Implikationen von G&M

[Solkar]

[Barney]

[Solkar]

Hallo Ralf!

[Barney]

[Solkar]

Hallo!

Ich habe heute nicht viel Zeit, aber bevor jemand anders Zeit und Mühe aufwendet, folgendes hier in aller Kürze

Auch alle Summanden des Laplace-Rahm-Operators (im unteren Drittel der Wiki-Seite) auf dem Minkowski-Unterraum des $\tilde{Ric}$ (Definition hier Wiki - Ricci Curvature Tensor - "Behavior under conformal rescaling .(ca. MItte)) sind zumindest multi-linear in allen "Minkowski-Differentialen" $dx_{0...3}$ resp $dx^{0...3}$.

Die kovarianten Differentialterme von $f=e^{-2kr_c|\phi|}$ verschwinden aber da $dx_0,dx_1,dx_2,dx_3, d\phi$ eine eine Basis des Cotangentialraums über dem 5-Dim Raum bilden und somit linear unabhängig sind; die kontravarianten "Minkowksi-Diffential"terme verschwinden, da $ f \equiv f(\phi)$

Somit gilt $\tilde{Ric} = Ric (\equiv \overline{R}_{\mu\nu})$ (II.1)

Es gilt ferner da die Dimension eines metrischen Tensors invariant hinsichtlich einer skalaren Multiplikation des Tensors ist (Die $T^{(r,s)}(V_{\mathbb{K})$ sind ja jeweils $\mathbb{K}$-Vektorräume).

$ \overline{g}^{\mu\nu} \overline{g}_{\mu\nu} = n = 4 = \tilde{g}^{\mu\nu} \tilde{g}_{\mu\nu} = e^{2kr_c|\phi|} \overline{g}^{\mu\nu} e^{-2kr_c|\phi|} \overline{g}_{\mu\nu} $, (II.2)

somit $ \tilde{g}^{\mu\nu} = e^{2kr_c|\phi|} = \overline{g}^{\mu\nu} $ (II.3)

Mit (II.1) und (II.3) erhält man

$ \tilde{g}^{\mu\nu} \tilde{R}_{\mu\nu} = \tilde{g}^{\mu\nu} \overline{R}_{\mu\nu} = e^{2kr_c|\phi|} \overline{g}^{\mu\nu} \overline{R}_{\mu\nu} = e^{2kr_c|\phi|} \overline{R} $

Der Exponentialterm kürzt sich gegen jenen in

$\sqrt{-\tilde{g}} = \sqrt{-\det(e^{-2kr_c|\phi|} \overline{g}_{\mu\nu})} = \sqrt{-(e^{-2kr_c|\phi|})^4 \overline{g}} = (e^{-2kr_c|\phi|})^2 \sqrt{- \overline{g}} $

und übrig bleibt der Exponentialterm im inneren Integranden von R&S(15)


Bis bald,

Solkar

P.S.: @Barney : Ich seh grade, ich hab meine gestrige Anwort an Dich versehntlich "editiert" statt neu zu posten. Sorry!
Es ging mir nicht um den gewöhllichen krummlinigen Laplace-Operator, sondern um den Laplace-Rahm-Operator (s.o).

[ralfkannenberg]

[Solkar]

Hallo Ralf!

[Solkar]

KORREKTUR

Streiche:
$ \tilde{g}^{\mu\nu} = e^{2kr_c|\phi|} = \overline{g}^{\mu\nu} $ (II.3)

Setze:
$ \tilde{g}^{\mu\nu} = e^{2kr_c|\phi|} \quad \overline{g}^{\mu\nu} $ (II.3)

[ralfkannenberg]

[Barney]

Hallo Ralf, Solkar,

kann es sein, dass sich in (3.5) schlicht ein Tippfehler eingeschlichen hat? Wenn ich nochmal mit S. 1165 Reviews of Particle Physics vergleiche, müßte die Konstante in (3.5) gleich links neben dem Integralzeichen eigentlich $M_D^{D-2}$ heißen. Diese Konstante wird auch in (3.3) verwendet. Das ist zwar nur ein Detail, aber bevor ich mich mit "conformal rescaling" beschäftige, schaue ich mir erst mal die verwendeten Definitionen an.
mfg

[Solkar]

Hallo!


@ralfkannenberg:

[Barney]

[Solkar]

Hallo Barney!

[Solkar]

Ich schlage vor, dass für R&S (15) und G&M (3.5) einstweilen notieren

R&S benutzen zur Herleitung von (15) u.a. eine Hypothese, die noch näher zu bewerten ist, genau wie die implizite Anwendung jener Hypothese bei G&M für (3.5) .

Das legt auch die Formulierung von R&S selbst nahe:

[Barney]