| Vorheriges Thema anzeigen :: Nächstes Thema anzeigen |
| Autor |
Nachricht |
Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
|
 Verfasst am: 28.06.2008, 13:38 Titel: |
 |
|
Hallo Erik,
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Ich erinnere nochmal daran, daß es darum ging ob Zeitdilatation koordinatenabhängig ist, also
wegtransformiert werden kann. Ist nun klar, daß das nicht der Fall ist?
|
Ich dachte es ging darum, ob man die gravitative Zeitdilatation durch die Zeitdilatation in einem beschleunigten Koordinatensystem erklären kann. Du weißt schon: Wegen der Äquivalenz von Trägheit und Schwere.
Klar ist mir, dass Zeitdilatation erstens Koordinatenabhängig ist, zweitens aber nicht immer wegtransformiert werden kann. Koordinatenunabhängig ist nur die Eigenzeitdifferenz zwischen zwei Weltlinien, die einander zwei Mal schneiden. Für Objekte mit einander nicht (oder nur ein Mal) schneidenden Weltlinien ist die Zeitdilatation von der Wahl des Koordinatensystems abhängig.
| Zitat: |
Es gibt keine absolute (d.h. beobachterunabhängige) Zeit. Da GPS trotzdem funktioniert, ist sie auch nicht notwendig.
|
Wieso ersetzt du auf einmal "beobachterunabhängig" durch "absolut"? Das sind zwei paar Schuhe.
| Zitat: |
Wie kommst du darauf die von irgendeiner Uhr auf der Erde gemessene Zeit sei beobachterunabhängig oder durch
irgendetwas von anderen Zeiten ausgezeichnet?
|
Es handelt sich um eine Koordinatenzeit. Sie ist natürlich nicht von Natur aus vor anderen möglichen Koordinatenzeiten ausgezeichnet, sondern nur durch Konvention. Ist das ein Problem?
| Zitat: |
Im übrigen ist das nicht meine Definition, sondern die der RT. Wie definierst du für
einen beliebigen Beobachter, welche Ereignisse gleichzeitig sind, ohne Bezug auf
einen anderen Beobachter zu nehmen?
|
Indem ich ein Koordinatensystem definiere.
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Also verstehe ich das richtig, du hast was gegen beobachterabhängige
Definitionen, aber von einem absolut willkürlichen Koordinatensystem
darf sie dann schon abhängen?
|
Ich habe doch gar nichts gegen beobachterabhängige Definitionen. Ich finde sie nur weniger praktisch.
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Oder welches Koordinatensystem nehme ich denn nun?
|
Welches du willst. Die Physik ist ja in allen gleich.
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Koordinaten definieren Gleichzeitigkeit für alle Beobachter, die in diesen Koordinaten ruhen, aber sicher nicht für alle
Beobachter. |
Für alle beobachter, die das selbe Koordinatensystem benutzen. Siehe GPS. Dort sind die Uhren der bewegten Satelliten nach der Koordinatenzeit synchronisiert, obwohl sie nicht im Koordinatensystem ruhen.
Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv) |
|
| Nach oben |
|
 |
Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 28.06.2008, 20:09 Titel: |
|
|
| Joachim hat Folgendes geschrieben: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Ich erinnere nochmal daran, daß es darum ging ob Zeitdilatation koordinatenabhängig ist, also
wegtransformiert werden kann. Ist nun klar, daß das nicht der Fall ist?
|
Ich dachte es ging darum, ob man die gravitative Zeitdilatation durch die Zeitdilatation in einem beschleunigten Koordinatensystem erklären kann. Du weißt schon: Wegen der Äquivalenz von Trägheit und Schwere.
|
Wir hatten doch gerade folgendes besprochen:
| Joachim hat Folgendes geschrieben: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Beachte, daß meine Definition von ZD nur auf koordinatenunabhängige Größen bezug nimmt.
Da kannst du nichts wegtransformieren.
|
Deine Definition war:
| Zitat: |
Zeitdilatation bedeutet, daß für mich zwischen zwei Ereignissen A und B mehr Eigenzeit vergeht,
als für einen anderen Beobachter zwischen den den Ereignissen A' B', die für mich gleichzeitig
zu A und B sind.
|
(Hervorhebung von dir)
Wie definierst du Gleichzeitigkeit koordinatenunabhängig? Für den Begriff der
Gleichzeitigkeit brauche ich ein ortsunabhängiges Maß der Zeit, wie bekomme ich das ohne
Koordinaten?
|
Und ich wollte darauf hinaus, daß Zeitdilatation gerade nicht koordinatenabhängig ist.
| Zitat: |
Klar ist mir, dass Zeitdilatation erstens Koordinatenabhängig ist, zweitens aber nicht immer wegtransformiert werden kann. Koordinatenunabhängig ist nur die Eigenzeitdifferenz zwischen zwei Weltlinien, die einander zwei Mal schneiden. Für Objekte mit einander nicht (oder nur ein Mal) schneidenden Weltlinien ist die Zeitdilatation von der Wahl des Koordinatensystems abhängig.
|
Nein, man betrachtet zwei Ereignisse A und B auf der einen Weltlinie und mißt die Eigenzeit dazwischen.
Dann betrachtet man zwei andere Ereignisse A', B' auf der anderen Weltlinie und mißt wieder
die Eigenzeit dazwischen. Kommt im allgemeinen natürlich was anderes raus. Wirklich erstaunlich ist
das aber höchstens, wenn A und A' sowie B und B' für irgendeinen Beobachter gleichzeitig
stattfinden. Das kann natürlich auch ein dritter Beobachter sein, meist nimmt man aber einen
der beiden. Die Definition der Gleichzeitigkeit dient nur dazu, für zwei Ereignisse A und B
die zugehörigen Ereignisse A' und B' auf der anderen Weltlinie zu identifizieren. Daran
ist dann nichts koordinatenabhängig.
| Zitat: |
| Zitat: |
Es gibt keine absolute (d.h. beobachterunabhängige) Zeit. Da GPS trotzdem funktioniert, ist sie auch nicht notwendig.
|
Wieso ersetzt du auf einmal "beobachterunabhängig" durch "absolut"? Das sind zwei paar Schuhe.
|
Nein, ist genau dasselbe. Erkläre mal. Inwiefern ist die Erdzeit "beobachterunabhängig"?
Welche Zeit mißt eine Erduhr deiner Meinung nach?
| Zitat: |
| Zitat: |
Wie kommst du darauf die von irgendeiner Uhr auf der Erde gemessene Zeit sei beobachterunabhängig oder durch
irgendetwas von anderen Zeiten ausgezeichnet?
|
Es handelt sich um eine Koordinatenzeit. Sie ist natürlich nicht von Natur aus vor anderen möglichen Koordinatenzeiten ausgezeichnet, sondern nur durch Konvention. Ist das ein Problem?
|
Für mich nicht. Und wieso meinst du nun die Eigenzeit eines Beobachters per Konvention
auszuzeichen, sei unpraktisch? Das ist genauso praktisch oder unpraktisch wie eine Koordinatenzeit
auszuzeichnen.
Eine Zeitkoordinate ist erstmal nichts weiter, als eine Zahl, deren Zusammenhang zu gemessenen
Zeiten abhängig ist von dem Beobachter, der mißt. Also ist schonmal nichts beobachterunabhängiges daran.
Praktisch ist es also, wenn man schon eine Zeitkoordinate auszeichnen will, dafür die
Eigenzeit eines bestimmten Beobachters zu verwenden.
Und das macht man ja auch. Was du hier als "Koordinatenzeit" bezeichnest ist ja nichts anderes
als die von einem ruhenden Beobachter auf der Erde gemessene Eigenzeit.
| Zitat: |
| Zitat: |
Im übrigen ist das nicht meine Definition, sondern die der RT. Wie definierst du für
einen beliebigen Beobachter, welche Ereignisse gleichzeitig sind, ohne Bezug auf
einen anderen Beobachter zu nehmen?
|
Indem ich ein Koordinatensystem definiere.
|
Dann hast du 4 Zahlen. Und weiter?
Wie stellt ein beliebiger Beobachter mit Weltlinie $ \gamma(\tau) $ fest, ob ein Ereignis
E zu Zeit t eines bestimmten Koordinatensystems sattfindet? Er hat Uhren und Längenmesser
zur Verfügung. Was ihm nicht zur Verfügung steht sind durch die Raumzeit fliegende
Schilder mit der Aufschrift "Dieses Ereignis hat die Koordinaten (t,x,y,z)".
