habe, das Gegenteil von gut oder, nachdem Erik das bereits erklärt hat, zumindest überflüssig. Da ich gerade zusammen mit 'achtphasen' das lerne, was Du hier in eine Übung verpackst, beziehe ich es, obwohl Du 'achtphasen' ansprichst, auch auf mich.
Orbit |
|
| Nach oben |
|
|
achtphasen
Anmeldedatum: 20.10.2008
Beiträge: 848
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 19:15 Titel: |
|
|
Hallo Ralf Kannenberg
ein Teil unserer Diskussionsproblematik ist, dass Ihre Erkläuterungen an mich, mich gelegentlich als noch dümmer darstellen, als ich gelegentlich tatsächlich bin.
| ralfkannenberg hat Folgendes geschrieben: |
Nun gehen wir auf der Erdoberfläche spazieren und fangen irgendwo am Äquator an. Gehen wir zum Nordpol; dort angekommen biegen Sie rechtwinklig (z.B. gegen den Uhrzeigersinn, also nach rechts, ab) und gehen wieder geradeaus weiter, bis Sie am Äquator ankommen. Dort biegen Sie wieder rechtwinklig ab, am einfachsten nach links und gehen wieder zum Ausgangspunkt zurück. Um auf den ersten Weg, also zum Nordpol zu gelangen, müssen Sie dann wieder nach links rechtwinklig abbiegen.
Diese Route ist ein grosses Dreieck auf der Erdoberfläche, doch Sie sind dreimal rechtwinklig abgebogen, also 270° ....... - also auch ohne Kenntnis von der Einbettung in den Würfel zu haben können Sie bemerken, dass irgendetwas nicht stimmt ......
Und das kommt von der Krümmung ! - Mit der rechtwinkligen Würfelmetrik sehen Sie das natürlich sofort, aber wenn Sie zum Fenster rausschauen, gibt es eben keinen solchen Würfel, in den die Erde eingebettet ist und anhand dem man sofort sehen würde, dass da was gekrümmt ist !
Wo ist nun die Aufgabe ? Nun - sie besteht nur darin, sich diese oben geschilderte Situation gut vorzustellen. Nehmen wir dabei der Einfachheit halber an, dass sich die Erde nicht dreht und auch nicht um die Sonne wandert. |
Genau diese Vorstellung habe ich doch nun in eben diesem Thread anhand der Flachländer auf zu Kugel gekrümmter 2D-Welt mehrfach beschrieben. Die 2D-Fläche krümmt sich. Und sie krümmt sich in eine 2+1Dimensionalität hinein!
Zudem haben Sie den Weg falsch beschrieben: es sollte heissen : Nun gehen wir auf der Erdoberfläche spazieren und fangen irgendwo am Äquator an. Gehen wir zum Nordpol; dort angekommen biegen Sie rechtwinklig (z.B. gegen den Uhrzeigersinn, also nach rechts, ab) und gehen wieder geradeaus weiter, bis Sie am Äquator ankommen. Dort biegen Sie wieder rechtwinklig ab, am einfachsten nach rechts und gehen wieder zum Ausgangspunkt zurück. Um auf den ersten Weg, also zum Nordpol zu gelangen, müssen Sie dann wieder nach rechts rechtwinklig abbiegen.
echt gute Grüsse! |
|
| Nach oben |
|
|
ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 19:33 Titel: |
|
|
| achtphasen hat Folgendes geschrieben: | ein Teil unserer Diskussionsproblematik ist, dass Ihre Erkläuterungen an mich, mich gelegentlich als noch dümmer darstellen, als ich gelegentlich tatsächlich bin.
|
Sehr geehrter Herr Fasnacht,
das ist einfach das Beispiel, mit dem ich es damals "gelernt" habe und ich wollte Ihnen das nicht vorenthalten.
| achtphasen hat Folgendes geschrieben: | Zudem haben Sie den Weg falsch beschrieben: es sollte heissen : Nun gehen wir auf der Erdoberfläche spazieren und fangen irgendwo am Äquator an. Gehen wir zum Nordpol; dort angekommen biegen Sie rechtwinklig (z.B. gegen den Uhrzeigersinn, also nach rechts, ab) und gehen wieder geradeaus weiter, bis Sie am Äquator ankommen. Dort biegen Sie wieder rechtwinklig ab, am einfachsten nach rechts und gehen wieder zum Ausgangspunkt zurück. Um auf den ersten Weg, also zum Nordpol zu gelangen, müssen Sie dann wieder nach rechts rechtwinklig abbiegen. |
Och , als Theoretiker darf mir doch sowas passieren - schliesslich bin ich den Weg noch nie selber abgelaufen !
