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Kurt
Anmeldedatum: 05.05.2008
Beiträge: 482
Wohnort: Oberpfalz
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 Verfasst am: 27.06.2008, 19:36 Titel: |
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| ralfkannenberg hat Folgendes geschrieben: |
Betrachten wir lieber die Ebene; hier ist alles noch einfach und anschaulich und wir Menschen können uns sogar problemlos eine weitere Raumdimension vorstellen, die nicht in der Ebene liegt.
Betrachten wir die beiden 45° geneigten Vektoren (1,1) und (-1,1):
(1,1) ist ja der Vektor, der eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben zeigt und
(-1,1) ist der Vektor, der eine Einheit nach links und eine Einheit nach oben zeigt.
Diese beiden Vektoren zeigen also in verschiedene Richtungen und es ist somit anschaulich klar, dass die linear unabhängig sind, denn man benötigt zwei linear unabhängige Vektoren, um eine Ebene auszuspannen.
Hingegen würde das mit den beiden Vektoren (1,1) und (-1,-1) nicht klappen, weil beide auf derselben Geraden liegen.
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OK
| ralfkannenberg hat Folgendes geschrieben: |
Nehmen wir noch zum System (1,1) und (-1,1) einen dritten Vektor in der Ebene hinzu, nämlich (0,2), also der Vektor, der 2 Einheiten nach oben zeigt.
(0,2) zeigt also in eine andere Richtung als (1,1) und er zeigt auch in eine andere Richtung als (-1,1). Ist er zu den beiden linear unabhängig oder linear abhängig ?
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Lamda_1 * (1,1) + Lamda_2 * (-1,1) + Lamda_3 * (0,2) ?0
Hier kommt jedenfalls nicht Null raus, also linear unabhängig.
V_1 z.B. zeigt in eine andere Richtung als V_2,
somit kann eine Fläche aufgespannt werden, somit linear unabhängig.
V_3 dagenen ist eigentlich überflüssig, er zeigt in die aufgespannte Fläche von V_1/V_2 , kann also auch entfallen.
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Ist er zu den beiden linear unabhängig oder linear abhängig
-----------
Mit ist die Wortbedeutung nicht ganz klar.
Zu den Beiden einzeln?
Zu Beiden gemeinsam?
Es ist aber auch nicht wichtig da er weder so noch so passt.
| Zitat: |
Tipp: Was ergibt (1,1) + (-1,1) ?
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linear unabhängig.
Kurt |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 27.06.2008, 23:34 Titel: |
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| Kurt hat Folgendes geschrieben: | Lamda_1 * (1,1) + Lamda_2 * (-1,1) + Lamda_3 * (0,2) ?0
Hier kommt jedenfalls nicht Null raus, also linear unabhängig. |
Hallo Kurt,
fast richtig:
(1,1) + (-1,1) - (0,2) = (0,0) => linear abhängig
Im Übrigen hast Du die richtige Idee selber aufgeschrieben:
| Kurt hat Folgendes geschrieben: | V_1 z.B. zeigt in eine andere Richtung als V_2,
somit kann eine Fläche aufgespannt werden, somit linear unabhängig.
V_3 dagenen ist eigentlich überflüssig, er zeigt in die aufgespannte Fläche von V_1/V_2 , kann also auch entfallen. |
Ganz genau Kurt, genau das ist die Idee hinter der linearen Unabhängigkeit 
Überlege Dir das nochmal in Ruhe und dann gebe ich Dir am Montag noch eine kleine Kontrollaufgabe, auch in der Ebene.
Wie sieht es mit der Aufgabe zur Bilinearform aus ? - Das hast Du doch bis jetzt auch super gemacht ! 
Und wenn Du sie gelöst hast - sind f_1 und f_2 symmetrisch ? Und wenn ja, warum ?
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Kurt
Anmeldedatum: 05.05.2008
Beiträge: 482
Wohnort: Oberpfalz
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| Verfasst am: 03.07.2008, 21:01 Titel: |
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So, der Stress hat nachgelassen.
| Zitat: |
(1,1) + (-1,1) - (0,2) = (0,0) => linear abhängig
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Klar
Die Schreibweise von El Cattivo kommt mir da gut entgegen.
Kanns nur nicht darstellen.
..........| 1|...............|-1|..............| 0|............|0|
.(1)x..........+..(1)x.........+..(-2)x...............=
..........| 1|...............| 1|..............| 2|............|0|
Ergebnis = Null, somit linear abhängig
| Zitat: |
Bilinearform:
f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x + a_y * b_y
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x - a_y * b_y
Was ist dann:
f_1( (1,1), (-1,1) ) = ?
f_2( (1,1), (-1,1) ) = ?
f_1( (1,1), (0,2) ) = ?
f_2( (1,1), (0,2) ) = ?
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-------------------------
f_1( (1,1), (-1,1) ) = ?
f_2( (1,1), (-1,1) ) = ?
f_1 (1*-1 + 1*1) = 0
f_2 (1*-1 - 1*1) = -2
-------------------------
-------------------------
f_1( (1,1), (0,2) ) = ?
f_2( (1,1), (0,2) ) = ?
f_1 (1*0 + 1*2) = 2
f_2 (1*0 - 1*2) = -2
-------------------------
Beim Rest ist mir nicht klar was f_1 bzw. f_2 sind.