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Oder welches Koordinatensystem nehme ich denn nun?
|
Welches du willst. Die Physik ist ja in allen gleich.
|
Welche Physik? Wenn du mittels Koordiatenzeit t definierst, welche Ereignisse gleichzeitig sind,
ist das natürlich nicht in allen Koordinatensystemen gleich.
| Zitat: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Koordinaten definieren Gleichzeitigkeit für alle Beobachter, die in diesen Koordinaten ruhen, aber sicher nicht für alle
Beobachter. |
Für alle beobachter, die das selbe Koordinatensystem benutzen. Siehe GPS. Dort sind die Uhren der bewegten Satelliten nach der Koordinatenzeit synchronisiert, obwohl sie nicht im Koordinatensystem ruhen.
|
Für die Satelliten sind nicht die Ereignisse gleichzeitig, die zur gleichen Koordinatenzeit
t (Erdzeit) stattfinden. Sie sind weder mit der Erduhr synchron, noch miteinander
(letzteres nur näherungsweise). Genau das meint man damit, daß Gleichzeitigkeit relativ ist.
Allerdings interessiert das nicht, weil man nur eine der vielen Zeiten verwendet. |
|
| Nach oben |
|
|
Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
|
| Verfasst am: 29.06.2008, 13:08 Titel: |
|
|
Hallo Erik,
du hast eine merkwürdige Art zwischen Beobachter und Koordinaten zu unterschieden. Was du Beobachterabhängig nennt ist einfach eine spezielle Art von Koordinatenabhängigkeit. Wenn du schreibst, dass bestimmte Ereignisse für einen Beobachter gleichzeitig seien, dann meint das doch nichts anderes, als das sie in mit diesem Beobachter mitbewegten Koordinaten gleichzeitig sind.
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Nein, man betrachtet zwei Ereignisse A und B auf der einen Weltlinie und mißt die Eigenzeit dazwischen.
Dann betrachtet man zwei andere Ereignisse A', B' auf der anderen Weltlinie und mißt wieder
die Eigenzeit dazwischen. Kommt im allgemeinen natürlich was anderes raus. Wirklich erstaunlich ist
das aber höchstens, wenn A und A' sowie B und B' für irgendeinen Beobachter gleichzeitig
stattfinden. Das kann natürlich auch ein dritter Beobachter sein, meist nimmt man aber einen
der beiden. Die Definition der Gleichzeitigkeit dient nur dazu, für zwei Ereignisse A und B
die zugehörigen Ereignisse A' und B' auf der anderen Weltlinie zu identifizieren. Daran
ist dann nichts koordinatenabhängig.
|
Doch, genau das ist Koordinatenabhängigkeit. Was du hier als für einen Beobachter gleichzeitig bezeichnest heißt, es ist in dem Ruhesystem dieses Beobachters gleichzeitig. Ob man das Ruhesystem nun explizit konstruiert oder nur implizit durch orthogonale Linien in der Raumzeit angibt, ist unerheblich. Fakt ist, dass die Gleichzeitigkeit Koordinatenabhängig ist.
Es ist aber nun nicht so, dass ein Beobachter untrennbar mit seinen Koordinaten verbunden ist. Niemand zwingt dich, die Welt in deinem Ruhesystem zu betrachten. Alle Beobachter können auch das selbe Koordinatensystem benutzen. Zum beispiel eben das Koordinatensystem des GPS. Die koordinatenzeit dieses Systems ist tatsächlich nicht durch eine Uhr realisiert, die auf dem Meeresspiegel steht. Sie sind durch viele Uhren an ganz unterschiedlichen Positionen realisiert, die sich nur alle durch Umrechnungsfaktoren auf die gleiche Zeit beziehen. Die Koordinaten des GPS sind in dem Sinne Beobachterunabhängig, dass es jedem Beobachter möglich ist, durch Empfang der Signale von mindestens vier Satelliten, seine Koordinaten zu bestimmen.
| Zitat: | Und wieso meinst du nun die Eigenzeit eines Beobachters per Konvention
auszuzeichen, sei unpraktisch? Das ist genauso praktisch oder unpraktisch wie eine Koordinatenzeit
auszuzeichnen. |
Hier hast du mich wieder missverstanden. Was ich unpraktisch finde ist, für jeden Beobachter ein anderes Koordinatensystem zu verwenden. Wenn du die Eigenzeit eines Beobachters auszeichnest und als Koordinatenzeit für alle Beobachter verwendest, dann bist du ja wieder bei eine globalen Definition von Gleichzeitigkeit. Das ist genau das, was ich bevorzuge.
| Zitat: | Eine Zeitkoordinate ist erstmal nichts weiter, als eine Zahl, deren Zusammenhang zu gemessenen
Zeiten abhängig ist von dem Beobachter, der mißt. Also ist schonmal nichts beobachterunabhängiges daran. |
Doch, jeder Beobachter kommt auf die richtige Zahl, wenn er die verabredete Methode zur Realisation der Koordinaten verwendet.
| Zitat: | Praktisch ist es also, wenn man schon eine Zeitkoordinate auszeichnen will, dafür die
Eigenzeit eines bestimmten Beobachters zu verwenden. |
Nicht unbedingt.
GPS definiert die Zeit nach einer hypothetischen Uhr auf Normal Null.
Die Standard Schwarzschildkoordinaten verwenden eine hypothetische Uhr im unendlichen.
Das sind alles nicht wirklich Eigenzeiten eines bestimmten Beobachters, sondern fiktive Rechengrößen, die aber den Charm haben für alle Beobachter gleich herauszukommen, wenn sie nur die richtigen verabredeten Messverfahren anwenden.
| Zitat: | Welche Physik? Wenn du mittels Koordiatenzeit t definierst, welche Ereignisse gleichzeitig sind,
ist das natürlich nicht in allen Koordinatensystemen gleich. |
Alle physikalischen Gesetzmäßigkeiten, die sich kovariant formulieren lassen, sind vom verwendeten Koordinatensystem unabhängig. Zeitdilatation und Gleichzeitigkeit gehören nicht dazu. Die sind koordinatenabhängig, aber das habe ich ja nun oft genug wiederholt.
Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv) |
|
| Nach oben |
|
|
Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 29.06.2008, 14:28 Titel: |
|
|
| Joachim hat Folgendes geschrieben: |
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Nein, man betrachtet zwei Ereignisse A und B auf der einen Weltlinie und mißt die Eigenzeit dazwischen.
Dann betrachtet man zwei andere Ereignisse A', B' auf der anderen Weltlinie und mißt wieder
die Eigenzeit dazwischen. Kommt im allgemeinen natürlich was anderes raus. Wirklich erstaunlich ist
das aber höchstens, wenn A und A' sowie B und B' für irgendeinen Beobachter gleichzeitig
stattfinden. Das kann natürlich auch ein dritter Beobachter sein, meist nimmt man aber einen
der beiden. Die Definition der Gleichzeitigkeit dient nur dazu, für zwei Ereignisse A und B
die zugehörigen Ereignisse A' und B' auf der anderen Weltlinie zu identifizieren. Daran
ist dann nichts koordinatenabhängig.
|
Doch, genau das ist Koordinatenabhängigkeit. Was du hier als für einen Beobachter gleichzeitig bezeichnest heißt, es ist in dem Ruhesystem dieses Beobachters gleichzeitig. Ob man das Ruhesystem nun explizit konstruiert oder nur implizit durch orthogonale Linien in der Raumzeit angibt, ist unerheblich. Fakt ist, dass die Gleichzeitigkeit Koordinatenabhängig ist.
|
Das ist eine reichlich merkwürdige Logik. Übersetze sie doch mal in die euklidische Geometrie. Ich benutze die auf
einer Kurve zwischen den Punkten x(0) und x(t) "vergangene" Länge l, um Punkten (in einer Umgebung von x(t)), die
Senkrecht zu x(t) stehen die Zahl l zuzuordnen. Diese Zahl kann ich als eine (von mehreren)
Koordinaten verwenden. Deswegen ist "orthogonal", deiner Ansicht nach, ein
Koordinatenabhängiger Begriff. Das ist doch Unsinn. Welche Punkte orthogonal zum Punkt
x(t) entlang der Kurve x sind, definiere ich mit Hilfe des Skalarprodukts g. Es sind
alle Lösungen y von
\[
g[x(t) - y, \dot{x}(t)] = 0 \]
Das ist nicht koordinatenabhängig nur weil ich allen y(t) dasselbe l als Koordinate zuordnen kann.
| Zitat: |
Die koordinatenzeit dieses Systems ist tatsächlich nicht durch eine Uhr realisiert, die auf dem Meeresspiegel steht. Sie sind durch viele Uhren an ganz unterschiedlichen Positionen realisiert, die sich nur alle durch Umrechnungsfaktoren auf die gleiche Zeit beziehen.
|
Ich sage ja, es ist kein Problem, solange die Bewegung und das Gravitationspotential bekannt ist.
