Implikationen von G&M

[ralfkannenberg]

[Barney]

Hallo Solkar,

mich würde bei (3.4) noch interessieren, ob Du diese Gleichung als Spezialfall von (3.1) bezeichnen würdest. Ich persönlich sehe zwischen (3.1) und (3.4) keinen expliziten Zusammenhang und sehe in jeder Gleichung vielmehr unterschiedliche Definitionen zweier Wirkungen. Für die Formulierung von (3.5) braucht man, meiner Meinung nach, jedoch (3.4) im Sinne einer Definition.
mfg

[Erik]

Sagt mal ist $ S_4 $ nicht einfach die effektive Wirkung aus $ S $ nach Abintegration der
XD-Freiheitsgrade? Der Vorfaktor vor dieser effektiven Wirkung ist dann definitionsgemäß
$ M_4^2 $. Dazu müßte der Ricciskalar sich auf die Form

\[
R(x,y)\sqrt{-g}= \sqrt{g_{D-4}}e^{2A}\ R_4(x)\sqrt{-g_4} + R'(y)
\]

bringen lassen. Hab keine Lust das nachzurechnen, aber vielleicht jemand von euch. Scheint immerhin
ziemlich straight-forward zu sein. Ich sehe jedenfalls nicht, daß da irgendwelche Integrale
dividiert werden. Das Wirkungsintegral wird auch nicht zum Ausrechnen der Planck-Masse benutzt.

[Barney]

[Solkar]

Hallo Barney, Erik, Ralf!

[Solkar]

Nachtrag:

[Erik]

[Barney]

[Solkar]

Hallo Barney!

[Solkar]

Hi Barney, Erik, Ralf!

It has been brought to my knowledge that some English-speaking casual readers are also interested in the analysis we perform here, so I hope you don't mind we switch language here.

For the papers at hand also being written in English that imho shouldn't be too great an obstacle, or is it?

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About G&M eq.(3.6):

Let's look at an anlaogy well-known from high-school maths

The (diagonal) metric tensor of $\mathbb{R}^3$ in spherical coords is given by

$g_{mn} \equiv diag(1,r^2,r^2 \sin^2{\theta})$

So e.g. the Volume of a R-sphere centered on the origin is given by

$V_{K}(R) = \int\limits_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{K_R} \sqrt{\det{g_{mn}} }dV$
$\quad = \int\limits_{\mathcal{K_R}} \sqrt{\det{g_{mn}} }dV$
$\quad = \int\limits_{0}^{2 \pi}\int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{R} r^2 \sin{\theta} dr d\theta d\phi$
$\quad = \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} [ \frac{1}{3} r^3 ]_0^R \sin{\theta} \quad d\theta d\phi$
$\quad = \int\limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{3} R^3 [-\cos{\theta} ]_0^{\pi} \quad d\phi $
$\quad = \frac{1}{3} R^3 \cdot (1-(-1)) \cdot [\phi]_0^{2\pi} $
$\quad = \frac{4}{3} \pi R^3$
$\quad \equiv V_3.$

---

Now let's assume all components of $g_{mn}$

were scaled

$\hat{g}_{mn} \equiv diag(\omega_1 \cdot 1 , \omega_2 \cdot r^2 , \omega_3 \cdot r^2 \cdot\sin^2{\theta})$

One could write the $\omega_i$ like

$\omega_i = e^{\sigma_i}$

or

$\omega_i = e^{\sigma_i} = e^{B+\mu_i}$ for $B \epsilon \mathbb{R}$

yielding

$\quad \hat{V}_3 = V_3 \prod\limits_{i=1}^{3} e^{(B+\mu_i)/2} = V_3 \cdot e^{(3B+\sum\limits_i^{} \mu_i)/2}$

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If this concept was applied accordingly on G&M (D-4)-dim $g^{D-4}$ of eq.(3.5)
one could refomulate the yielded exponential term as the mean deviation $\Delta$ of an "expected Warp" A.

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eq.(3.7) and eq(3.14) follow effortlessly.

===

For verifying eq.(3.8 ) to eq.(3.13) I've written a small program in C++:


(pls c&p and save the code as "xdim.cpp" if you want to try )

ADDENDUM:
I've no clue why the bb-software consumes the '.h' extension of the 'math' header

So please add

a '.h' extension inside the brackets of

#include <math>

after you c&p'ed it.

(The '#include <iostream>' - directive is ok as is)

=== cut ===

[Solkar]

*content deleted*

[Barney]

[Solkar]

Hi Barney!

[ralfkannenberg]

[ralfkannenberg]