Kurt |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 04.07.2008, 09:28 Titel: |
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| Kurt hat Folgendes geschrieben: | Die Schreibweise von El Cattivo kommt mir da gut entgegen.
Kanns nur nicht darstellen.
..........| 1|...............|-1|..............| 0|............|0|
.(1)x..........+..(1)x.........+..(-2)x...............=
..........| 1|...............| 1|..............| 2|............|0|
Ergebnis = Null, somit linear abhängig |
richtig
| Kurt hat Folgendes geschrieben: |
-------------------------
f_1( (1,1), (-1,1) ) = ?
f_2( (1,1), (-1,1) ) = ?
f_1 (1*-1 + 1*1) = 0
f_2 (1*-1 - 1*1) = -2
-------------------------
-------------------------
f_1( (1,1), (0,2) ) = ?
f_2( (1,1), (0,2) ) = ?
f_1 (1*0 + 1*2) = 2
f_2 (1*0 - 1*2) = -2
------------------------- |
Die vier Ergebnisse sind richtig und die Herleitung ist auch richtig
Kleiner Schönheitsfehler: beim Ausrechnen solltest Du das f_1 bzw. f_2 am Anfang weglassen, denn
f_1(1*0 + 1*2) bzw. f_2(1*0 - 1*2) sind nicht definiert.
Es ist nur ein Fehler in der Schreibweise, ich möchte ihn dennoch der Vollständigkeit halber korrigieren:
f_1( (1,1), (-1,1) ) = (1*-1 + 1*1) = 0
f_2( (1,1), (-1,1) ) = (1*-1 - 1*1) = -2
f_1( (1,1), (0,2) ) = (1*0 + 1*2) = 2
f_2( (1,1), (0,2) ) = (1*0 - 1*2) = -2
So ist es also richtig, ich betone, dass Du alle Aufgaben inhaltlich und resultatsmässig korrekt gelöst hast
| Kurt hat Folgendes geschrieben: | | Beim Rest ist mir nicht klar was f_1 bzw. f_2 sind. |
Ich glaube, Du hast schon alles gelöst.
Nun wie angekündigt eine kleine Kontrollaufgabe zur linearen Unabhängigkeit sowie die noch ausstehende Aufgabe der Symmetrie der Bilinearformen - letzteres werden wir nämlich noch benötigen. Zum jetzigen Zeitpunkt aber noch in der Ebene, weil es da übersichtlicher ist; wenn diese Aufgaben gelöst sind, machen wir - aber auch mit ganz einfachen Zahlen noch je eine Aufgabe im 6-dimensionalen Gummibärchen-Raum. Danach hast Du genügend Grundkenntnisse, dass wir weitergehen können.
Aufgabe 1: Sind (-1,1) und (0,2) linear unabhängig ?
Anleitung: Man muss zeigen, dass eine "Kombination" der beiden Vektoren, die den Nullvektor ergibt, nur mit Vielfachen = 0 möglich ist.
Das heisst, wenn
......|-1|...........| 0|............|0|
...a*........ +..b*.............=
......| 1|...........| 2|............|0|
dann gilt a=0 und b=0.
Du musst also nur nachrechnen, dass a=0 und b=0 ist; man macht das komponentenweise:
1.Komponente (x-Komponente): a*(-1) + b*(0) = 0
2.Komponente (y-Komponente): a*(1) + b*(2) = 0
Du hast nun zwei Gleichungen mit zwei Unbekannte, die kannst Du auflösen und dann erhälst Du das Ergebnis.
Aufgabe 2: Sind f_1 und f_2 symmetrisch ?
Anleitung:
Symmetrisch bedeutet:
f_1(vektor_a, vektor_b) = f_1(vektor_b, vektor_a)
f_2(vektor_a, vektor_b) = f_2(vektor_b, vektor_a)
f_1 und f_2 sind in der Ebene folgendermassen definiert:
f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x + a_y * b_y
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x - a_y * b_y
Man muss also zeigen, dass
f_1( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) = f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) )
f_2( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) = f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) )
Also berechnet man, was
f_1( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) und f_2( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) ergeben und ob dasselbe herauskommt wie bei f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) und f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ).
Viel Spass !
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Kurt
Anmeldedatum: 05.05.2008
Beiträge: 482
Wohnort: Oberpfalz
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| Verfasst am: 12.07.2008, 12:34 Titel: |
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Hallo Ralf, ich packs jetzt einfach ohne lange nachzudenken und es -richtig machen zu müssen-
| Zitat: | | Du hast nun zwei Gleichungen mit zwei Unbekannte, die kannst Du auflösen und dann erhälst Du das Ergebnis. |
hab schon mal gehört das es Unbekannte gibt, wie man sie auseinanderzwierlt nicht.