Im übrigen wird die ZD zwischen verschiedenen Erduhren wohl nicht so groß sein, daß man sie nicht Näherungsweise
als eine Uhr ansehen kann, oder?
| Zitat: |
| Zitat: | Und wieso meinst du nun die Eigenzeit eines Beobachters per Konvention
auszuzeichen, sei unpraktisch? Das ist genauso praktisch oder unpraktisch wie eine Koordinatenzeit
auszuzeichnen. |
Hier hast du mich wieder missverstanden. Was ich unpraktisch finde ist, für jeden Beobachter ein anderes Koordinatensystem zu verwenden.
|
Davon habe ich nicht gesprochen. Und unpraktisch fandest du eine beobachterabhängige
Definition von Gleichzeitigkeit (obwohl es in der RT gar keine andere gibt) und wolltest
als Alternative eine koordinatenabhängige.
| Zitat: |
Wenn du die Eigenzeit eines Beobachters auszeichnest und als Koordinatenzeit für alle Beobachter verwendest, dann bist du ja wieder bei eine globalen Definition von Gleichzeitigkeit.
|
Nein, da bin ich nicht. Nur weil alle Beobachter wissen, wie spät es gerade auf deiner
Uhr ist, müssen sie noch nicht behaupten für sie sei es grad genauso spät.
| Zitat: |
| Zitat: | Eine Zeitkoordinate ist erstmal nichts weiter, als eine Zahl, deren Zusammenhang zu gemessenen
Zeiten abhängig ist von dem Beobachter, der mißt. Also ist schonmal nichts beobachterunabhängiges daran. |
Doch, jeder Beobachter kommt auf die richtige Zahl, wenn er die verabredete Methode zur Realisation der Koordinaten verwendet.
|
Wie macht er das denn nun? Jeder Beobachter mißt zunächst mal seine Eigenzeit. Und dann?
Jetzt will er wissen, wie spät es jetzt gerade auf der Uhr eines anderen Beobachters
(oder von mir aus wie groß t in irgendwelchen Koordinaten) ist. Woher weiß er nun, welches
Ereignis "jetzt gerade" für den anderen Beobachter stattfindet? Er kann schlecht zur
Definition von "jetzt gerade" die Zeitkoordinate verwenden, die er erst rauskriegen will.
| Zitat: |
| Zitat: | Praktisch ist es also, wenn man schon eine Zeitkoordinate auszeichnen will, dafür die
Eigenzeit eines bestimmten Beobachters zu verwenden. |
Nicht unbedingt.
GPS definiert die Zeit nach einer hypothetischen Uhr auf Normal Null.
Die Standard Schwarzschildkoordinaten verwenden eine hypothetische Uhr im unendlichen.
Das sind alles nicht wirklich Eigenzeiten eines bestimmten Beobachters,
|
Natürlich sind sie es. Die Schwarzschild-Zeit t ist natürlich eine Idealisierung--so wie
die Schwarzschildlösung selbst--, die näherungsweise von einer Uhr in großer Höhe gemessen
wird. Entscheidend ist aber auch nur, daß jede Zeitkoordinate einen bekannten Zusammenhang
zu gemessenen (d.h. Eigen-) Zeiten hat, sonst ist sie nutzlos.
| Zitat: |
sondern fiktive Rechengrößen, die aber den Charm haben für alle Beobachter gleich herauszukommen, wenn sie nur die richtigen verabredeten Messverfahren anwenden.
|
Wie so ein verabredetes Messverfahren aussieht, will ich ja gerade wissen. Im übrigen
spielt das bei GPS keine Rolle. Alles was du von den Satelliten brauchst, ist die Information
über das Sende-Ereignis selbst. Dies beinhaltet nur die Sendezeit und den Sendeort. Dieser Ort
ist ein Ereignis, welches im Erdsystem gleichzeitig zur Sendezeit stattfindet. Man benötigt
also die Gleichzeitigkeit auf der Erde und nicht die im Satelliten.
| Zitat: |
| Zitat: | Welche Physik? Wenn du mittels Koordiatenzeit t definierst, welche Ereignisse gleichzeitig sind,
ist das natürlich nicht in allen Koordinatensystemen gleich. |
Alle physikalischen Gesetzmäßigkeiten, die sich kovariant formulieren lassen, sind vom verwendeten Koordinatensystem unabhängig. Zeitdilatation und Gleichzeitigkeit gehören nicht dazu. Die sind koordinatenabhängig, aber das habe ich ja nun oft genug wiederholt. |
Und es ist oft genug korrigiert worden. Ich kann Gleichzeitigkeit genauso kovariant
definieren, wie "orthogonal" in euklidischer Geometrie. Das habe ich sogar getan und du hast
bestätigt, daß es koordinatenunabhängig ist. Tatsächlich bedeutet "orthogonal" und "gleichzeitig" fast
dasselbe. Daß ich darüber hinaus orthogonale Linien für die Errichtung eines
Koordinatensystems verwenden kann, macht den Begriff "orthogonal" nicht koordinatenabhängig.
Er ist nur abhängig von der Kurve (und vielleicht einen Punkt darauf), auf die er sich bezieht, mehr nicht.
Du würdest auch niemals auf die Idee kommen das Lot der Kurve y=2x parallel zur x-Achse
zu fällen, nur weil die x-Achse orthogonal zur y-Achse steht (oder aus welchen Gründen
auch immer). Trotzdem machst du so eine unsinnige Konstruktion in der Minkowski-Geometrie.
Das verhältnis der Eigenzeiten zwischen zwei Ereignissen auf der einen Weltlinie und den dazu
gleichzeitigen Ereignissen auf einer anderen Weltlinie ist nicht Koordinatenabhängig. |
|
| Nach oben |
|
|
Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
|
| Verfasst am: 29.06.2008, 18:46 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: | [
Das ist eine reichlich merkwürdige Logik. Übersetze sie doch mal in die euklidische Geometrie. Ich benutze die auf
einer Kurve zwischen den Punkten x(0) und x(t) "vergangene" Länge l, um Punkten (in einer Umgebung von x(t)), die
Senkrecht zu x(t) stehen die Zahl l zuzuordnen. Diese Zahl kann ich als eine (von mehreren)
Koordinaten verwenden. Deswegen ist "orthogonal", deiner Ansicht nach, ein
Koordinatenabhängiger Begriff. |
Nein, "orthogonal" ist meiner Ansicht nach nicht koordinatenabhängig. Aber Gleichzeitigkeit ist es. Wir sind uns offenbar einig, dass man Gleichzeitigkeit über orthogonalität definieren kann. Aber zu welcher Linie soll denn die Ebene der Gleichzeitigkeit orthogonal sein? Diese Linie musst du zunächst festlegen und diese Linie ist die Zeitachse des Koordinatensystems in dem du die Gleichzeitigkeit festlegst. Die Wahl der Zeitachse bedeutet zugleich die Festlegung auf bestimmte Koordinaten. Erst wenn du die Zeitachse deines Koordinatensystems festgelegt hast, kannst du über orthogonalität auf Gleichzeitigkeit schließen.
Wenn du die Weltlinie eines bestimmten Objektes zur Konstruktion von Gleichzeitigkeit benutzt, legst du dich darauf fest, ein Koordinatensystem zu wählen, in dem dieses Objekt ruht. Natürlich ist das Koordinatensystem damit nicht eindeutig bestimmt. Du hast noch Freiheiten bei der Wahl der anderen Koordinaten, aber deine Definition der Gleichzeitigkeit bleibt Koordinatenabhängig. Eine andere Wahl der Zeitachse führt auf andere Gleichzeitigkeiten.
Dazu kommt, dass im allgemeinen Fall von krummlinigen Koordinaten eine ganze Schar von Ebenen orthogonal zur gewählten Zeitachse sind. Das Objekt, dessen Weltlinie du zur Zeitachse bestimmst, definiert also nur in seiner infinitesimalen Umgebung eindeutige Gleichzeitigkeit.
Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv) |
|
| Nach oben |
|
|
Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 29.06.2008, 22:47 Titel: |
|
|
| Joachim hat Folgendes geschrieben: | | Erik hat Folgendes geschrieben: | [
Das ist eine reichlich merkwürdige Logik. Übersetze sie doch mal in die euklidische Geometrie. Ich benutze die auf
einer Kurve zwischen den Punkten x(0) und x(t) "vergangene" Länge l, um Punkten (in einer Umgebung von x(t)), die
Senkrecht zu x(t) stehen die Zahl l zuzuordnen. Diese Zahl kann ich als eine (von mehreren)
Koordinaten verwenden. Deswegen ist "orthogonal", deiner Ansicht nach, ein
Koordinatenabhängiger Begriff. |
Nein, "orthogonal" ist meiner Ansicht nach nicht koordinatenabhängig. Aber Gleichzeitigkeit ist es.
|
Und darin soll ich jetzt einen Sinn sehen?