Als Theoretiker kann ich es aber auch einem Review unterziehen und stelle hiermit fest, dass Ihr Einwand selbstverständlich richtig ist 
Freundliche Grüsse, Ralf Kannenberg |
|
| Nach oben |
|
|
Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 19:40 Titel: |
|
|
| achtphasen hat Folgendes geschrieben: |
Genau diese Vorstellung habe ich doch nun in eben diesem Thread anhand der Flachländer auf zu Kugel gekrümmter 2D-Welt mehrfach beschrieben. Die 2D-Fläche krümmt sich. Und sie krümmt sich in eine 2+1Dimensionalität hinein!
|
Jetzt mußt du nur noch verstehen, daß dieses Sich-Hinein-Krümmen gar nichts mit der Winkelsumme
von Dreiecken oder der Parallelverschiebung zu tun hat. Es krümmt sich nämlich auch der Zylinder
in den 3-D-Raum hinein. Auf ihm haben aber alle Dreiecke Winkelsumme 180°. Das entscheidende
ist, daß du aus einem ebenen (also ungekrümmten) Stück Papier zwar ohne Probleme einen Zylindermantel,
aber keine Kugeloberfläche gebastelt kriegst. Letzteres geht nicht ohne Zerren (besser mit
Gummimembran) ersteres allein mit Biegen. Das ist genau der Unterschied. (Deswegen finde ich
die Übersetzungen "äußere Krümmung"--> "Biegung", "innere Krümmung" --> "Verzerrung"
eigentlich ganz gut, um das anschaulich auseinanderzuhalten.) |
|
| Nach oben |
|
|
ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 19:53 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: | Jetzt mußt du nur noch verstehen, daß dieses Sich-Hinein-Krümmen gar nichts mit der Winkelsumme
von Dreiecken oder der Parallelverschiebung zu tun hat. Es krümmt sich nämlich auch der Zylinder
in den 3-D-Raum hinein. Auf ihm haben aber alle Dreiecke Winkelsumme 180°. |
Hallo Erik,
mal 'ne Zwischenfrage: Hängt das ("das" = Krümmung ungleich 0 und euklidisch) mit der "Endlichkeit" der Zylinderoberfläche zusammen ? Also wenn man quer zur Drehrichtung immer weiter geht, fällt man ja mal irgendwann von Zylinderoberfläche herunter, oder man nimmt die beiden Randkreise dazu, hat dann aber eine hässliche Unstetigkeit der 1.Ableitung an der Kante.
Insbesondere kann man auf der Zylinderoberfläche (ohne die beiden Randkreise) nicht immer ein Dreieck definieren, zumindest kein zusammenhängendes.
Freundliche Grüsse, Ralf |
|
| Nach oben |
|
|
Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 20:44 Titel: |
|
|
| ralfkannenberg hat Folgendes geschrieben: | | Erik hat Folgendes geschrieben: | Jetzt mußt du nur noch verstehen, daß dieses Sich-Hinein-Krümmen gar nichts mit der Winkelsumme
von Dreiecken oder der Parallelverschiebung zu tun hat. Es krümmt sich nämlich auch der Zylinder
in den 3-D-Raum hinein. Auf ihm haben aber alle Dreiecke Winkelsumme 180°. |
Hallo Erik,
mal 'ne Zwischenfrage: Hängt das ("das" = Krümmung ungleich 0 und euklidisch) mit der "Endlichkeit" der Zylinderoberfläche zusammen ? |
Nein, wieso? Nimm einfach den Zylindermantel $ S^1\times \mathbb{R} $. Der hat keinen Rand, ist unendlich, immernoch
flach, überall glatt und man kann problemlos Dreiecke drauf definieren. |
|
| Nach oben |
|
|
ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 21:05 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: | Nein, wieso? Nimm einfach den Zylindermantel $ S^1\times \mathbb{R} $. Der hat keinen Rand, ist unendlich, immernoch
flach, überall glatt und man kann problemlos Dreiecke drauf definieren. |
Oh, eine aufgerollte Ebene ... 
