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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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 Verfasst am: 21.06.2009, 20:01 Titel: Implikationen von G&M |
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| Solkar hat Folgendes geschrieben: |
| Barney hat Folgendes geschrieben: | | Die Gültigkeit und Richtigkeit der quantenmechanischen Modelle aus dem G&M-paper wurden dagegen bisher nicht wirklich durchleuchet. |
Das sehe ich ähnlich:
G&M habe ein recht komplexes Paper verfasst, dass notwendigerweise einige Implikationen beinhaltet.
Es würde sich imo lohnen, jenes Papier einmal systematisch auf Implikationen zu untersuchen.
---
Ein Beispiel:
Für (G&M) 3.5 wurde ein Quotient von Mehrfachintegralen um Integrale über gleiche Differentiale "gekürzt".
In (3.5) steht kein Ricci-Skalar mehr in der Gleichung, deshalb nehme ich an, dass
Sp R_DD ("R" aus 3.1) = Sp R_44 impliziert wird,
mithin
Summe (R_55...R_DD) = 0
---
Es mag sein, dass mir in dem konkreten Fall etwas entgangen ist, aber insgesamt wäre wohl sinnvoll, die G&M Prämissen, insbesondere die impliziten, einmal zusammenzutragen.
Das hielte ich für sinnvoller als die Erstellung einer Tabelle mit Akkretionszeiten. |
Hallo Solkar,
das würde mich auch etwas genauer interessieren und deshalb vermerke ich hier einen weiterführenden Link dazu: Review of Particle Physics. Dieses Online-Buch wird in dem G&M-paper als Literaturquelle [26] aufgeführt und gibt auf S. 1165 einige grundlegende Erklärungen zu S. 11 des G&M-papers. Ralf Kannenberg hat diese Stelle bereits benutzt, um die Frage nach der Bedeutung der Dimensionszahl D im G&M-paper zu klären.
mfg |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 22.06.2009, 06:29 Titel: |
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Hallo Barney!
| Barney hat Folgendes geschrieben: | | [Review of Particle Physics. Dieses Online-Buch wird in dem G&M-paper als Literaturquelle [26] aufgeführt und gibt auf S. 1165 einige grundlegende Erklärungen zu S. 11 des G&M-papers. mfg |
Da wird, bezogen auf D-dimensionale RZ ausgesagt, dass
| Zitat: | | [...]the 4-dimensional part of the metric does not depend on extra-dimensional coordinates |
(ebd. II.I zweiter Satz, Klammer)
Das geht auch imo aus Gleichung G&M 3.5 hervor, da dort der Term
$\sqrt{g_{D-4}}$
auftritt.
G&M allerdings führen in 3.2 allerdings zusätzlich einen "Warp" mittels
${ds^2} = e^{2 A(y)} dx^{\mu} dx_{\mu} + ...$
ein; ich vermute, dass der Warp "conformal" angesetzt wurde, damit der R_4 -"Ausschnitt" des R_D Ricci-Tensor geeignet transformieren würde.
(Das ist aber bislang nur ein "wild guess" von mir)
Fraglich ist aber, wie die zwei Ricci-Tensoren insgesamt aufeinander abbilden, und wie sich ihre Skalare dann zueinander verhalten.
Ich bin grade auf der Suche nach einem Satz für Riemannsche Mannigfaltigkeiten unterschiedlicher Dimensionszahl oder einem Satz der Tensorrechnung, der hier anwendbar wäre.
Vlt mach ich einen Denkfehler, das ist sogar sehr wahrscheinlich bei dem komplexen Thema, aber ich vermisse einen Ricci-Term im Integranden von 3.5.
Sobald ich da klarer sehe würde ich gerne einen Thread zum Thema "Implikationen von G&M" o.ä. eröffnen / dazu beitragen - nicht zwecks erneuter "Risikodebatte", sondern zwecks Verdichtung von mathematisch/physikalischer Info zu dem Paper.
Beste Grüsse,
Solkar |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 22.06.2009, 07:52 Titel: |
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Hallo Barney, hallo Solkar,
Eure derzeitige Diskussion ist m.E. nach auf einem so hohen Niveau, dass sich dazu die Eröffnung eines neuen Threads lohnen würde !
Ich will das aber Eurer Einschätzung überlassen !
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 22.06.2009, 08:02 Titel: |
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| Solkar hat Folgendes geschrieben: |
G&M allerdings führen in 3.2 allerdings zusätzlich einen "Warp" mittels
${ds^2} = e^{2 A(y)} dx^{\mu} dx_{\mu} + ...$
ein; ich vermute, dass der Warp "conformal" angesetzt wurde, damit der R_4 -"Ausschnitt" des R_D Ricci-Tensor geeignet transformieren würde.