"Gleichzeitig" := "orthogonal zur Weltlinie". Das ist die Definition.
| Zitat: |
Wir sind uns offenbar einig, dass man Gleichzeitigkeit über orthogonalität definieren kann.
|
Sind wir? Um so unverständlicher dein Einleitungssatz.
| Zitat: |
Aber zu welcher Linie soll denn die Ebene der Gleichzeitigkeit orthogonal sein?
|
Auf welcher Linie soll denn das Lot gefällt werden? Auf der Linie, um deren Lot es eben
geht. Also definiere ich Gleichzeitigkeit bzgl. der Weltlinie des Beobachters, um dessen
Gleichzeitigkeit es geht.
| Zitat: |
Diese Linie musst du zunächst festlegen und diese Linie ist die Zeitachse des Koordinatensystems in dem du die Gleichzeitigkeit festlegst.
|
Ich muß übergaupt nichts festlegen.
Ich stelle Orthogonalität zur Weltlinie des Beobachters fest, um dessen Gleichzeitigkeit es
geht. Das mache ich mit der Minkowski-Metrik (weniger abstrakt: mit geeigneten Lichtstrahlen).
Das kann ich völlig ohne Koordinatensystem definieren. Zum ausrechnen nehme ich natürlich
irgendein Koordinatensystem. Aber welche Ereignisse dann orthogonal im Sinne der
Raumzeitmetrik sind, ist natürlich davon unabhängig.
Die so ermittelten Ereignisse nenne ich "zueinander gleichzeitig". Dafür lege ich nicht erst eine
Zeitkoordinate fest. Daß ich anschließend den so definierten gleichzeitigen Ereignissen die Eigenzeit
$ \tau $ als Zeitkoordinate zuordnen kann, macht die vorher benutzte Definition von
Gleichzeitigkeit nicht koordinatenabhängig. Wenn ich ein anderes Koordinatensystem
wähle, sind definitionsgemäß immer noch dieselben Ereignisse für diesen Beobachter zueinander
gleichzeitig. Sie haben nur eine andere Zeitkoordinate. Das ist doch eigentlich nicht so schwer.
| Zitat: |
Erst wenn du die Zeitachse deines Koordinatensystems festgelegt hast, kannst du über orthogonalität auf Gleichzeitigkeit schließen.
|
Ich schließe nicht von Orthogonalität auf Gleichzeitigkeit, sondern definiere "geichzeitig = orthogonal zur
Weltlinie im Minkowskiraum". Warum, muß ich hoffentlich nicht noch rechtfertigen.
| Zitat: |
Wenn du die Weltlinie eines bestimmten Objektes zur Konstruktion von Gleichzeitigkeit benutzt, legst du dich darauf fest, ein Koordinatensystem zu wählen, in dem dieses Objekt ruht.
|
Nein, wenn ich ein Lot auf einer Kurve fälle, lege ich mich auch nicht auf ein
Koordinatensystem fest, in dem die Kurve eine Koordinatenlinie ist. Ich benutze einfach das
euklidische Skalarprodukt und fälle das Lot. Fertig. Zur Not tue ich das in irgendeinem Koordinatensystem.
Aber wenn ich ein anderes wähle, muß natürlich dasselbe Lot dabei rauskommen. Genauso
muß in der Raumzeit die Menge aller gleichzeitigen Ereignisse für einen bestimmten Beobachter
unabhängig vom Koordinatensystem sein.
| Zitat: |
Natürlich ist das Koordinatensystem damit nicht eindeutig bestimmt. Du hast noch Freiheiten bei der Wahl der anderen Koordinaten, aber deine Definition der Gleichzeitigkeit bleibt Koordinatenabhängig.
|
Die RT-Definition von "gleichzeitig" ist (im wesentlichen) "orthogonal zur Weltlinie". Damit ist beides
koordinatenunabhängig.
| Zitat: |
Eine andere Wahl der Zeitachse führt auf andere Gleichzeitigkeiten.
|
Nein, eine andere Wahl der Zeitachse führt dazu, daß den vorher definierten gleichzeitigen
Ereignissen nun i.a. verschiedene t-Werte zugeordnet werden. Es bleiben aber dieselben Ereignisse.
Im übrigen wüßte ich nun gern noch wie der Beobachter die Zuordnung zwischen Ereignissen
und einer anderen Koordinate vornimmt. Also eine Antwort auf diese Frage:
| Zitat: |
| Zitat: |
Doch, jeder Beobachter kommt auf die richtige Zahl, wenn er die verabredete Methode zur Realisation der Koordinaten verwendet.
|
Wie macht er das denn nun? Jeder Beobachter mißt zunächst mal seine Eigenzeit. Und dann?
Jetzt will er wissen, wie spät es jetzt gerade auf der Uhr eines anderen Beobachters
(oder von mir aus wie groß t in irgendwelchen Koordinaten) ist. Woher weiß er nun, welches
Ereignis "jetzt gerade" für den anderen Beobachter stattfindet? Er kann schlecht zur
Definition von "jetzt gerade" die Zeitkoordinate verwenden, die er erst rauskriegen will.
|
| Zitat: |
Dazu kommt, dass im allgemeinen Fall von krummlinigen Koordinaten eine ganze Schar von Ebenen orthogonal zur gewählten Zeitachse sind.
|
???
| Zitat: |
Das Objekt, dessen Weltlinie du zur Zeitachse bestimmst, definiert also nur in seiner infinitesimalen Umgebung eindeutige Gleichzeitigkeit.
|
Falsch. Wie groß die Umgebung ist, kommt auf die Raumzeit und die betrachtete Weltlinie an.
Auch die Ruhekoordinaten kann ich aber in keiner größeren Umgebung definieren. |
|
| Nach oben |
|
|
Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
|
| Verfasst am: 30.06.2008, 08:10 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Die RT-Definition von "gleichzeitig" ist (im wesentlichen) "orthogonal zur Weltlinie". Damit ist beides
koordinatenunabhängig.
|
Das ist deine Definition. Meine ist "orthogonal zur Zeitachse". Zumindest Landau und Lifschitz stimmen mir in diesem Punkt zu. Siehe Theoretische Physik Band II §84.
Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv) |
|
| Nach oben |
|
|
Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 30.06.2008, 15:30 Titel: |
|
|
| Joachim hat Folgendes geschrieben: | | Erik hat Folgendes geschrieben: |
Die RT-Definition von "gleichzeitig" ist (im wesentlichen) "orthogonal zur Weltlinie". Damit ist beides
koordinatenunabhängig.
|
Das ist deine Definition. Meine ist "orthogonal zur Zeitachse".
|
Und wenn du eine andere Zeitachse wählst, ändern sich die zueinenader gleichzeitigen
Ereignisse.
Ist Gleichzeitigkeit deiner Ansicht nach meßbar? Wie stellt ein Beobachter fest,
ob ein entferntes Ereignis gleichzeitig zu einem Ereignis auf seiner Weltlinie stattfindet.
Es stehen ja keine Zeitachsen irgendwo rum.
| Zitat: |
Zumindest Landau und Lifschitz stimmen mir in diesem Punkt zu. Siehe Theoretische Physik Band II §84. |
Nein. Sie definieren Gleichzeitigkeit für den Beobachter, der in den Koordinaten ruht. Das
besagen Gln. (84.1, 84.2). Dann stimmt die Weltlinie mit der Zeitachse in diesem Punkt
überein.
Diese Definition ist nicht koordinatenabhängig, weil derselbe Beobachter nicht bzgl.
Koordinaten mit einer anderen Zeitachse ruht. (Dazu unten mehr)
Da sieht man auch, daß es besser ist, das Definieren den koordinatenunabhängigen Begriffen
zu überlassen und erst beim Rechnen Koordinaten zu wählen. Landau-Lifschitz verwenden
Koordinaten zur Definition, das stimmt. Da steckt aber eine invariante Aussage drin, die
im Koordinatensystem nicht ohne weiteres sichtbar ist. Diese invariante Aussage hat auch was
mit der Koordinatenbedingung $ g_{00} > 0 $, Gl. (84.3) zu tun. Die besagt ja, daß es also nicht
für beliebige Koordinatensysteme funktioniert. Der Grund ist kein anderer, als daß sich die
"Koordinatenlinie" $ x^i= $const. als Weltlinie für einen Beobachter eignen muß. Das geht nur unter
der Bedingung (84.3). Und damit bist du dann sofort bei der Gleichzeitigkeitsdefinition für
diesen Beobachter.
