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richy
Anmeldedatum: 03.01.2007
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 Verfasst am: 22.04.2009, 16:44 Titel: |
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Hi Ralf
Dass der Ausdruck "immer" auch bei exponentiellem Wachstum nicht zutreffend ist, habe ich bestaetigt.
Die einigste Funktion die mathematisch die Linearitaetsbedingung erfuellt lautet f(x)=a*x. Alle anderen Funktionen sind nichtlinear. Damit haettest du auch die Funktion f(x)=sin(w*x) als Gegenbeispiel angeben koennen.
Oder f(x)=0. Auch diese Funktion ist in mathematischem Sinne nichtlinear.
Blos welchen Sinn sollte dies haben ?
x^r und r^x kann man schon mal verwechseln. Das macht doch nichts.
| Zitat: | Professor Rössler setzt stillschweigend voraus, dass eine nicht-lineare Funktion eine Exponentialfunktion ist, aber eben - das folgt keineswegs von alleine, das muss man voraussetzen !
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Er grenzt lineares Wachstum eines BH von nichtlinearem Wachstum eines BH ab. Und das ist in der Regel exponentiell.
Mir wuerde spontan keine DGL einfallen, deren Loesung ein Potenzfunktion ist und einen natuerlichen Wachstumsvorgang beschreibt. Vieleicht kannst du ein Beispiel liefern ? Das waere sinnvoll.
Ich meine mit f(x)=sin(w*x) haettest du Roesslers sprachliche Ungenauigkeit unmissverstaendlicher erfasst.
Gruesse |
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ralfkannenberg
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| Verfasst am: 22.04.2009, 16:51 Titel: |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | | x^r und r^x kann man schon mal verwechseln. Das macht doch nichts. |
Hallo richy,
könntest Du mir noch sagen, wo ich diese beiden verwechselt haben soll ?
Freundliche Grüsse, Ralf |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
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| Verfasst am: 22.04.2009, 16:56 Titel: |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | | Er grenzt lineares Wachstum eines BH von nichtlinearem Wachstum eines BH ab. Und das ist in der Regel exponentiell. |
Hallo richy,
und was heisst das, "in der Regel" ?
- immer ?
- meistens ?
- manchmal ?
- je nach dem ?
| richy hat Folgendes geschrieben: | | Mir wuerde spontan keine DGL einfallen |
Habe ich irgendwo das Wort "DGL" - ich nehme an, Du meinst Differentialgleichung - verwendet ?
| richy hat Folgendes geschrieben: | | Vieleicht kannst du ein Beispiel liefern ? Das waere sinnvoll. |
Wozu ? Extraarbeit für ralfkannenberg, der sowas ja bekanntlich liebt ?
| richy hat Folgendes geschrieben: | | Ich meine mit f(x)=sin(w*x) haettest du Roesslers sprachliche Ungenauigkeit unmissverstaendlicher erfasst. |
Deine Meinung, gegen die ich übrigens nichts habe; ich persönlich finde die Quadratwurzel halt einfacher. Aber selbstverständlich ist Dein Gegenbeispiel auch ok.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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ralfkannenberg
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| Verfasst am: 23.04.2009, 01:45 Titel: |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | | Oder f(x)=0. Auch diese Funktion ist in mathematischem Sinne nichtlinear. |
Hallo richy,
schaun wir uns das doch mal an:
f(x1+x2) = 0 = 0+0 = f(x1)+f(x2), also f(x1+x2) = f(x1)+f(x2)
f(k*x1) = 0 = k*0 = k*f(x1), also f(k*x1) = k*(x1)
Somit ist der Nachweis erbracht, dass die Nullfunktion linear ist.
Vielleicht hast Du die konstante Funktion, also f(x) = k * x^0, gemeint; diese ist natürlich im allgemeinen (d.h. k <> 0) nicht linear:
f(x1+x2) = k, während f(x1)+f(x2)= k+k=2*k.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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richy
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| Verfasst am: 23.04.2009, 03:54 Titel: |
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Hi Ralf
| Zitat: | x^r und r^x kann man schon mal verwechseln. Das macht doch nichts.