Danke + freundliche Grüsse, Ralf |
|
| Nach oben |
|
|
achtphasen
Anmeldedatum: 20.10.2008
Beiträge: 848
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 21:17 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | achtphasen hat Folgendes geschrieben: |
Genau diese Vorstellung habe ich doch nun in eben diesem Thread anhand der Flachländer auf zu Kugel gekrümmter 2D-Welt mehrfach beschrieben. Die 2D-Fläche krümmt sich. Und sie krümmt sich in eine 2+1Dimensionalität hinein!
|
Jetzt mußt du nur noch verstehen, daß dieses Sich-Hinein-Krümmen gar nichts mit der Winkelsumme
von Dreiecken oder der Parallelverschiebung zu tun hat. Es krümmt sich nämlich auch der Zylinder
in den 3-D-Raum hinein. Auf ihm haben aber alle Dreiecke Winkelsumme 180°. Das entscheidende
ist, daß du aus einem ebenen (also ungekrümmten) Stück Papier zwar ohne Probleme einen Zylindermantel,
aber keine Kugeloberfläche gebastelt kriegst. Letzteres geht nicht ohne Zerren (besser mit
Gummimembran) ersteres allein mit Biegen. Das ist genau der Unterschied. (Deswegen finde ich
die Übersetzungen "äußere Krümmung"--> "Biegung", "innere Krümmung" --> "Verzerrung"
eigentlich ganz gut, um das anschaulich auseinanderzuhalten.) |
Hallo Erik
Superinteressant! Danke.
Ich musste mir zuerst aufzeichnen bis ich gefunden habe, dass auf einem Zylindermantel tatsächlich die Winkelsumme 180 Grad beträgt und Parallelenverschiebung (¿'schräg' um den Zylinder gewickelter Geodäten?) tatächlich möglich ist!
Aber das ändert doch nichts daran, dass, wie auch Du schreibst, dieser Zylindermantel eben immernoch eine durch den 3D-Raum gekrümmte 2D-Fläche ist!
Insofern verstehe ich noch immer nicht. |
|
| Nach oben |
|
|
Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 22:30 Titel: |
|
|
| achtphasen hat Folgendes geschrieben: |
Ich musste mir zuerst aufzeichnen bis ich gefunden habe, dass auf einem Zylindermantel tatsächlich die Winkelsumme 180 Grad beträgt und Parallelenverschiebung (¿'schräg' um den Zylinder gewickelter Geodäten?) tatächlich möglich ist!
Aber das ändert doch nichts daran, dass, wie auch Du schreibst, dieser Zylindermantel eben immernoch eine durch den 3D-Raum gekrümmte 2D-Fläche ist!
Insofern verstehe ich noch immer nicht. |
Hallo Marc,
das ist eben mal wieder eine Definition, gemacht von Mathematikern. Wenn Du den Zylinder parallel zu seiner Symmetrieachse aufschneidest (Schneide ein Klopapierrolle der Länge nach auf) so läßt sich das Resultat sehr leicht zu einem Rechteck aufrollen. Der Zylinder, respektive die aufgeschnittene Papierrolle bekommt bei diesem Vorgang keinelei Risse und genau deswegen besitzt der Zylinder auch keine innere Krümmung.
Der Riemannsche Krümmungstensor verschwindet übrigens für alle Punkte des Zylinders, was wiederum bedeutet, dass die Winkelsumme infinitesimal kleiner Dreiecke für alle Punkte auf dem Zylinder gleich 180° ist.
Für Mathematiker macht es also keinen Unterschied, ob die Krümmung Null ist oder die Winkelsumme in beliebigen Dreiecken immer gleich 180° ist. Eines ist so gut oder so schlecht wie das andere. Interessant ist dazu vielleicht auch der Wikipedia-Artikel zur Riemannschen Geometrie, insbesondere die Liste ganz am Anfang des Artikels.
MfG |
|
| Nach oben |
|
|
achtphasen
Anmeldedatum: 20.10.2008
Beiträge: 848
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 23:29 Titel: |
|
|
Hallo Barney, hallo Erik
mir dämmert wo 'mein' Verständnisproblem liegt:
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | weder zur Definition des Möbiusbandes noch zur Definition gekrümmter Räume braucht man eine Einbettung. |
Ich bedauere erst jetzt zu bemerken, dass es 'Erik' um die Bedingungen geht, die zur Definition einer Raumkrümmung unabdingbar sind.
Mein Anliegen aber war zu verstehen, wie denn ein n-dimensionaler Raum gekrümmt sein könne, ohne in einen zumindest n+1-dimensionalen Raum hineingekrümmt zu sein. Erik hat aber, wenn ich recht verstehe, gar nicht widersprochen, dass ein n-dimensionaler Raum in einen zumindest n+1-dimensionalen Raum hineingekrümmt sein müsste. Ihm ist es um die Definierbarkeit der Raumkrümmung gegangen.
Dieses Missverständnis bedauere ich.
