Alpha Centauri :: Thema anzeigen - Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten

Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten
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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 23.06.2008, 20:51 Titel:

Hallo Joachim,

Joachim hat Folgendes geschrieben:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Was bedeutet denn Zeittranslationsinvarianz? Sowas wie: alle Formeln müssen linear in dt
sein? Normalerweise heißt es, invariant unter t --> t + d. Das reicht hier nicht, denn
es gilt für die Newtonsche Formel auch, sie hängt ja nur von dt ab.

Natürlich reicht das nicht. Ich hat ja mehrere Postulate.

Na und? Die brauche ich aber gar nicht. Ich benutze nur

Zitat:

2. Postulat (Relativität): Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung der Uhren beschreiben als:
Uhr 1: x = g/2 t²
Uhr 2: x = g/2 t² + h
(Natürlich nur solange dx/dt<<c)

bzw. den Spezialfall, daß ich zu einem Zeitpunkt diese Bahnkurven verwenden kann. Dann
folgere ich bereits, daß für alle dt1 (auch für kleine) die Formel

\[ dt_2 = {1\over g}\left[ \sqrt{ (1 - g dt_1)² - 2gh }- \sqrt{ 1 - 2gh }\right]. \]

gilt. Es kann also nicht aus anderen Postulaten was anderes folgen. Man kann höchstens
ab dann eine Näherung verwenden. Das ist mir auch klar, aber ich halte eben eine Ableitung,
die erst durch Näherung aus einem falschen Ergebnis ein richtiges macht für keine gute
Erklärung. Das ist erstmal alles.

Zitat:

Aus der Zeittranslationsinvarianz folgt aber direkt, dass ich den Zeitnullpunkt immer so wählen kann, dass alle vorkommenden Zeiten klein sind, solange die vorkommenden Dauern kurz sind.

Klar. Hab nichts anderes behauptet (falls doch, korrigiere ich mich), sondern genau darauf
hingewiesen, daß man fordern muß, daß alle vorkommenden Dauern kurz sind, solange
man mit Newton (nicht dem Mann, sondern der Mechanik) rechnen will.

Zitat:

Die Herleitung ist also so lange richtig, wie die Lichtwege zwischen Emission und Absorption kurz sind, so dass in der Laufzeit des Signals keine der Uhren eine Geschwindigkeit vergleichbar zu c erreichen kann. Diese Einschränkung beschränkt aber tatsächlich nur gh auf Werte <<c.

Diese Einschränkung, ja. Die reicht aber nicht. Eben sagtest du ja selbst, auch die Zeit zwischen
beiden Sende-Ereignissen muß erstmal klein sein, solange man mit Newton rechnen will.
Diese Forderung hat mit Zeittranslationsinvarianz natürlich nichts mehr zu tun.

Wenn ich nicht in Newtonscher Mechanik rechnen will, sondern auf die SRT ausweiche,
gilt dieser Einwand natürlich nicht mehr. Das sehe ich auch problemlos ein.

Zitat:

Zeittranslationsinvarianz besagt ganz klar: Wenn es im Intervall 0..dt eine Zeitdilatation gibt, dann gilt die selbe auch für das Intervall [T0..T0+dt].

Das ist mir klar. Wie du siehst, gilt das ja auch für die falsche Newtonsche Formel oben.

Zitat:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Daß das richtige Ergebnis aus Zeittranslationsinvarianz gar nicht folgen kann siehst
du schon daran, daß auch Newton invariant unter Zeittranslation ist, dort aber, wie du
selbst sagst, eine völlig andere Formel rauskommt.

Ihr streitet euch mal wieder nur um ein Wort. Was ist denn Newton? (Der Mann selbst war sicher nicht invariant.) Du, Erik, gehst offenbar davon aus, dass die Galileotransformation Bestandteil dessen ist, was in diesem Thread "Newtonsche Mechanik" genannt wird.

Nein, eigentlich nicht, ich benutze gar keine Galilei-Trafo und zwar mit Absicht. Ich kann
jedes Koordinatensystem verwenden, das ich will. Das Ergebnis muß sowieso davon unabhängig
sein und ist es ja auch. (Wenn die Situation außerhalb der Gültigkeit von Newton liegt, kann
eine Koordinatentrafo daran sowieso nichts ändern.)