(Das ist aber bislang nur ein "wild guess" von mir)
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Hallo Solkar,
die Koordinten $x_{\mu}$ sind die "normalen" vier Raumzeitkoordinaten (laut Review). Es gilt zusätzlich $dx^{\mu} = g^{\mu \nu}_4 dx_{\nu}$. Die eigentliche Raumzeitmetrik wird damit leider "elegant" verschwiegen. Wie sich die Berechnung des Ricci-Skalars duch diesen Ansatz vereinfacht, weiß ich momentan auch nicht, aber da gibt es sicherlich einige Vereinfachungen, da die kompaktifizierten und nichtkompaktifizierten Koordinten nur über den Warp-Faktor mischen.
mfg |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 22.06.2009, 08:30 Titel: |
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| ralfkannenberg hat Folgendes geschrieben: |
Eure derzeitige Diskussion ist m.E. nach auf einem so hohen Niveau, dass sich dazu die Eröffnung eines neuen Threads lohnen würde !
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So wie es aktuell aussieht, müsste das sowieso einer von den Admins machen. |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 22.06.2009, 09:46 Titel: |
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Hallo Barney,
| Zitat: | | die Koordinten $x_{\mu}$ sind die "normalen" vier Raumzeitkoordinaten (laut Review). Es gilt zusätzlich $dx^{\mu} = g^{\mu \nu}_4 dx_{\nu}$. Die eigentliche Raumzeitmetrik wird damit leider "elegant" verschwiegen. |
ich entnehme dem Differential-Produkt in (3.2)
$dx^\mu dx_\mu$
ferner, dass zumindest der R4-"Anteil" des kompletten D-dim $g$-Tensors Koeffzienten ungleich 0 nur in der Spur haben soll.
Allerdings ist bei dann fraglich, warum in Kap 3.2.1 (Ende) auch Kerr- Metriken zugelassen werden; darin taucht ja z.B. ein $g_{t\phi}$, somit ein nicht-diagonaler Koeffizient, auf.
Beste Grüsse,
Solkar |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 22.06.2009, 17:46 Titel: |
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| Solkar hat Folgendes geschrieben: |
ich entnehme dem Differential-Produkt in (3.2)
$dx^\mu dx_\mu$
ferner, dass zumindest der R4-"Anteil" des kompletten D-dim $g$-Tensors Koeffzienten ungleich 0 nur in der Spur haben soll.
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wenn man sich stur an die Definitionen hält ist dem nicht so. Es sieht zwar auf den ersten Blick wegen $dx^{\mu}dx_{\mu} = dx^0dx_0 + dx^1dx_1 + dx^2dx_2 + dx^3dx_3 + dx^4dx_4$ genau so aus, aber meiner Meinung nach wird damit lediglich das konkrete Ausschreiben der 4-dimensionalen Metrik vermieden. Sobald man mit dem eben genannten Ausdruck irgend etwas ausrechnen will, muss man sowieso einen Index, z.B. den kontravarianten gemäß $dx^{\mu} = g^{\mu \nu} dx_{\nu}$ nach unten ziehen und sieht unmittelbar, dass es für den 4-dimensionalen Anteil der Metrik keinerlei Einschränkungen gibt. Der Hinweis auf die verallgemeinerte Kerr-Metrik bestätigt das.
btw: Da die Stringtheorie den Anspruch erhebt alle Wechselwirkungen, inklusive Gravitation zu beschreiben, wäre eine Beschränkung auf ein Intertialsystem mit konstanter und diagonaler Metrik hier auch irgendwie eigenartig. Siehe auch Hintergrundundabhängigkeit (Wikipedia).
Formel (3.5) kann ich momentan auch nicht wirklich nachvollziehen. |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 22.06.2009, 19:17 Titel: |
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Hallo!
| Zitat: | | $dx^{\mu} = g^{\mu \nu} dx_{\nu}$ |
Genau; resp andersrum
$dx_{\mu} = g_{\mu \nu} dx^{\nu}$
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Ich versteh die Schreibweise so, dass z.B. auf der rechten Plus des "+ "
$ g_{mn}(y) dy^m dy^n $
der Eingangsterm ist
Dann folgt die von Ihnen beschriebenen Abbildung
$ g_{mn}(y) dy^m = dy_n $
und dann sind die metrischen Koeffizienten schon in einem der Terme für die Differentiale "enthalten"; hier eben im kovarianten Differential.
Vmtl ist das auch so im Term vor dem "+" so; dafür spricht auch , dass das e^2A abgespalten wurde ist; das $ e^2f$ ging ja bei "conformal rescaling" in den Metriktensor.