Es verbleibt dennoch die Frage, ob die Krümmungen in der Raumzeit nicht Krümmungen in eine zumindest um eine Dimensionszahl höhere Hyperraumzeit sind? Anders gefragt: Kann entsprechend ART von Krümmungen der Raumzeit gesprochen werden, ohne implizit zu bestätigen, dass diese Raumzeitkrümmungen in eine um mindestens eine Dimension höherdimensionale Hyperraumzeit hinein gekrümmt sind?
gute Grüsse |
|
| Nach oben |
|
|
FrankSpecht
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 439
Wohnort: Oldenburg
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 23:52 Titel: |
|
|
Moin,
| achtphasen hat Folgendes geschrieben: | | Kann entsprechend ART von Krümmungen der Raumzeit gesprochen werden, ohne implizit zu bestätigen, dass diese Raumzeitkrümmungen in eine um mindestens eine Dimension höherdimensionale Hyperraumzeit hinein gekrümmt sind? |
So, wie du die Frage stellst, ein eindeutiges "Nein".
| http://www.meridianerland.com/physik/dimensionen.htm hat Folgendes geschrieben: | | Zu den ersten Wissenschaftlern die erkannten, dass auch eine Relativitätstheorie sich nur dann mit befriedigen Ergebnissen durchrechnen lässt, wenn weitere Dimensionen hinzugezogen werden, gehörten Theodor Kaluza und Oskar Klein. Bereits im Jahre 1921 rechnete Kaluza die allgemeine Relativitätstheorie nicht mit 4, sondern mit 5 Dimensionen durch und erhielt nur durch die Zuhilfenahme dieser 5. Dimension befriedigende Ergebnisse in seinen Gleichungen. Oskar Klein erweiterte später diese Theorie dahingehend, dass diese 5. Dimension nicht erkennbar wäre, da diese zusätzliche Dimension sich wie eine aufgerollte Dimension verhielt. Der Leser könnte sich diese aufgerollte Dimension etwa wie ein aufgerollter Wollknäuel vorstellen. Ein Wollknäuel würde der Mensch aus der Entfernung auch nur als Punkt wahrnehmen, ohne die eigentliche Dimension der Länge des Pfaden zu erkennen. |
Such mal speziell nach "kaluza klein".
_________________
CS, Frank
http://www.rainbow-serpent.de/ |
|
| Nach oben |
|
|
Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
|
| Verfasst am: 17.07.2009, 23:53 Titel: |
|
|
| achtphasen hat Folgendes geschrieben: |
Es verbleibt dennoch die Frage, ob die Krümmungen in der Raumzeit nicht Krümmungen in eine zumindest um eine Dimensionszahl höhere Hyperraumzeit sind? Anders gefragt: Kann entsprechend ART von Krümmungen der Raumzeit gesprochen werden, ohne implizit zu bestätigen, dass diese Raumzeitkrümmungen in eine um mindestens eine Dimension höherdimensionale Hyperraumzeit hinein gekrümmt sind?
|
Hallo Marc,
beide Sichtweisen sind mathematisch nicht zu unterscheiden und somit gleichwertig, wie der Einbettungssatz von Whitney (Wikipedia) zeigt. Jede abstrakte Riemannsche Mannigfaltigkeit (als gekrümmter n-dimensionaler Raum) kann man sich also als Einbettung einer gekrümmten Fläche in einen R^2n vorstellen. Eine Zusatzdimension reicht also manchmal nicht aus, wie die Kleinsche Flasche (s. Artikel) als Beispiel zeigt.
Kurz gesagt: Um beliebige, vierdimensionale Raumzeiten als Einbettungen zu interpretieren braucht man einen übergeordneten, euklidischen Hyperraum mit mindestens acht (!) Dimensionen...
MfG |
|
| Nach oben |
|
|
achtphasen
Anmeldedatum: 20.10.2008
Beiträge: 848
|
| Verfasst am: 18.07.2009, 07:18 Titel: |
|
|
Hallo Barney, hallo Frank Specht
Danke! dass sind nun interessante Infos:
| Barney hat Folgendes geschrieben: | Jede abstrakte Riemannsche Mannigfaltigkeit (als gekrümmter n-dimensionaler Raum) kann man sich also als Einbettung einer gekrümmten Fläche in einen R^2n vorstellen.
...
Um beliebige, vierdimensionale Raumzeiten als Einbettungen zu interpretieren braucht man einen übergeordneten, euklidischen Hyperraum mit mindestens acht (!) Dimensionen... |
!!!
gute Grüsse, und vielen Dank an Alle für diesen Thread! |
|
| Nach oben |
|
|
|
|
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.
|
|
FAQ
Suchen
Mitgliederliste
Benutzergruppen
Registrieren
Profil
Einloggen, um private Nachrichten zu lesen
Login