Zitat:

Ich setzt aber nur einen kleinen Teil der Newtonschen Kinematik voraus, nämlich:

Allererstes Posting hat Folgendes geschrieben:

Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung der Uhren beschreiben als:
Uhr 1: x = g/2 t²
Uhr 2: x = g/2 t² + h
(Natürlich nur solange dx/dt<<c)

Darin impliziert ist, daß alle Eigenzeiten = absolute Zeit, wie ihm auch klar ist. Mehr
verwende ich dann aber auch nicht, auch keine Glailei-Trafo. Ich sehe allerdings bereits
nicht, wie in einer Näherung mit absoluter Gleichzeitigeit noch eine Möglichkeit für
Zeitdilatation bestehen soll. Daß das Verhältnis zweier absoluter Zeitdifferenzen zwischen
zwei bestimmten Ereignispaaren näherungsweise genauso groß sein kann, wie das
Verhältnis zweier Eigenzeiten zwischen zwei ganzen Klassen von Ereignisspaaren (nämlich solchen
mit gleicher Koordinatenzeitdifferenz), sollte man nicht für eine Erklärung von Zeitdilatation
halten. Insbesondere, weil zu diesen Klassen im RT-Fall auch zueinandner gleichzeitige
Ereignispaare gehören, in der Näherung mit absoluter Gleichzeitigkeit aber natürlich nicht
mehr.

Es handelt sich also schon um zwei untesrchiedliche Aussagen, auch wenn die zugehörige
Formel gleich aussieht.

Zitat:

Und weiter setzt er das Postulat der SRT voraus:

Zitat:

Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung von Lichtpulsen beschreiben mit:
Licht: x = ct

Daraus folgt dann natürlich (ob man's herleitet oder nicht) dass die Lorentztrafo die Transformation zwischen Inertialsystemen ist. Das schöne an Ichs Ansatz ist nur, dass er ganz ohne explizite Transformationen auskommt. Implizit verwendet er natürlich Lorentz, nicht Galileo.

Es geht gar nicht um die Transformationen. Ich muß dieses Postulat gar nicht verwenden,
sondern muß nur die Zeitdauern dt betrachten, für die ich noch gar nicht transformieren
brauche. Muß ja wohl erlaubt sein. Und dann stelle ich fest, daß erstmal eine ganz andere
Formel rauskommt, was mich, wegen der prinzipiellen Bedenken von eben auch nicht weiter
wundert.

Für mich ging die Diskussion im übrigen um zwei verschiedene Dinge: 1) der Versuch ZD mit Newton zu
erklären mit $ d\tau = dt $. Das halte ich für den absoluten Holzweg. Meine Einwände auf
die du dich hier beziehst, kritisieren nur diesen Ansatz. Inzwischen zielt die Diskussion aber auch
mehr auf 2) die beschleunigten Beobachter in der SRT. Das ist schon besser und scheint auch
deine Interpretation des ganzen Ansatzes zu sein. Dagegen wende ich nur ein, daß er das
Phänomen eben nur bis zur ersten Ordnung in einem besonderen Spezialfall erklärt. Die
Behauptung die eigentliche Erklärung sei ein Term erster Ordnung, finde ich aberwitzig. Was macht
man z.B. in Situationen mit zwei Uhren im konstanten Abstand h und kleiner 4-Beschleunigung
(dt1 /dt2 ~ R h², R bestimmte Komponente des Riemann-Tensors)? Oder überhaupt in
Situationen, in denen (R+g²) ~ g/h? Denkt man sich dann neue Postulate aus?