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| ralf hat Folgendes geschrieben: | | könntest Du mir noch sagen, wo ich diese beiden verwechselt haben soll ? |
Roessler hat den Ausdruck der Nichtlinearitaet im Zusammenhang eines natuerlichen Wachstumprozesses verwendet. Und die Funktion eines natuerlichen Wachstums lautet nun einmal r^x und nicht x^r.
Roessler bezieht sich selbstverstaendlich auf die Funktion r^x. Im physikaischen Kontext bedarf dies kaum einer weiteren Erklaerung.
Nur Vollstaendigkeitshalber fuer Mitleser :
r^x laesst sich natuerlich umformen zu
r^x=exp(ln(r^x))= exp(ln(r)*x)
Der natuerlich Logarithmus traegt seinen Namen nicht ohne Grund.
Das weisst du selbstverstaendlich.
Ob du Exponential und Potenzfunktion nun tatsaechlich verwechselt hast oder letztere nur allgemein als ein Beispiel einer nichtlinearen Funktion verwendet hast, weisst du sicherlich am Besten. Mir ist das auch egal.
Eine Potenzfunktion ist aber mit Sicherheit nicht der Prototyp einer natuerlichen Wachstumsfunktion. Ich schrieb, dass dies in der Regel die Exponentialfunktion ist.
| ralph hat Folgendes geschrieben: | und was heisst das, "in der Regel" ?
- immer ?
- meistens ?
- manchmal ?
- je nach dem ?
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Das ist eine berechtigte Frage, die ich auch erwartet habe.
Fuer den Prototyp eines Wachstumsprozesses per Definition steht "in der Regel" stellvertretend fuer "Immer"
Zu diesem Prototypen gibt es aber selbstverstaendlich Ausnahmen.
Beispiele :
Die logistische Gleichung, die das Wachstum eines diskreten System beschreibt in der ein Term innerhalb der DZGL dem Wachstum proportional zum Absolutwert der Zustandsgroesse entgegenwirkt.
Betrachtet man deren kontinuierliche Version, die logistische Funktion oder logistische DGL
sowie deren Loesung
So stellt diese Loesung zwar keine Exponentialfunktion dar, jedoch eine Funktion der Form f(exp(a*x))=f(r^x)
aber keinesfalls der Form f(x^r).
An der Stelle koennte man sich nun fragen warum eine Funktion f(r^x) gegenueber der Funktion f(x^r) in physikalischen Vorgaengen nun anscheinend bevorzugt ist.
Dazu wuerde mir rein formell einfallen, dass die Funktion x^r lediglich r voneinander verschiedene Ableitungen aufweist, wogegen exp(x) beliebig oft differenzierbar ist
| Zitat: | Habe ich irgendwo das Wort "DGL" - ich nehme an, Du meinst Differentialgleichung - verwendet ?
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Nein, einen Bezug zur Realitaet hast du nicht verwendet.
| Zitat: | | Wozu ? Extraarbeit für ralfkannenberg, der sowas ja bekanntlich liebt ? |
Das hast du seitens meiner Seite wohl falsch verstanden.
Ich faende es sehr interessant unter welchen Umstaenden man ein Wachstumsgesetz ueberhaupt herleiten koennte, dass einem Potenz und keinem Exponentialgesetz entspricht.
Diese Wachstumsannahme eines MBH seitens der Physiker von Cern ist natuerlich nur eine Naeherung. Ohne das jetzt naeher nachgelesen zu haben. Diese lineare Annahme kann nur darauf beruhen, dass die Einfangrate eines MBH unabhaengig von dessen Masse ist.
Dann erhaelt man natuerlich einen sehr schoenen linearisierten Zusammenhang.
Freundliche Gruesse |
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richy
Anmeldedatum: 03.01.2007
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| Verfasst am: 23.04.2009, 04:11 Titel: |
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| Zitat: | Hallo richy,
schaun wir uns das doch mal an:
f(x1+x2) = 0 = 0+0 = f(x1)+f(x2), also f(x1+x2) = f(x1)+f(x2)
f(k*x1) = 0 = k*0 = k*f(x1), also f(k*x1) = k*(x1)
Somit ist der Nachweis erbracht, dass die Nullfunktion linear ist. |
Um Gottes Willem ! Das ist grausam !!