Auf Seite 280 (12. Auflage) lesen wir nun wie diese Definition von Gleichzeitigkeit aussieht:
| Zitat: |
Als gleichzeitig zum Zeitpunkt $ x^0 $ im Punkte A kann man diejenige Stellung der Uhrzeiger im
Punkte B ansehen, die in der Mitte zwischen den Zeitpunkten des Absendens [eines Lichtsignals
von B nach A] und Widereintreffens des Signals in B liegt, [...]
|
Die Koordinatenunabhängigkeit dieser Definition ist bereits evident, denn welches Ereignis
in der Mitte zwischen Senden und Wiedereintreffens von Lichtsignalen liegt, ist keine
koordinatenabhängige Frage. Die "Mitte" wird hier natürlich mit der Raumzeitmetrik, d.h.
mit der Eigenzeit der B-Uhr gemessen. Es ist nämlich (Bezeichner wie in Landau-LIfschitz) die
zwischen den Ereignissen $ x^0 + \Delta x^0 $ und $ x^0 + dx^{0(2)} $ auf der B-Uhr
vergangene Eigenzeit
\[
\sqrt{g_{00}}{dx^{0(2)} - dx^{0(1)}\over 2} = d\tau , \qquad (*)
\]
genauso groß, wie die zwischen den Ereignissen $ x^0 + dx^{0(1)} $ und $ x^0 + \Delta x^0 $.
(Gl. (*) ist äquivalent zur Gl. direkt vor (84.14) unter Benutzung von Gl. (84.1))
Die Koordinaten-Bedingung für dieses Ereignis lautet nun
\[
\Delta x^0 = - \frac{g_{0a} dx^a}{ g_{00}}. \qquad (84.14)
\]
Da wir ein spezielles Koordinatensystem verwenden, in dem die 4-Geschwindigkeit der Uhr
$ u = e_0 $ ist, bedeutet meine Definition genau
\[
g(u, x) = g(e_0, \Delta x^\mu e_\mu) = g_{00}\Delta x^0 + g_{0a}\Delta x^a =0
\]
also genau dieselbe Bedingung. In einem anderen Koordinatensystem kannst du natürlich dieselbe
Koordinatenbedingung (84.14) fordern, nur bedeutet dann die linke Seite von (*) nicht mehr die
zwischen der Mitte und dem Wiederempfang bzw. dem Senden und der Mitte vergangene Eigenzeit,
da die Gln. (84.1, 84.2) nicht mehr gelten. Anders ausgedrückt, die Gl. vor (84.14) stellt nicht
mehr die Koordinatenzeit dieser Mitte dar. Damit ist für diese Ereignisse die Gleichzeitigkeitsdefinition S. 280
nicht mehr erfüllt. |
|
| Nach oben |
|
|
Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 30.06.2008, 17:43 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
In einem anderen Koordinatensystem kannst du natürlich dieselbe
Koordinatenbedingung (84.14) fordern, nur bedeutet dann die linke Seite von (*) nicht mehr die
zwischen der Mitte und dem Wiederempfang bzw. dem Senden und der Mitte vergangene Eigenzeit,
da die Gln. (84.1, 84.2) nicht mehr gelten. Anders ausgedrückt, die Gl. vor (84.14) stellt nicht
mehr die Koordinatenzeit dieser Mitte dar.
|
Der Vollständigkeit halber will ich das mal erläutern:
Sei
$ x+dx^1 $ das Sendeereignis (Uhr B),
$ x $ das Empfangsereignis (Uhr A),
$ x+dx^2 $ das Ereignis des Wiederempfangs (Uhr B) und
$ x +\Delta x $ das zum Empfang bei A gesuchte gleichzeitige Ereignis bei der Uhr B.
(Das ist wieder die Notation aus Landau-Lifschitz). Wir wenden die Definition von
Landau-Lifschitz in beliebigen Koordinaten an.
Statt der Bedingung
\[ dx^{0(2)} - \Delta x^0 = \Delta x^0 - dx^{0(1)} \]
(Gl. unmittelbar vor (84.14)) zur Bestimmung der Mitte zwischen Senden und Wiederempfang
bei B, müssen wir nun die Bedingung (zunächst noch koordinatenunabhängig)
\[
g(dx^2 - \Delta x, dx^2 - \Delta x) = g(\Delta x - dx^1, \Delta x - dx^1)
\]
verwenden. Diese sagt genau aus, daß der Abstand auf der Weltlinie der Uhr B zwischen dem
Senden und dem gesuchten Ereignis genauso groß ist, wie der Abstand zwischen dem gesuchten Ereignis
und dem Wiederempfang. Mit anderen Worten: Das gesuchte (gleichzeitige) Ereignis liegt
genau in der "Mitte" zwischen Senden und erneuten Empfang. (Das ist die Definition von Landau-Lifschitz.)
Benutzen wir, daß die Intervalle $ dx^1 $ und $ dx^2 $ lichtartig sind, erhalten wir
\[
g(\Delta x, dx^2) - g(\Delta x, dx^1) = 0.
\]
Wir werten dies in beliebigen Koordinaten aus. Zunächst ist $ dt:=dx^{0(2)} - dx^{0(1)} $, die
zwischen Senden und Wiederempfang vergangene Koordinatenzeit und $ dx^a= dx^{a(2)} - dx^{a(1)} $ ist
der von B inzwischen zurückgelegte räumliche Vektor in diesen Koordinaten. Folglich ist
$ v^a = dx^a/dt $, die momentane Koordinatengeschwindigkeit der Uhr. Damit ergibt sich, statt
Gl. (84.14)
\[
(g_{00} + g_{a0}v^a)\Delta x^0 + g_{0a}\Delta x^a + g_{ab} v^a\Delta x^b = 0.
\]
\[
\Delta x^0 = -\frac{ g_{0a} + g_{ba}v^b}{g_{00} + g_{0b}v^b} \Delta x^a \]
Dasselbe, nur schneller, ergibt sich wieder durch die Orthogonalitäts-Bedingung
\[
g(u, \Delta x) = 0,
\]
wobei jetzt $ u^\mu e_\mu = {d x^\mu\over d\tau}e_\mu $ ist. Da aber nur zu u orthogonale Vektoren
gesucht sind, kann man statt nach der Eigenzeit auch nach der Koordinatenzeit $ x^0 $ ableiten,
wodurch u lediglich umskaliert wird. Damit erhält man sofort
\[
g_{00}\Delta x^0 + g_{0a}\Delta x^a + g_{a0}v^a \Delta x^0 + g_{ab}v^a\Delta x^b = 0,
\]
also wieder dasselbe.
In den Koordinaten, in denen die Uhr ruht $ v^a = 0 $ und nur in diesen, kommt wieder
Gl. (84.14) raus. |
|
| Nach oben |
|
|
Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
|
| Verfasst am: 01.07.2008, 17:36 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Die Koordinatenunabhängigkeit dieser Definition ist bereits evident, denn welches Ereignis
in der Mitte zwischen Senden und Wiedereintreffens von Lichtsignalen liegt, ist keine
koordinatenabhängige Frage. |
Meines Erachtens ist hier die Koordinatenabhängigkeit evident. Denn die Definition bezieht sich auf ein Signal, das von einem Ort B zu einem infinitesimal benachbarten Ort A und wieder zurück zum Ort B geht. Was hierbei "wider zurück zum Ort B" meint ist eindeutig koordinatenabhängig. Die beiden Ereignisse am Ort B finden halt nur in bestimmten Koordinatensystemen am selben Ort statt. Nach einer Koordinatentransformation können sie an verschiedenen Orten stattfinden. Damit taugen sie nicht mehr als Definition von Gleichzeitigkeit zwischen zwei benachbarten Orten.
Oder anders ausgedrückt: Landau und Lifschitz definieren Gleichzeitigkeit über zwei (fiktive) Uhren, die im betrachteten Koordinatensystem ruhen und ein Signal austauschen. Synchronisiert man diese beiden Uhren in diesem Koordinatensystem, so werden sie, aus einem anderen Koordinatensystem heraus betrachtet, im allgemeinen nicht synchron gehen.
Natürlich, das habe ich bereits zugegeben, kann man Gleichzeitigkeit auch statt zwischen zwei Raumpunkten zwischen zwei Objekten definieren. Das ist dann zwar Koordinatenunabhänig aber für praktische Anwendungen wenig nützlich. Einer der Hauptnachteile ist, dass deine Objektabhängige Gleichzeitigkeit nicht einmal umkehrbar ist. Zwei Ereignisse an den Ojekten A und B können für A gleichzeitig und für B zu verschiedenen Zeiten stattfinden. Deutet man Landau und Lifschitz' Definition dagegen (so wie ich das tue) koordinatenabhängig, so kann man durch Integration über einen Weg die Zeiten beliebig vieler Raumpunkte zueinander synchronisieren. Für den Spezialfall g01=g02=g03=0 sind sogar alle Uhren in diesem Koordinatensystem synchronisierbar. (In der Schwarzschildmetrik zum Beispiel.)