Ich finde die Aussage, es handele sich um einen geometrischen Effekt viel besser. Die ist zwar erstmal
nichtssagend, aber man muß eben erklären, worum es sich bei dem Zeitbegriff der RT überhaupt
handelt: Es geht um den Längenvergleich zweier Kurvenabschnitte in verschiedenen Raumzeitbereichen. Die Länge
jeder einzelnen Kurve ist bestimmt durch die lokale Metrik und hat nichts mit Krümmung
zu tun, soweit ok. Aber der Längen-Unterschied ist eben zurückführbar auf den Unterschied in den
metrischen Verhältnissen in beiden Bereichen. Da gehört die Krümmung natürlich i.a. mit
rein. Da hilft es auch nicht, daß ich lokal in einer hinreichend kleinen Umgebung jeder
Kurve die Krümmung ignorieren und im Tangentialraum rechnen kann, wenn die andere Kurve
nicht innerhalb dieser kleinen Umgebung liegt.

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Joachim

Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714

Verfasst am: 24.06.2008, 08:17 Titel:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Hmm,

ich bekomm dummer Weise etwas anderes heraus. Nämlich ohne die Klammer:

$dt_2=\frac{1}{g}\left( \sqrt{c^2+(gdt_1)^2-2gh} -\sqrt{c^2-2gh} \right)$

Aber das ist nebensächlich. Immerhin habe ich lokalisiert, was du unter Newton verstehst:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Allererstes Posting hat Folgendes geschrieben:

Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung der Uhren beschreiben als:
Uhr 1: x = g/2 t²
Uhr 2: x = g/2 t² + h
(Natürlich nur solange dx/dt<<c)

Aus dieser Annahme folgt erstmal gar nichts Richtung absolute Zeit. Es ist nur die Festlegung auf ein Koordinatensystem, in dem man den Fall erstmal für kleine Zeiten durchrechnen kann. (Dein Einwand, dass auch dt hinreichend klein sein muss, ist natürlich richtig.) Du nimmst jetzt, weil du Newton hörst, als zweites Postulat die "Nähertung absoluter Gleichzeitigkeit" hinzu. Das höre ich bei Ich nicht heraus. Vielmehr nimmt er das zusätzliche Postulat, dass die Lichtgeschwindigkeit für beide Uhren immer gleich ist. Damit kann diese Rechnung nur eine Näherung für so kleine Zeiten sein, dass die Geschwindigkeiten beider Uhren gegen c vernachlässigbar bleiben. Folglich nimmt Ich die Näherung der Zeitdifferenzen um t=0, v=0 und geht davon aus, dass die Uhren aber auch die Information über die Momentangeschwindigkeiten der Uhren jederzeit zurückgestellt werden dürfen. Und zwar aufgrund der Zeittranslationsinvarianz.

Ich finde die Erklärung über Geometrie ja auch einleuchtender, aber prinzipiell ist Ichs vorgehen zur Ableitung der gravitativen Rotverschiebung über SRT äquivalent.

Gruß,
Joachim
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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 24.06.2008, 15:16 Titel:

Joachim hat Folgendes geschrieben:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Hmm,

ich bekomm dummer Weise etwas anderes heraus. Nämlich ohne die Klammer:

$dt_2=\frac{1}{g}\left( \sqrt{c^2+(gdt_1)^2-2gh} -\sqrt{c^2-2gh} \right)$

Hm keine Ahnung, mich wundert, daß deine Lösung für beliebige dt1 gilt, dürfte nicht, wenn
gdt1 ~ c keine Lösung mehr rauskommen?

Zitat:

Aber das ist nebensächlich. Immerhin habe ich lokalisiert, was du unter Newton verstehst:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Allererstes Posting hat Folgendes geschrieben:

Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung der Uhren beschreiben als:
Uhr 1: x = g/2 t²
Uhr 2: x = g/2 t² + h
(Natürlich nur solange dx/dt<<c)

Aus dieser Annahme folgt erstmal gar nichts Richtung absolute Zeit.

Ok, aus der Annahme direkt nicht, aber so wurde es nunmal gerechnet:

dt1 = t(2.Sendereignis) - t(1.Sendereignis)
dt2 = t(2.Empfangsereignis) - t(1.Empfangsereignis)

Wobei t zweimal dieselbe Funktion ist. Das hat schon nichts mehr mit ZD zu tun.

Meinst du es so, daß man zwar parabelförmige Weltlinien (als Näherung an die korrekte
Hyperbel) verwendet aber dann trotzdem Eigenzeitintegrale ausrechnet? Hat dann aber wirklich
nicht mehr viel mit Newton zu tun. (Spätestens bei Raumzeit-Metrik fängt für mich die RT an.)