Aber einverstanden.Schauen wir uns das morgen nochmal an.
Freundliche Gruesse
richy |
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richy
Anmeldedatum: 03.01.2007
Beiträge: 506
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| Verfasst am: 23.04.2009, 04:28 Titel: |
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Du plapperst hier in einem physikaichen Extremistenforum mit und hast nichteinmal den Linearitaetsbegriff der Mathemaik verstanden.
Das ist geradezu unglaublich. |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
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| Verfasst am: 23.04.2009, 07:54 Titel: |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | Du plapperst hier in einem physikaichen Extremistenforum mit und hast nichteinmal den Linearitaetsbegriff der Mathemaik verstanden.
Das ist geradezu unglaublich. |
Hallo richy,
sehr gut: dann zeige mir, wo ich die Definition der Linearität falsch angewendet habe, ehe Du von"Unglaublichkeiten" redest !
Dass Du Trivialitäten nicht richtig anzuwenden weisst oder vielleicht auch nur nicht richtig anwenden möchtest, ist gewiss nicht mein Fehler !
Und ehe sich der stille Mitleser von Dir verunsichern lässt: Die Nullfunktion ist (wie oben gezeigt und im Gegensatz zu Deiner Behauptung) trivialerweise linear !
Freundliche Grüsse, Ralf |
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El Cattivo
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| Verfasst am: 23.04.2009, 14:03 Titel: |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | | Roessler hat den Ausdruck der Nichtlinearitaet im Zusammenhang eines natuerlichen Wachstumprozesses verwendet. Und die Funktion eines natuerlichen Wachstums lautet nun einmal r^x und nicht x^r. |
Neues Naturgesetz? 
Wenn physikalische Größen nichtlinear wachsen, dann tun sie das exponentiell. Es darf nie eine andere Funktion sein und immer schneller als linear.  Das wäre das, was Rössler geschrieben hat. Es ist nicht nur mathematisch Quatsch, sonder auch physikalisch.
Mir fällt auf anhiebt eine ganze Reihe beschreibende nichtlineare Funktionen ein, wo sogar die e-Funktion drin vorkommt, sich aber immer eine lineare Funktion finden lässt, die schneller wächst. Sogar Funktionen, wo die e-Funktion drin vorkommt.
Einschaltvorgang an einem RC-Glied:
Der Kondensator am RC-Glied sei ungeladen. Zum Schaltzeitpunkt t_s wird eine Spannung U_0 angelegt. Dann gilt für die Spannung am Kondensator U_C folgende, abschnittweise definierte Funktion von der Zeit:
$U_C(t)= \begin{cases} U_C = 0 & t<t_s \\ U_0 (1-e^{ - \frac{t-t_s}{ \tau } } ) & t \geq t_s \end{cases} $
U_c wächst zu jedem Zeitpunkt größer 0, also in hat eine Steigung größer 0. Das ist trivial, liegt an den Eigenschaften der e-Funktion. Sie konvergiert gegen U_0 und in der Praxis nähert man die Funktion auch nach kurzer Zeit mit dem eingeschwungen Zustand, soll aber hier nicht weiter wichtig sein. Die größte Steigung der Funktion ist an der Stelle t=t_s maximal und beträgt U_0 / tau. Leicht nachzurechnen, ich erspare es mir dies explizit zu zeigen. Mit der maximalen Steigung, lässt sich aber auch eine lineare Funktion finden, die schneller wächst. Die Steigung muss einfach nur größer sein, als die maximale Steigung U_0 / tau. Praktisch realisierbar ist das zum Beispiel mit einen simplen Potentiometer. Das wars dann mit Rösslers neuen Naturgesetz. 
Hab ich nun geschummelt, weil meine Funktion nur Abschnittweise definiert ist und die böse Steigung der e-Funktion dadurch nicht auftaucht? Nein, das ist keine Schummelei, so sind nunmal die die Gesetzmäßigkeiten der Elektrotechnik. Beschwerde ist bei den dazugehörigen Naturgesetzen schriftlich einzureichen.