Der "Rest" der Metrik "steckt" links also imho im Term
$ dx_{\mu} $
Das klärte übrigens auch den Widerspruch hinsichtlich der Diagonalform, die ich oben gesehn hatte; der R4-Metriktensor-"Teil" muss eben nicht zwingend diagonal sein um gleiche $\mu$ übrigzubehalten.
In dem covarianten $dx_{\mu}$ "stecken" jetzt die Komponenten des originalen g4, also ohne den Warp, damit der g4 für 3.5 ausgekürzt werden kann.
Beste Grüsse,
Solkar |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 23.06.2009, 09:30 Titel: |
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Hallo Barney!
Da es aufgrund Zyklik und (Anti-)Symetrie des Riemann-Tensors ja mehrere äquivalente Formulierungen des Ricci-Tensors gibt, schlage ich vor, dass wir uns auf eine Konvention einigen
Ich finde diese Schreibweise
$R_{\mu\nu} = R^{\alpha}_{\mu\nu\alpha}=\frac{\partial{\Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha}}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial{\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}}}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\Gamma^{\beta}_{\alpha\mu}-\Gamma^{\alpha}_{\beta\alpha}\Gamma^{\beta}_{\mu\nu}$
(BItte einmal prüfen; Typos schleichen sich dabei leicht ein)
sinnvoll, da dann für $R_{00}$ gleich der erste Term (bei $x^0:=t$) bei zeitinvarianten Metriken verschwindet; man somit zumindest eine Merkregel hat.
Eiinverstanden?
Grüsse,
Solkar |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 23.06.2009, 13:19 Titel: |
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| Solkar hat Folgendes geschrieben: |
...Eiinverstanden?
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Hallo Solkar,
die Definition des Riemann-Tensors ist korrekt, falls man die Vorzeichenkonvention aus dem Standardwerk "Gravitation" von Misner, Thorne, Wheeler verwendet. Die Kontraktion über die erste und vierte Komponente ist zwar ungebräuchlich, aber wegen der Antisymmetrie des Riemann-Tensors in der dritten und vierten Komponente wird davon nur das Vorzeichen des Ricci-Tensors beeinflußt.
mfg |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 24.06.2009, 04:15 Titel: |
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Hallo Barney!
| Barney hat Folgendes geschrieben: | | Die Kontraktion über die erste und vierte Komponente ist zwar ungebräuchlich, |
Da kommt mir eine Idee:
Da einige Ableitungen der $g_{\mu\nu}$ aufgrund der Invarianz der R4-Komponenten des $g_D$ hinsichtlich der "y" verschwinden, kann es Sinn machen dass wir verschiedene Kontraktionen des Riemann-Tensors zum Ric anschreiben und versuchen, Komponenten iterativ zu eliminieren.
Das halte ich insbesondere deshalb für effzient, da G&M sich offenbar auf Vakuumlösungen beschränkt haben vmtl gauss'sch elimieren können.
Ferner:
Seien $\breve{g}$/$\breve{R}$ die "Original" - Tensoren des R4, $\hat{g}$/$\hat{R}$ der 4-dim Anteil (die "x" bei G&M) des $g_{(D)}$/$R_{(D)}$ und $\tilde{g}$/ $\tilde{R}$ das Komplement dazu (die "y" bei G&M), die jeweils komlpementären Komponenten seien = 0 gesetzt.
(Bitte jeweils Koeffizienten hinzu denken)
Dann gilt imho:
$ R = g^{\mu\nu} {R}_{\mu\nu} = (\hat{g}^{\mu\nu} + \tilde{g}^{\mu\nu}) (\hat{R}_{\mu\nu} + \tilde{R}_{\mu\nu})$ (dies sei Gleichung "I.1" genannt)
mit
$ \hat{g}^{\mu\nu} \hat{R}_{\mu\nu} = ({e^{2A}})^2 \quad \breve{g}^{\mu\nu} \breve{R}_{\mu\nu} $ (I.2)
Mehr fällt mir grade nicht ein; später mehr dazu.
Grüsse,
Solkar |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 24.06.2009, 06:51 Titel: |
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NACHTRAG:
Wir können an der Stelle wohl aufhören zu rechnen:
G&M [3]:
Randall/Sundrum "A Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension" (PDF rechts oben)
S.5 (PDF S.6), zweiter Absatz (Typographie des Originals abweichend):
| Zitat: | "where $ \overline{R} $ denotes the four-dimensional Ricci scalar made out of $\overline{g}_{\mu\nu}(x)$, in contrast to the five-
dimensional Ricci scalar, $R$, made out of $G_{MN} (x, \phi)$."