Zitat:

Es ist nur die Festlegung auf ein Koordinatensystem, in dem man den Fall erstmal für kleine Zeiten durchrechnen kann. (Dein Einwand, dass auch dt hinreichend klein sein muss, ist natürlich richtig.) Du nimmst jetzt, weil du Newton hörst, als zweites Postulat die "Nähertung absoluter Gleichzeitigkeit" hinzu. Das höre ich bei Ich nicht heraus.

Doch nicht, weil ich "Newton" höre, sondern weil

Ich hat Folgendes geschrieben:

Lokale Koordinatenzeit=Eigenzeit, in ausreichender Genauigkeit.

Alle berechneten Dauern dt1 und dt2, beziehen sich auf dasselbe t in den Bahnkurven. Ob
du es nun "lokale Koordinatenzeit" nennst oder "absolute Zeit" ist egal. (In der Newtonschen
Näherung der SRT, übernimmt die Koordinatenzeit eines bestimmten Inertialsystems, bzgl.
dessen alle v<<c, die Rolle der absoluten Zeit.) Wenn alle Eigenzeiten gleich einer Dauer in
t sind, hast du keine ZD mehr, sondern nur noch den Fall t(A)-t(B) / t(C)-t(D) =
irgendwas bestimmtes, für bestimmte Ereignisspaare A,C und B,D.

(Es geht aber z.B., anders als in der RT nicht mehr, daß A gleichzeitig zu C und B gleichzeitig zu D.)

Zitat:

Vielmehr nimmt er das zusätzliche Postulat, dass die Lichtgeschwindigkeit für beide Uhren immer gleich ist. Damit kann diese Rechnung nur eine Näherung für so kleine Zeiten sein, dass die Geschwindigkeiten beider Uhren gegen c vernachlässigbar bleiben.

Das ist klar. Nur gilt diese Einschränkung eben in der RT nicht. Deswegen ist
das Resultat doch weniger allgemein, als die Newtonsche Näherung der ART, oder nicht?

Zitat:

Folglich nimmt Ich die Näherung der Zeitdifferenzen um t=0, v=0 und geht davon aus, dass die Uhren aber auch die Information über die Momentangeschwindigkeiten der Uhren jederzeit zurückgestellt werden dürfen. Und zwar aufgrund der Zeittranslationsinvarianz.

Um welchen Zeitpunkt man das kleine Intervall legt ist egal, wegen Zeittranlationsinvarianz.
Wie groß das Intervall ist, ist nicht egal, trotz Zeittranslationsinvarianz. Sind wir
uns darüber einig? Eine Zeittranslation ändert ja an Intervallgrößen nichts, also haben
diese auch nichts mit Zeittranslationsinvarianz zu tun.

Zitat:

Ich finde die Erklärung über Geometrie ja auch einleuchtender, aber prinzipiell ist Ichs vorgehen zur Ableitung der gravitativen Rotverschiebung über SRT äquivalent.

Äquivalent? Nein, m.E. nur eine Näherung, für (R+g²) << g/h. Gravitative ZD läßt sich
innerhalb der SRT nicht in Allgemeinheit verstehen, da, grob gesagt, die SRT-Metrik
nicht genauso veränderlich ist, wie die ART-Metrik. Man kann natürlich auch da
Terme 2. Ordnung kriegen, allerdings andere, als in der ART. In der SRT läßt sich die
2.Ordnung immer auf die Form

g_00,kl ~ g² + evtl. Terme mit Winkelgeschwindigkeit,

bringen, in der ART aber nicht.

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Joachim

Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714

Verfasst am: 24.06.2008, 16:08 Titel:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Hm keine Ahnung, mich wundert, daß deine Lösung für beliebige dt1 gilt, dürfte nicht, wenn
gdt1 ~ c keine Lösung mehr rauskommen?

Ja, ich habe jetzt den Fehler in meiner Rechnung lokalisiert. Jetzt bekomme ich das selbe wie du.