Landau und Lifschitz weisen sogar explizit auf die Koordinatenabhängigkeit ihrer Definition hin (Seite 281, Auflage 12):
| Zitat: | | Wir betonen, daß die Unmöglichkeit einer Synchronisierung aller Uhren eine Eigenschaft des willkürlich wählbaren Bezugssystems ist... |
Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv) |
|
| Nach oben |
|
|
Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 01.07.2008, 22:56 Titel: |
|
|
| Joachim hat Folgendes geschrieben: | | Erik hat Folgendes geschrieben: |
Die Koordinatenunabhängigkeit dieser Definition ist bereits evident, denn welches Ereignis
in der Mitte zwischen Senden und Wiedereintreffens von Lichtsignalen liegt, ist keine
koordinatenabhängige Frage. |
Meines Erachtens ist hier die Koordinatenabhängigkeit evident. Denn die Definition bezieht sich auf ein Signal, das von einem Ort B zu einem infinitesimal benachbarten Ort A und wieder zurück zum Ort B geht. Was hierbei "wider zurück zum Ort B" meint ist eindeutig koordinatenabhängig.
|
Die Definition bezieht sich auf ein Signal, das von einer Uhr zur anderen Uhr und
wieder zurück läuft. Insgesamt sind hier lediglich 4 Ereignisse beteiligt, von denen
3 auf derselben Weltlinie liegen. (Das müssen sie, sonst macht die Behauptung
eins liege genau in der Mitte der beiden anderen keinen Sinn.)
Von den Koordinaten hängt nur ab, welche Namen diese Ereignisse in der Definition haben und
ob z.B. zwei am selben Ort stattfinden. Nur ist das völlig egal.
| Zitat: |
Die beiden Ereignisse am Ort B finden halt nur in bestimmten Koordinatensystemen am selben Ort statt. Nach einer Koordinatentransformation können sie an verschiedenen Orten stattfinden.
|
Das weiß ich. Ich habe es ja gerade vorgerechnet. Was meinst du warum in der allgemeinen
Formel die Geschwindigkeit der Uhr eine Rolle spielt? Nur bleiben es eben dieselben Ereignisse.
Lediglich die koordinatenabhängige Gl. (84.14), die diese Koordinatennamen festlegt, gilt
dann nicht mehr.
Nichts anderes machen Koordinatentransformationen: sie ändern die Namen von Ereignissen.
| Zitat: |
Damit taugen sie nicht mehr als Definition von Gleichzeitigkeit zwischen zwei benachbarten Orten.
|
Sollen sie auch nicht. Die Definition erfordert die Bestimmung der Mitte zwischen
zwei Ereignissen. Das bezieht sich auf eine zeitartige Weltlinie, auf der diese Ereignisse
liegen, nicht auf einen Ort.
| Zitat: |
Oder anders ausgedrückt: Landau und Lifschitz definieren Gleichzeitigkeit über zwei (fiktive) Uhren, die im betrachteten Koordinatensystem ruhen und ein Signal austauschen.
|
Sie definieren, welches Ereignis $ (x^0+\Delta x^0, B) $ auf der Weltlinie einer Uhr gleichzeitig zum
Ereignis $ (x^0, A) $ ist. Ob du statt $ (x^0, A) $ und $ (x^0+\Delta x^0, B) $ irgendwelche anderen
Zahlentupel verwendest, in denen Sende- und Empfangs-Ereignisse verschiedenes B haben, ist
der Definition vollkommen egal.
| Zitat: |
Synchronisiert man diese beiden Uhren in diesem Koordinatensystem, so werden sie, aus einem anderen Koordinatensystem heraus betrachtet, im allgemeinen nicht synchron gehen.
|
Doch, allerdings interessiert mich gar nicht, ob die Uhren synchron gehen. Ich will nur die
gleichzeitigen Ereignisse für die B Uhr bestimmen. Dazu brauche ich nicht mal eine zweite
Uhr bei A.
| Zitat: |
Natürlich, das habe ich bereits zugegeben, kann man Gleichzeitigkeit auch statt zwischen zwei Raumpunkten zwischen zwei Objekten definieren. Das ist dann zwar Koordinatenunabhänig aber für praktische Anwendungen wenig nützlich.
|
Genau im Gegenteil. Eine Definition von gleichzeitig, die sich auf irgendeine fiktive
Zeitachse bezieht ist nicht nur unpraktisch, sondern vollkommen untauglich.
Die Definition von Gleichzeitigkeit stützt sich darauf, daß ein Beobachter das Senden
und Wiedereintreffen eines Lichtsignals registriert und folglich entsprechende Eigenzeiten
einfach von seiner Uhr abliest. Würde er versuchen, Gleichzeitigkeit bzgl. irgendeiner anderen
zeitartigen Achse zu definieren, lägen gar nicht alle relevanten Ereignisse auf seiner
Weltlinie. Zwischen welchen Eigenzeiten bestimmt er also die Mitte? Woher soll er wissen
wann das Ereignis stattfindet, an dem das Lichtsignal wieder die Zeitachse schneidet, von der
er sich inzwischen räumlich entfernt hat? Dazu müßte er wissen, welches Ereignis auf seiner
Weltlinie gleichzeitig zu diesem Schnittpunkt ist. Das ist genau das Problem, mit dem er
angefangen hat: Gleichzeitigkeit zu einem von ihm räumlich entfernten Ereignis
festzustellen.
Das Problem mit deiner Sichtweise ist, daß du davon auszugehen scheinst, Koordinaten könne
man nach deren Festlegung einfach in der Realität ablesen. Es ist aber genau umgekehrt:
Jeder Beobachter benutzt die Definition von Gleichzeitigkeit bzgl. seiner Weltlinie um
überhaupt erstmal jedem Ereignis (in seiner Umgebung) eine Zeitkoordinate zuzuordnen. Ohne
Gleichzeitigkeit gibt es gar keine Zeitkoordinaten von entfernten Ereignissen. Deswegen
frage ich dich auch schon seit Tagen--leider vergeblich--, wie ein Beobachter nach deiner
Definition überhaupt durch Messung feststellt, zu welchen Ereignissen auf seiner Weltlinie
irgendein gegebenes Ereignis gleichzeitig ist.
| Zitat: |
Einer der Hauptnachteile ist, dass deine Objektabhängige Gleichzeitigkeit nicht einmal umkehrbar ist. Zwei Ereignisse an den Ojekten A und B können für A gleichzeitig und für B zu verschiedenen Zeiten stattfinden.
|
Du hast es erfaßt. Das nennt man "Relativität der Gleichzeitigkeit". Genau das ist der Grund, warum
Zeitdilatation gegenseitig sein kann und die erste Uhr langsamer gehen kann, als die zweite und
ebenso die zweite langsamer, als die erste. Man mißt nämlich die Zeit zwischen Ereignissen die
im ersten Fall dem einen Beobachter, im zweiten Fall dem anderen Beobachter gleichzeitig sind.
In der Tat, einer der Hauptnachteile der Raumzeit nur leider nicht zu ändern. Es gilt übrigens auch, wenn
du oben "Objekt" durch "Zeitachse" ersetzt (womit wir deine Definition hätten), nur scheint dich das nicht
weiter zu stören.
Tatsächlich ist beides genau dasselbe. Denn jede Zeitachse mit der Koordinatenbedingung \(g_{00} >0\)
ist eine mögliche Weltlinie eines Beobachters und jeder Beobachter nimmt seine Weltlinie
als Zeitachse seines Ruhesystems. Das absurde ist nur, daß du behauptest, es sei für einen
Beobachter praktisch, Gleichzeitigkeit mittels der Weltlinie eines anderen Beobachters zu
definieren.
| Zitat: |
Deutet man Landau und Lifschitz' Definition dagegen (so wie ich das tue) koordinatenabhängig, so kann man durch Integration über einen Weg die Zeiten beliebig vieler Raumpunkte zueinander synchronisieren. Für den Spezialfall g01=g02=g03=0 sind sogar alle Uhren in diesem Koordinatensystem synchronisierbar. (In der Schwarzschildmetrik zum Beispiel.)
Landau und Lifschitz weisen sogar explizit auf die Koordinatenabhängigkeit ihrer Definition hin (Seite 281, Auflage 12):
| Zitat: | | Wir betonen, daß die Unmöglichkeit einer Synchronisierung aller Uhren eine Eigenschaft des willkürlich wählbaren Bezugssystems ist... |
|
Das bezieht sich also auf die Möglichkeit zur Synchronisierung, nicht die Definition von Gleichzeitigkeit.
