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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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 Verfasst am: 24.03.2009, 21:51 Titel: (uneigentliche) Metriken und innere Punkte |
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Hallo zusammen,
ich möchte auf diesen Beitrag von Professor Rössler zurückkommen:
| Zitat: | | In dieser Metrik gibt es ein neues Phänomen, wie ich nach Telephongesprächen mit Herrn Kollegen Slotta herausgefunden und in Kapitel 6 meiner Arbeit niedergelegt habe. Es gibt dort ein neues "differentialtopologisches Phänomen", wie ich es nannte, da die Extremwerte ("Ränder") eines Intervalls hier auf einmal nach innen geholt werden können unter Bildung eines neuen Außenrandes, wobei jeder innere Punkt zum Rand werden kann - was mir sonst noch nie begegnet ist. Ob es das sonst schon einmal gibt, und wie man das Phänomen am besten nennt, ist eine Frage an mathematische Spezialisten. Vielleicht kann Herrn Kannenbergs freundliches Insistieren dazu führen, dass ein Spezialist wie Jürgen Jost, dessen Bücher ich sehr schätze, die Frage vorgelegt bekommt, wie das neue Kind am besten zu nennen ist. Es besitzt vermutlich noch viele bisher unbekannte Geschwister. |
Vorgängig ist noch darauf hinzuweisen, dass die Minkowski-Metrik zwar meist als "Metrik" bezeichnet wird, dies aber nicht im streng mathematischen Sinne ist:
| Zitat: | | Sie wird auch als Minkowski-Metrik bezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass die Minkowski-Metrik weder eine Metrik, noch eine Pseudometrik im mathematischen Sinne ist. |
Dies kommt daher, dass die Bilinearform des Minkowski-Raumes nicht positiv definit ist, d.h. auch negative Werte annehmen kann, was in einer Metrik nicht erlaubt ist. Somit erfüllt die "Minkowski-Metrik" streng genommen nur die Bedingungen einer Abstandsfunktion.
Nun zu meiner Frage an die Spezialisten:
Wenn ich einen Extremwert, z.B. v=c, wie auch immer zu einem inneren Punkt umwandle, so muss dieser innere Punkt doch eine epsilon-Umgebung oder allgemeiner einen epsilon-Ball besitzen, der vollständig in der Menge enthalten ist, d.h. ich finde ein epsilon_1 echt grösser als 0, so dass gilt, dass c-epsilon_1 in der Menge - das ist natürlich kein Problem, aber eben auch c+epsilon_1 in der Menge, und letzteres widerspricht schon der speziellen Relativitätstheorie.
Was meint Ihr dazu ?
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 03.06.2009, 20:27 Titel: |
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Da ich mich grade mit Diff'geo auseinandersetze, zunächst allen Beteiligten meinen herzlichen Dank dafür, darauf hinzuweisen, dass die umgangssprachliche Minkowski-"Metrik" eben keine Metrik ist.
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Zu jenem "differentialtopologischen Phänomen":
Wo findet sich eine mathematische Formulierung des "Phänomens"?
Der Einwand Ralf Kannenberg's hinsichtlich epsilon-Umgebungen (afaik resultierend aus der Topologie-Eigenschaft) ist zumindest plausibel; deshalb wäre eine formale Analyse sicherlich zielführend; diese Analyse könnte aber nur auf einer formalen Grundlage erfolgen. |
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Barney
Anmeldedatum: 19.10.2008
Beiträge: 1538
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| Verfasst am: 03.06.2009, 22:00 Titel: Re: (uneigentliche) Metriken und innere Punkte |
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| ralfkannenberg hat Folgendes geschrieben: |
Nun zu meiner Frage an die Spezialisten:
Wenn ich einen Extremwert, z.B. v=c, wie auch immer zu einem inneren Punkt umwandle, so muss dieser innere Punkt doch eine epsilon-Umgebung oder allgemeiner einen epsilon-Ball besitzen, der vollständig in der Menge enthalten ist, d.h. ich finde ein epsilon_1 echt grösser als 0, so dass gilt, dass c-epsilon_1 in der Menge - das ist natürlich kein Problem, aber eben auch c+epsilon_1 in der Menge, und letzteres widerspricht schon der speziellen Relativitätstheorie.
Was meint Ihr dazu ?
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ich meine, dass die Aufgabenstellung zu ungenau formuliert ist. v=c ist auch über Hilfskonstruktionen kein Punkt des Minkowskiraumes, sondern eine "pathologische" Parameterwahl bei der Lorentz-Transformation.
Ich persönlich glaube nicht, dass hier exakte Analysen verwertbare Informationen zu Tage fördern können, aber vielleicht habe ich auch die Frage nur falsch verstanden.
mfg |
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Solkar
Anmeldedatum: 29.05.2009
Beiträge: 293
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| Verfasst am: 03.06.2009, 23:22 Titel: Re: (uneigentliche) Metriken und innere Punkte |
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| Barney hat Folgendes geschrieben: | | v=c ist auch über Hilfskonstruktionen [...] "pathologische" Parameterwahl bei der Lorentz-Transformation |
Wir können uns aber mittels Parameterisierung recht einfach eine Menge mit "pathologischem" Rand erzeugen, deren Bild wir betrachten können:
Wir parameterisieren die räumlichen Koordinaten des M-Raumes mittels der Zeit.
Damit es einfach wird, können wir erstmal zwei räumliche Koordinaten gleich Null setzen und definieren:
fur die betrachtete Topologie U auf M
sei
V := Bild { u elem U | d/dt x_1 < c ^ x_2 = x_3 = 0 } |
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