Macht nichts wird nicht wichtig sein.
| Zitat: | | Aufgabe 1: Sind (-1,1) und (0,2) linear unabhängig ? |
| Zitat: |
Man muss zeigen, dass eine "Kombination" der beiden Vektoren, die den Nullvektor ergibt, nur mit Vielfachen = 0 möglich ist.
Das heisst, wenn
......|-1|...........| 0|............|0|
...a*........ +..b*.............=
......| 1|...........| 2|............|0|
|
Das glaub ich hab ich soweit verstanden.
| Zitat: |
Aufgabe 2: Sind f_1 und f_2 symmetrisch ?
Anleitung:
Symmetrisch bedeutet:
f_1(vektor_a, vektor_b) = f_1(vektor_b, vektor_a)
f_2(vektor_a, vektor_b) = f_2(vektor_b, vektor_a)
f_1 und f_2 sind in der Ebene folgendermassen definiert:
f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x + a_y * b_y
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x - a_y * b_y
|
Ich glaube das auch.
| Zitat: |
Man muss also zeigen, dass
f_1( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) = f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) )
f_2( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) = f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) )
|
Hier -verschwindet- das Minuszeichen
Das ist wohl in der Umstellung -versteckt-
Oder wird das stillschweigend angenommen das man das nachher bein Ausrechnen berücksichtigt?
| Zitat: |
Also berechnet man, was
f_1( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) und f_2( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) ergeben und ob dasselbe herauskommt wie bei f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) und f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ).
|
f_1( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) =
f_2( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) =
und vergleicht mit:
f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) =
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) =
Du sagst das bei 2d symmetrisch es so
f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x + a_y * b_y
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x - a_y * b_y
definiert ist.
[ (-1,1) und (0,2)]
f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = -1*0 + 1*2 ergibt 2
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = -1*0 - 1*2 ergibt -2
"Also berechnet man, was"
f_1( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) = 0*2 + -1*1 ergibt -1
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = -1*0 - 0*2 ergibt 0
f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = -1*0 + 1*2 ergibt 2
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = -1*0 - 1*2 ergibt -2
Es kommen also unterschiedliche Ergebnisse raus, also unsymmetrisch.
Kurt |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 13.07.2008, 19:27 Titel: |
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| Kurt hat Folgendes geschrieben: | Hallo Ralf, ich packs jetzt einfach ohne lange nachzudenken und es -richtig machen zu müssen-
| Zitat: | | Du hast nun zwei Gleichungen mit zwei Unbekannte, die kannst Du auflösen und dann erhälst Du das Ergebnis. |
hab schon mal gehört das es Unbekannte gibt, wie man sie auseinanderzwierlt nicht.
Macht nichts wird nicht wichtig sein.
| Zitat: | | Aufgabe 1: Sind (-1,1) und (0,2) linear unabhängig ? |
| Zitat: |
Man muss zeigen, dass eine "Kombination" der beiden Vektoren, die den Nullvektor ergibt, nur mit Vielfachen = 0 möglich ist.
Das heisst, wenn
......|-1|...........| 0|............|0|
...a*........ +..b*.............=
......| 1|...........| 2|............|0|
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Das glaub ich hab ich soweit verstanden. |
Hallo Kurt,
sehr schön, dann rechne es doch nur noch aus:
Gleichung 1 aus der 1.Komponente: a*(-1) + b*0 = 0
Gleichung 2 aus der 2.Komponente: a* 1 + b*2 = 0
Dieses Gleichungssystem kannst Du doch nun wirklich intuitiv lösen; ich forme es noch ein bisschen weiter um:
Gleichung 1 aus der 1.Komponente: a*(-1) + b*0 = 0 => -a=0
Gleichung 2 aus der 2.Komponente: a* 1 + b*2 = 0 => a + 2*b = 0
Aber den Rest kannst Du selber machen - nicht glaube:
Welchen Wert hat a und welchen Wert hat b ?
| Kurt hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Aufgabe 2: Sind f_1 und f_2 symmetrisch ?
Anleitung:
Symmetrisch bedeutet:
f_1(vektor_a, vektor_b) = f_1(vektor_b, vektor_a)
f_2(vektor_a, vektor_b) = f_2(vektor_b, vektor_a)
f_1 und f_2 sind in der Ebene folgendermassen definiert:
f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x + a_y * b_y
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x - a_y * b_y
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Ich glaube das auch. |
Das hat mit "Glauben" nichts zu tun, das ist nur eine Definition.
| Kurt hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Man muss also zeigen, dass
f_1( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) = f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) )
f_2( (b_x,b_y), (a_x, a_y) ) = f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) )
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Hier -verschwindet- das Minuszeichen |
Wie bitte ? Wo verschwindet ein Minuszeichen ?
Ich schlage vor, dass Du das also nochmals in Ruhe ausrechnest. Alle Gleichungen sind auf dem "goldenen Tablett", d.h. Du brauchst sie nur richtig einzusetzen.
Beim Vergleich der Werte sind nicht f_1 mit f_2 zu vergleichen, sondern -wie in der Definition der Symmetrie angegeben -
f_1(b,a) mit f_1(a,b)
und
f_2(b,a) mit f_2(a,b)
Viel Spass !
Freundliche Grüsse, Ralf |
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