Im Augenblick interessiert aber gar nicht, ob man alle Uhren synchronisieren kann. Ich will zuerst
die Ereignisse wissen, die für die Uhr B gleichzeitig sind. Wenn wir das geschafft
haben, definieren wir, daß eine Uhr A mit B synchron geht, wenn sie in den für B gleichzeitigen
Ereignissen stets dieselbe Zeit anzeigt wie B selbst. Dann untersuchen wir, ob die obige Behauptung
von Landau-Lifschitz stimmt. |
|
| Nach oben |
|
|
Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
|
| Verfasst am: 02.07.2008, 10:27 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: |
Das Problem mit deiner Sichtweise ist, daß du davon auszugehen scheinst, Koordinaten könne
man nach deren Festlegung einfach in der Realität ablesen. Es ist aber genau umgekehrt:
Jeder Beobachter benutzt die Definition von Gleichzeitigkeit bzgl. seiner Weltlinie um
überhaupt erstmal jedem Ereignis (in seiner Umgebung) eine Zeitkoordinate zuzuordnen. Ohne
Gleichzeitigkeit gibt es gar keine Zeitkoordinaten von entfernten Ereignissen. Deswegen
frage ich dich auch schon seit Tagen--leider vergeblich--, wie ein Beobachter nach deiner
Definition überhaupt durch Messung feststellt, zu welchen Ereignissen auf seiner Weltlinie
irgendein gegebenes Ereignis gleichzeitig ist.
|
Das kommt auf die Realisierung des Koordinatensystems an. Wenn ich die Metrik meines Koordinatensystems kenne, kann ich durch Ranging-Methoden, also durch den Austausch definierter Signale beliebige Uhren relativ zu meinem Koordinatensystem synchronisieren. Ich kann auch, wenn ich ein Signal empfange, geometrisch ermitteln, wann und wo es stattgefunden hat. Damit weiß ich dann auch, mit welchem Ereignis auf meiner Weltlinie es gleichzeitig war. Vorausgesetzt ist natürlich, dass das Signal Informationen über die Entfernung des Ereignisses enthält. Die bekomme ich, bei nicht all zu großen Entfernungen, durch Triangulation.
Da ein Koordinatensystem in der ART ein beliebiges Verfahren ist, jedem Raum-Zeit-Punkt ein Zahlenquadrupel zuzuordnen, kann man schlecht ein allgemeines Verfahren angeben. Es hängt von den Details der Metrik ab.
| Zitat: | Du hast es erfaßt. Das nennt man "Relativität der Gleichzeitigkeit". Genau das ist der Grund, warum
Zeitdilatation gegenseitig sein kann und die erste Uhr langsamer gehen kann, als die zweite und
ebenso die zweite langsamer, als die erste. Man mißt nämlich die Zeit zwischen Ereignissen die
im ersten Fall dem einen Beobachter, im zweiten Fall dem anderen Beobachter gleichzeitig sind.
In der Tat, einer der Hauptnachteile der Raumzeit nur leider nicht zu ändern. Es gilt übrigens auch, wenn
du oben "Objekt" durch "Zeitachse" ersetzt (womit wir deine Definition hätten), nur scheint dich das nicht
weiter zu stören. |
Erfasst habe ich das schon lange. Das ist SRT. Nur ist das eben Koordinatenabhängig. Im Inertialsystem des einen Zwillings ist Gleichzeitigkeit anders als im Inertialsystem des anderen. Ich gehe davon aus, dass du weißt, dass es den Zwillingen frei steht das selbe Koordinatensystem zu benutzen. In dem Fall ist auch klar, wessen Uhr schneller und wessen Uhr langsamer geht und Gleichzeitigkeit ist global definiert. Sie können dann beide ihre Uhren so modifizieren, dass sie um den Gamma-Faktor schneller gehen und Koordinatenzeit anzeigen. In der ART kann man solch eine globale Synchronisation für beliebige Koordinatensysteme mit g01=g02=g03=0 erreichen. Man stellt zum Beispiel die Uhren der GPS-Satelliten so, dass sie uns verraten, zu welcher Koordinatenzeit und an welchen Raumkoordinaten das Signal generiert wurde.
Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv) |
|
| Nach oben |
|
|
Erik
Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565
|
| Verfasst am: 02.07.2008, 17:43 Titel: |
|
|
| Joachim hat Folgendes geschrieben: | | Erik hat Folgendes geschrieben: |
Das Problem mit deiner Sichtweise ist, daß du davon auszugehen scheinst, Koordinaten könne
man nach deren Festlegung einfach in der Realität ablesen. Es ist aber genau umgekehrt:
Jeder Beobachter benutzt die Definition von Gleichzeitigkeit bzgl. seiner Weltlinie um
überhaupt erstmal jedem Ereignis (in seiner Umgebung) eine Zeitkoordinate zuzuordnen. Ohne
Gleichzeitigkeit gibt es gar keine Zeitkoordinaten von entfernten Ereignissen. Deswegen
frage ich dich auch schon seit Tagen--leider vergeblich--, wie ein Beobachter nach deiner
Definition überhaupt durch Messung feststellt, zu welchen Ereignissen auf seiner Weltlinie
irgendein gegebenes Ereignis gleichzeitig ist.
|
Das kommt auf die Realisierung des Koordinatensystems an. Wenn ich die Metrik meines
Koordinatensystems kenne, kann ich durch Ranging-Methoden, also durch den Austausch
definierter Signale beliebige Uhren relativ zu meinem Koordinatensystem synchronisieren.
Ich kann auch, wenn ich ein Signal empfange, geometrisch ermitteln, wann und wo es
stattgefunden hat. Damit weiß ich dann auch, mit welchem Ereignis auf meiner Weltlinie
es gleichzeitig war.
|
Richtig ist, daß Du derjenige bist, der die Lichtsignale austauscht, d.h. feststellst
wann sie deine Weltlinie kreuzen. Damit stellst du Gleichzeitigkeit relativ zu
deiner Weltlinie fest und nicht bzgl. irgendeiner Achse. Und die notwendige Kenntnis
der Metrik liefert dir allein deine vergangen Eigenzeit. Mehr brauchst du nicht. Das ist
genau die Definition, von der ich rede.
Du wolltest aber Gleichzeitigkeit "global" als "orthogonal zur Zeitachse" definieren. Dazu müßte
von jedem Beobachter festgestellt werden, wann die Lichtsignale diese Zeitachse schneiden
und dann müßte die auf dieser Zeitachse liegende Mitte beider Ereignisse ermittelt werden.
Wie das für irgendeinen Beobachter gehen gehen soll, der sich gar nicht in der Nähe dieser Achse
befindet, mußt du erklären. Bevor der Beobachter bereits einen Begriff von Gleichzeitigkeit
hat, weiß er gar nicht wann ein Lichtssignal irgendwo eintrifft.
Du kannst schlecht von der Situation ausgehen, in der dir schon die Zeitkoordinaten jedes
Ereignisses bekannt sind. Dann hättest du das eigentliche Problem nicht gelöst. Und vorher
kennst du auch die Metrikkoeffizienten nicht. Also, jeder Beobachter hat eine Uhr und
kannst Lichtsignale senden und empfangen, sonst nichts. Beschriftete Zeitachsen in
der Raumzeit, die praktischerweise jeder ablesen kann, gibt es nun mal nicht.
Im Prinzip deutest Du eine Lösung ja schon an: man müßte überall synchronisierte
Uhren verteilen. Dann können alle Beobachter die Eigenzeit des Beobachters, zu der
die Uhren synchron laufen, einfach an der Uhr ablesen, die eben gerade vorbeigeflogen kommt.
Nur kannst du das ja nicht ernsthaft als "praktisch" bezeichnen.
| Zitat: |
Vorausgesetzt ist natürlich, dass das Signal Informationen über die Entfernung des
Ereignisses enthält. Die bekomme ich, bei nicht all zu großen Entfernungen, durch
Triangulation.
|
Wozu willst du das wissen? Du brauchst nicht die Entfernung, um festzustellen, wann das
Ereignis stattgefunden hat.
| Zitat: |
Da ein Koordinatensystem in der ART ein beliebiges Verfahren ist, jedem Raum-Zeit-Punkt ein
Zahlenquadrupel zuzuordnen, kann man schlecht ein allgemeines Verfahren angeben.