Aber gut, richy und zg. wollten ja Wachstum mit einem positiven Exponenten in der e-Funktion. Aber auch hier war das bisher geschriebene nur eine Halbwahrheit, die so nicht in der Physik vorkommt. Zumindest nicht, das ich wüsste. Aber genau aus der Physik habt wurde ja Ralf einen Vorwurf gebastelt, der anfangs streng mathematisch argumentierte.
Physikalisch kommene Exponetialfunktion (auch mit positiven Exponenten) freilich oft vor. Ein solches physikalisches System ist aber nicht stabil! Nach kurzer Zeit tritt kommt es zu einem, wie auch immer gearteten, Regelvorgang, der das Wachstum begrenzt. Im Ingenieurswesen prüft man deswegen 'die Stabilität' eines Systems, was schon fast die halbe Miete ist. Dafür gibt es spezielle Methoden, für LTI-Systeme und auch NL-Systeme, denn auch für NL-Systeme gilt diese kleine Weisheit. Naja, das LTI-System wird bei einem wilden Wachtum nicht lange LTI bleiben. Tritt irgendwo ein wildes Wachstum auf, so wird die Physik für einen Regelvorgang sorgen, dass das Wachstum irgendwie gestoppt wird. Für ein technisches System heißt das meist, irgend ein Bauteil wird in seiner Belastbarkeit überschritten und geht kaputt, was nicht erstrebenswert ist. Das exponentielle Wachstum tritt also auch hier nur abschnittsweise auf. Ich habe also nicht geschummelt, weil meine Funktion abschnittsweise definiert ist. Dadurch, das die e-Funktionen bei Wachstumsvogängen in der Physik auch nur in begrenzten Abschnitten auftauchen, lassen sich auch immer lineare Funktionen finden, die schneller wachsen.
Fazit:
Nichtlineare Wachstumsvorgänge können langsamer sein, als lineare. Sogar wenn e-Funktionen für die Beschreibung eines physikalischen Vorgangs erforderlich sind.
Zu Rösslers Bezug auf MBHs:
Das ist doch fachlich untragbar! Physikalische Systeme werden nicht durch allgemeines Gequassel beschrieben, in die man ein wenig Fachtherminie einliesen lässt, sondern dazu gehört eine saubere Argumentation aus bekannten Rahmenbedingungen. Solange die nicht vorliegt sind Rösslers Wachstumbehauptungen nur für Ablage P geeignete. Ende vom Lied.
mfg
PS: Man stelle sich vor, ein Kettenbriefe würden streng exponentiell wachsen. Doomsday wäre längst eingetreten: Die Menschheit erstickt an Billiarden Tonnen Briefpapier.  |
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zeitgenosse
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| Verfasst am: 23.04.2009, 14:40 Titel: |
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| El Cattivo hat Folgendes geschrieben: | | Es ist nicht nur mathematisch Quatsch, sonder auch physikalisch. |
Rössler - so wie ich ihn verstehe - spricht davon, dass im Kontext einer deterministischen Dynamik eine physikalische Grösse exponentiell anwächst (oder zumindest nach einer exponentiellen Gesetzmässigkeit). Und das ist prinzipiell völlig richtig. Der lineare Anstieg ist eine Seltenheit.
Auch PT1-Glieder (RC-Glied) verhalten sich in diesem Sinne. Ansonsten müsste die Spannung mit einem Rampengenerator hochgefahren werden; dann aber ist es nicht länger ein natürlicher Prozess.
Ein anderes anschauliches Beispiel ist die Trajektorie mit der kürzesten Wegzeit in einem homogenen Schwerefeld - die sog. Brachistochrone. Das ist zunächst nicht einleuchtend, weil der Weg auf einem Zykloidenbogen länger ist als bei der kerzengeraden Verbindungslinie. Trotzdem entspricht der nichtlineare Verlauf am Besten dem Wesen der Natur.