Zitat:

Nee, wir haben erstmal zwei identische Uhren, die irgendwie unabhängig von ihrer Geschwindigkeit ticken. Mit unserer Formel, die auf jeden Fall für kleine Zeiten und kleine Dauern gilt, erhalten wir direkt das Ergebnis, dass bei beschleunigten Uhren ein Dopplereffekt auftritt. Das ist ja klar, schließlich legt das zweite Signal einen längeren Weg zurück. Nun fordern wir aber, dass unabhängig von der Zeit die Relativgeschwindigkeit zwischen Uhren und Licht gleich bleibt. Deshalb kann die Formel nicht mehr für alle Zeiten und Dauern gelten. Statt dessen muss für jede kleine Dauer der selbe Dopplereffekt entstehen, wie zum Zeitpunkt Null. Das ist es, was Ich mit Zeittranslationsinvarianz meint. Bei Newton gilt die nicht, weil es einen Ausgezeichneten Zeitpunkt gibt, zu dem die Uhren ruhen und einen anderen, zu dem sie genau so schnell sind wie das Licht. Nach SRT sind die Uhren aber immer gleich weit von c entfernt und zu jeder Zeit muss die gleiche Rotverschiebung für kleine Perioden dt gelten.

Da nun aber ein perodisches Signal viele uninterscheidbare Perioden dt enthält und jede nach Zeittranslation gleich viel Rotverschoben ist. Gilt die selbe Rotverschiebung für beliebig lange Signale. Die obere Uhr wird, falls der Abstand gleich bleibt und damit Zeittranslatingsinvarianz gegeben ist, immer die selbe Rotverschiebung des Signals relativ zur unteren Uhr wahrnehmen.

Gruß,
Joachim
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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 24.06.2008, 17:09 Titel:

Joachim hat Folgendes geschrieben:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Hier muß ich gleich mal nachhaken. Mein Punkt ist ja nicht, daß die Formel nicht gilt,
sondern daß sie keine ZD beschreibt, da wir die Näherung Koordinatenzeit=Eigenzeit verwenden.
Stimmst du nun zu, daß diese Näherung keine ZD ergeben kann? (Wie berechnet man denn ZD
in der RT? Sicher nicht mit zwei Differenzen derselben Koordinatenzeit.)

Zitat:

Das ist ja klar, schließlich legt das zweite Signal einen längeren Weg zurück. Nun fordern wir aber, dass unabhängig von der Zeit die Relativgeschwindigkeit zwischen Uhren und Licht gleich bleibt. Deshalb kann die Formel nicht mehr für alle Zeiten und Dauern gelten.

Das ist mir klar, nur verstehe ich nicht, was das mit meinem Einwand zu tun hat. Wenn
ich den Gültigkeitsbereich von Newton verlasse, dann verlasse ich ihn und kann danach nicht
mit Newton weiterrechnen. Da kann ich noch so viel postulieren. Dein Punkt war ja AFAIU
auch gerade, daß das zusätzliche Postulat, zu allen Zeiten habe der Lichtstrahl die
Relativgeschwindigkeit c zur Uhr bereits mit Newton inkompatibel ist. Damit bin ich völlig
einverstanden. Und wie gesagt, wenn wir sowieso Newton hinter uns lassen, gilt mein
Einwand nicht mehr. (Dann gilt nur noch der mit der nicht vernachlässigbaren Krümmung.)

Zitat:

Statt dessen muss für jede kleine Dauer der selbe Dopplereffekt entstehen, wie zum Zeitpunkt Null. Das ist es, was Ich mit Zeittranslationsinvarianz meint.

Sollte er das wirklich meinen, ist das reichlich mißverständlich. Zeittranslationsinvarianz
bedeutet nunmal Invarianz unter t --> t + d. Punkt. Und das diskutierten wir lediglich im Kontext
der Formeln für dt1/dt2.

Zitat:

Bei Newton gilt die nicht, weil es einen Ausgezeichneten Zeitpunkt gibt, zu dem die Uhren ruhen und einen anderen, zu dem sie genau so schnell sind wie das Licht.