Es hängt von den Details der Metrik ab.
|
Du darfst dir gern irgendein Koordinatensystem aussuchen. Ich will nur wissen, wie ein beliebiger
Beobachter allein mit Hilfe seiner Uhr und Lichtstrahlen (wie bei Landau-Lifschitz) feststellt,
zu welcher Koordinatenzeit t ein bestimmtes Ereignis stattfindet. Natürlich kennt er die Zeitkoordinate
dieses Ereignisses vorher noch nicht.
| Zitat: |
| Zitat: | Du hast es erfaßt. Das nennt man "Relativität der Gleichzeitigkeit". Genau das ist der Grund, warum
Zeitdilatation gegenseitig sein kann und die erste Uhr langsamer gehen kann, als die zweite und
ebenso die zweite langsamer, als die erste. Man mißt nämlich die Zeit zwischen Ereignissen die
im ersten Fall dem einen Beobachter, im zweiten Fall dem anderen Beobachter gleichzeitig sind.
In der Tat, einer der Hauptnachteile der Raumzeit nur leider nicht zu ändern. Es gilt übrigens auch, wenn
du oben "Objekt" durch "Zeitachse" ersetzt (womit wir deine Definition hätten), nur scheint dich das nicht
weiter zu stören. |
Erfasst habe ich das schon lange. Das ist SRT. Nur ist das eben Koordinatenabhängig.
|
Hast du jetzt den Faden verloren?
Genau diese Relativität der Gleichzeitigkeit bemängeltest du gerade als "Hauptnachteil" "meiner"
Gleichzeitigkeitsdefinition, von der Du eine Zeile vorher noch schriebst:
| Joachim hat Folgendes geschrieben: |
Natürlich, das habe ich bereits zugegeben, kann man Gleichzeitigkeit auch statt zwischen
zwei Raumpunkten zwischen zwei Objekten definieren. Das ist dann zwar Koordinatenunabhänig
aber für praktische Anwendungen wenig nützlich.
|
(meine Hervorhebung)
Jetzt ist plötzlich wieder alles normale SRT, dafür aber koordinatenabhängig. So hat
das Diskutieren irgendwie keinen Zweck mehr.
| Zitat: |
Im Inertialsystem des einen Zwillings ist Gleichzeitigkeit anders als im Inertialsystem des
anderen. Ich gehe davon aus, dass du weißt, dass es den Zwillingen frei steht das selbe
Koordinatensystem zu benutzen.
|
"Das" Inertialsystem des einen Zwillings, ist dasjenige, in welchem die Zeitachse die
Weltlinie des Zwillings ist. Gleichzeitigkeit auf dieses System zu beziehen, ist genau
wovon ich rede.
Er kann sich natürlich ausrechnen, welche Ereignisse für den anderen Zwilling gleichzeitig
zu welchen Ereignissen auf seiner Weltlinie sind, nur sind umgekehrt für ihn diese Ereignisse
nicht zueinander gleichzeitig, nach der Definition von Landau-Lifschitz.
| Zitat: |
In dem Fall ist auch klar, wessen Uhr schneller und wessen Uhr langsamer geht und Gleichzeitigkeit
ist global definiert.
|
Gleichzeitigkeit ist nicht global definiert, sondern nach dem Ruhesystem des einen Zwillings,
was nichts anderes bedeutet, als durch die Orthogonalität zu seiner 4-Geschwindigkeit. Also
geht auch nur für ihn die Uhr des anderen langsamer. Für den anderen ist es umgekehrt, denn
er definiert Gleichzeitigkeit bzgl. seiner 4-Geschwindigkeit.
| Zitat: |
Sie können dann beide ihre Uhren so modifizieren, dass sie um den Gamma-Faktor schneller
gehen und Koordinatenzeit anzeigen. In der ART kann man solch eine globale Synchronisation
für beliebige Koordinatensysteme mit g01=g02=g03=0 erreichen. Man stellt zum Beispiel
die Uhren der GPS-Satelliten so, dass sie uns verraten, zu welcher Koordinatenzeit und
an welchen Raumkoordinaten das Signal generiert wurde.
|
Streiche Koordinatenzeit, setze Erdzeit.
Na und? Nirgendwo ist hier von der Gleichzeitigkeit der Satelliten die Rede. Es geht nur
um die Gleichzeitigkeit auf der Erde. Der momentane Aufenthaltsort des Satelliten ist das
Ereignis, welches der Satellit nach Erdgleichzeitigkeit momentan durchläuft. Vom Satelliten
kommt nur Information über dieses Ereignis. Er muß nicht wissen, schon gar nicht für ein
von ihm entferntes Ereignis, zu welchem Erdzeitpunkt es gleichzeitig ist.
(Übrigens, verlangsamt man wirklich die Satellitenuhr? Ich dachte sie übermitteln einfach
ihre Eigenzeit und Bahnparameter und die werden dann entsprechend umgerechnet. Ist aber
auch egal, nur eine technische Frage.) |
|
| Nach oben |
|
|
zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
|
| Verfasst am: 02.07.2008, 19:24 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: | | Übrigens, verlangsamt man wirklich die Satellitenuhr? Ich dachte sie übermitteln einfach ihre Eigenzeit und Bahnparameter und die werden dann entsprechend umgerechnet. |
(Verbesserte Version)
Allgemein im GPS-Kontext existieren 3 unterschiedliche Zeiten:
- GPS-Systemzeit (kontinuierliche Zeitskala)
- Satellitenzeit (individuelle Uhrzeit)
- UTC (koordinierte Weltzeit)
GPS-Systemzeit und UTC sind wegen eingefügter Schaltsekunden in der UTC-Skala längst nicht mehr identisch. Die aktuelle Zeitdifferenz wird in der Navigationsmessage übermittelt.
Die Block-I Satelliten des NAVSTAR-GPS besitzen Rubidiumuhren, die Block-II Satelliten Cäsiumuhren. Galileo verwendet für die geplanten Satelliten präzisere Frequenznormale (H-Maser).
In einer Höhe von 20'000 km überwiegen die Einflüsse der ART:
http://www.home.datacomm.ch/chs/Container/RT/gps_zeit.jpg
Frequenzverhalten von erdumkreisenden Satelliten (konstanter Kreisbahnanteil)
Bezüglich des Gravitationspotentials gilt:
Δf/Δf_o = ΔΦ/c^2
Die Frequenzabweichung Δf der "atomic clocks" auf dem GPS-Sollkreis beträgt 0,0045674 Hz. Die dadurch täglich zu erwartende Zeitdrift summiert sich auf 38,3 Mikrosekunden.
Die Korrektur relativistischer Effekte findet zweifach statt:
1) Die Frequenznormale der Satellitenuhren (Basisfrequenz 10,23 MHz) werden vor dem Start auf eine tiefere Frequenz eingestellt, nämlich:
f_corr = f_o - Δf = 10,23 MHz - Δf = 10,2299999954326 MHz
Technisch gesehen benutzt man einen nachgeschalteten Synthesizer, um aus der Basisfrequenz die korrigierte Frequenz zu erzeugen. Diese hardwareseitig durchgeführte Massnahme, um eine im Mittel brauchbare Übereinstimmung der Satellitenuhren mit dem GPS-Zeitsystem der Monitorstationen zu erzielen, beruht auf einer Anregung durch Neil Ashby (1977). Der Techniker auf der Erde rechnet weiterhin mit 10,23 MHz.
2) Die Exzentrizität der Orbitale sowie unregelmässige Bahnstörungen verlangen zusätzliche Korrekturen für jeden einzelnen Satelliten, die mittels eines Polynomes 2. Grades festgelegt werden. Die Koeffizienten des Polynoms befinden sich im 1. Subframe der Navigationsmessage. Überwacht wird das Uhrverhalten vom Kontrollsegment, welches sämtliche Differenzen zwischen kontinuierlicher GPS-Systemzeit und individueller Satellitenzeit auswertet und über die zuständigen Bodensendestationen den betreffenden Satelliten mitteilt.
Quellen:
- Mansfeld, "Satellitenortung und Navigation" (Vieweg)
- Ashby, "Relativity in the Global Positioning System" (publ. by Max-Planck-Institute for Gravitational Physics, 2003)
Gr. zg
_________________
Make everything as simple as possible, but not simpler!
Zuletzt bearbeitet von zeitgenosse am 03.07.2008, 11:20, insgesamt einmal bearbeitet |
|
| Nach oben |
|
|
Joachim
Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714
|
| Verfasst am: 03.07.2008, 06:53 Titel: |
|
|
| Erik hat Folgendes geschrieben: | So hat
das Diskutieren irgendwie keinen Zweck mehr.
|
Hast recht, ich geb's auf.
Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv) |
|
| Nach oben |
|
|
|
|
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.
|
|
FAQ
Suchen
Mitgliederliste
Benutzergruppen
Registrieren
Profil
Einloggen, um private Nachrichten zu lesen
Login