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Dafür wurde eine Ersetzung benutzt, die in Gln. (4) und (13) (ebd S. 2/ PDF S.3 und S. 4/ PDF S.5) vorbereitet wurde.
Kurz gesagt: G&M (3.5) entsteht nicht aufgrund einer rein mathematischen Operation aus (3.1) - (3.4), sondern aufgrund einer Erwägung.die Natur höherer Dimensionen betreffend
Ferner wird von G&M imho eine Verallgemeinerung vom 5- auf den D-dimensionalen Fall vorgenommen; es mag durchaus sein, dass diese verallgemeinerung durch vollständige Induktion tatsächlich zu zeigen ist - aber dies ist mir noch nicht einsichtig.
Ich schlage vor dass wir uns kurz mit dem Paper Randall/Sundrum befassen um die Prämissen von dort zusammenzutragen.
Grüsse,
Solkar |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 24.06.2009, 09:09 Titel: |
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| Solkar hat Folgendes geschrieben: |
Ich schlage vor dass wir uns kurz mit dem Paper Randall/Sundrum befassen um die Prämissen von dort zusammenzutragen.
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Hallo Solkar,
mal kurz ist gut  . Für mich zeigt sich hier ein wenig die Schattenseite der theoretischen Physik. Einer schiebt die "Schuld" mal wieder auf den/die andere(n). Das Modell von Randall/Sundrum ist mir persönlich etwas zu abgehoben, was jedoch kein Grund sein soll das verlinkte pdf anzusehen. Vier Augen sehen bekanntlich auch mehr als zwei  .
@Moderation: Vielleicht sollte dieses Thema wirklich in den Bereich Physik verschoben werden. Der Bezug zum LHC-Widerstand ist hier nicht besonders hoch.
mfg |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 24.06.2009, 10:12 Titel: |
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Hallo Barney!
Um "imho", Konjunktiva etc. zu vermeiden - dies ist ingesamt nur als als ein Ansatz gemeint:
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Randall/Sundrum ("R&S") und somit auch G&M in (3.1ff) entwicklen in Ihrem Papier letztlich die Planck-Masse aus dem (Skalar des) Stress-Energie-Tensors.
- Deshalb steht bei R&M in (13) der Term $T(x)$
- bei G&M steht in 3.1 der nicht-gravitative Lagrange-Term
Wenn $T_{\mu\nu}=0$ gälte, wäre ja auch
$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \pm \kappa T_{\mu\nu} = 0$
$\Rightarrow g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g^{\mu\nu} R g_{\mu\nu} = g^{\mu\nu} \quad \cdot 0 $
$\Rightarrow R - \frac{1}{2} R \cdot 4 = 0 $
somit
$R = 0 $
und die Integrale z.B. bei G&M (3.4) würden verschwinden und somit zur Formulierng der Planckmasse ungeeignet sein.
Von R&S wird - gleich unterhalb (14) - $T(x)$ als nur lokal konstant bezeichnet; aber z.B. das innere Integral in (15) geht dann über den Vollkreis.
---
Die scheinbare Diskrepanz wäre imo zu klären; gehen "Misner, Thorne, Wheeler" auf "conformant rescaling" ein?
Grüsse,
Solkar |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 24.06.2009, 18:31 Titel: |
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| Solkar hat Folgendes geschrieben: | | Kurz gesagt: G&M (3.5) entsteht nicht aufgrund einer rein mathematischen Operation aus (3.1) - (3.4), sondern aufgrund einer Erwägung.die Natur höherer Dimensionen betreffend |
Hallo Solkar,
die Gleichung (3.5) enthält ein "Warp Volumen", den Faktor V_w, welcher von den Details der Form der Extradimensionen abhängt. Da man sich nicht auf eine besondere Kompaktifizierung festlegen möchte, werden im Rest der Publikation die Konsequenzen von allgemeinen Warp-Faktoren überlegt, mit spezifischen Anmerkungen an den entsprechenden Stellen.
| Solkar hat Folgendes geschrieben: | | Ferner wird von G&M imho eine Verallgemeinerung vom 5- auf den D-dimensionalen Fall vorgenommen; es mag durchaus sein, dass diese verallgemeinerung durch vollständige Induktion tatsächlich zu zeigen ist - aber dies ist mir noch nicht einsichtig. |
Was ist hier das konkrete Problem mit der Verallgemeinerung ? D ist in all' diesen Gleichungen ein freier Parameter.
Freundliche Grüsse, Ralf
P.S.: Einmal mehr habe ich mich für diese Zeilen kompetent beraten lassen. |
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