Gr. zg
_________________
Make everything as simple as possible, but not simpler! |
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Aragorn
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richy
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| Verfasst am: 23.04.2009, 21:09 Titel: |
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Hi
Ja ich muss mich bei Ralf entschuldigen. Es gibt mathematisch kein Argument den Fall y(x)=0 auszuschliessen. |
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El Cattivo
Anmeldedatum: 22.04.2007
Beiträge: 1556
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| Verfasst am: 23.04.2009, 21:45 Titel: |
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| zeitgenosse hat Folgendes geschrieben: | | Rössler - so wie ich ihn verstehe - spricht davon, dass im Kontext einer deterministischen Dynamik eine physikalische Grösse exponentiell anwächst (oder zumindest nach einer exponentiellen Gesetzmässigkeit). |
Ganz schön abenteuerliche Interpretation von Rösslers Aussage. Bei deiner Interpretation geht es ja plötzlich gar nicht mehr um die Wachstumsgeschwindigkeit.....
| Otto Rössler hat Folgendes geschrieben: | | Nur eins ist sicher: nichtlinear ist immer “sehr viel” schneller als linear. |
Da gibt es auch keinen großen Kontext. Gerne aber auch mit:
| Otto Rössler hat Folgendes geschrieben: | Rechnungen liegen in beiden Fällen nicht vor. Nur eins ist sicher: nichtlinear ist immer “sehr viel” schneller als linear. Chaotisches Denken hilft.
Also, um endlich zu Deiner Frage zurückzukommen: Es ist nicht das gotische-R-Theorem allein, das die autoritatären linearen Wachstumsbehauptungen aus den Angeln hebt. Es selbst ist nur die Brücke zu einem zweiten Theorem - dass Quasare Kleiner-Attraktoren sind. Und von dort geht es dann weiter. |
Vor der strittigen Aussage: Schlicht falsch!
Danach: Wird aufbauend auf der falschen Aussage eine Verschwörungstheorie gebastelt. (Das Wachstumsbehauptung basiere nicht auf einer vernünftigen physikalischen worst case Abschätzung + Rechnung)
Kann es sein, dass ein wenig Autoritätsargument verbunden mit einer gewissen Liebe zur Chaostheorie und unangebrachten Respekt zu solchen Interpretationen führen. 
mfg |
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Aragorn
Anmeldedatum: 23.06.2006
Beiträge: 1120
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| Verfasst am: 23.04.2009, 23:19 Titel: |
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| Otto Rössler hat Folgendes geschrieben: | | Nur eins ist sicher: nichtlinear ist immer “sehr viel” schneller als linear. |
Ein Gegenbeispiel:
lineare Funktion: y = m*x
gegen nicht lineare Funktion: y = m*e^(m*x)
mit m=0,1 und von x=0 bis x=15
-> die lineare wächst in diesem Intervall schneller
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FrankSpecht
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 439
Wohnort: Oldenburg
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| Verfasst am: 24.04.2009, 00:57 Titel: |
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Moin, Alle,
das würde mich mal echt interessieren, was unter Wachstum hier im Speziellen wirklich verstanden werden soll:
| Aragorn hat Folgendes geschrieben: | | Otto Rössler hat Folgendes geschrieben: | | Nur eins ist sicher: nichtlinear ist immer “sehr viel” schneller als linear. |
Ein Gegenbeispiel:
lineare Funktion: y = m*x
gegen nicht lineare Funktion: y = m*e^(m*x)
mit m=0,1 und von x=0 bis x=15
-> die lineare wächst in diesem Intervall schneller |
Soweit, Helmut, stimme ich mit dir überein.
Aber was ist, wenn ich die Steigung so interpretiere:
Die Funktion f(x) = m*x steigt "prozentual" (!!) innerhalb eines Intervalls weniger stark an als f(x) = m*e^(m*x)?
So, wie in deinem Beispiel, funktioniert das für ein bestimmtes Intervall. Die nicht-lineare Kurve unten wird aber in jedem Fall die lineare irgendwo in einem größeren Intervalls überholen. Das wäre wohl bei m*x = m*e^(m*x). Oder nicht?
_________________
CS, Frank
http://www.rainbow-serpent.de/ |
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