Das widerspricht der Zeittranslationsinvarianz nicht im geringsten. Es gibt auch genau einen
Zeipunkt, an dem sie exakt die Geschwindigkeit 42 km/h haben, na und? Jede Größe f ist
Zeittranslationsinvariant, wenn f(t+d) = f(t).

Es stimmt natürlich, daß die Formel anders aussieht, wenn ich annehme, daß das Signal
wegen der größeren Geschwindigkeit der Uhr eine Geschwidnigkeit kleiner c im Ruhesystem
der Uhr zu einer späteren Zeit hat. Nur hat das nichts mit Zeittranslationsinvarianz
zu tun, sondern mit Galilei-Invarianz (an der dt-Abhängigkiet der Formel ändert sich auch
nichts nur an der c-Abhängigkeit.) Solange ich im Gültigkeitsbreich von Newton bleibe,
kann ich ein und dasselbe IS verwenden (mit Siganlgeschwindigkeit c) und muß mir um
Galilei-Invarianz keine Sorgen machen.

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Joachim

Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714

Verfasst am: 25.06.2008, 08:49 Titel:

Erik hat Folgendes geschrieben:

In meinen Augen geht es hier noch gar nicht um eine Näherung. Schon gar nicht um Koordinatenzeit=Eigenzeit, sondern schlicht um die Homogenität der physikalischen Regeln:

Wir haben zwei Uhren gleicher Bauart bei gleichen Beschleunigungen. Wir nehmen den Raum als homogen an und wissen, dass sich zur Beschreibung eines homogenen Raums die Kartesischen Koordinaten aufgrund ihrer Homogenität gut eignen. Wir rechnen hier also gar nicht viel nach Newton, wir verwenden lediglich seine Definition der Beschleunigung g=d²x/dt² und betreiben ein bisschen Mathematik in den Koordinaten von Descartes. Daraus erhalten wir Information darüber, wann sich unsere Uhren wo sich befinden. Und weil unsere Uhren so schön gleich sind und sie gleichförmige Bahnen beschreiben, gehen wir davon aus, dass sie im homogenen Koordinatensystem beschrieben auch gleich schnell ticken.

Wir müssen also nicht Koordinatenzeit=Eigenzeit annehmen oder nähern. Wir wählen unsere Koordinaten so, dass sich in ihnen die Uhren um nichts unterscheiden. Deshalb müssen sie logisch in diesem Koordinatensystem gleich laufen.

Was wir nun mit diesem Verfahren hier berechnen, ist die gravitative Rotverschiebung. Dass also eine im Feld der Scheinkraft oben liegende Uhr ein Signal, das von der unten liegenden Uhr generiert wird, langsamer sieht. Sie zählt mehr Pulse als die untere Uhr. Und da sie das für alle Zeiten macht, handelt es sich um eine Zeitdilatation.

Zitat:

Statt dessen muss für jede kleine Dauer der selbe Dopplereffekt entstehen, wie zum Zeitpunkt Null. Das ist es, was Ich mit Zeittranslationsinvarianz meint.

Zitat:

Bei Newton gilt die nicht, weil es einen Ausgezeichneten Zeitpunkt gibt, zu dem die Uhren ruhen und einen anderen, zu dem sie genau so schnell sind wie das Licht.

O.K. der Punkt ist, dass die Formel bei Newton anders aussieht, wenn ich das Signal nicht zur Zeit t=0 starte, sondern zur Zeit t=d. Das war es, was ich mit Zeittranslationsinvarianz meinte. Selbstverständlich sieht es wieder gleich aus, wenn ich erst zur Zeit t=d die Geschwindigkeit der Uhren zu Null annehme.

Vielleicht nennt man das was ich meine besser Geschwindigkeitsinvarianz. Das ist doch der Punkt. Die Newtonsche Mechanik ist im Grunde auch Geschwindigkeitsinvariant. Wir können alle Regeln beibehalten, wenn wir von einem ruhenden System in ein mit v bewegtes System übergehen. Die Frage ist nur, was mit dem Licht geschieht. Und wenn wir eben zusätzlich mit Einstein annehmen, dass auch die Lichtgeschwindigkeit Geschwindigkeitsinvariant ist, dann kommen wir darauf, dass obige Formel für dt2 nur Näherungsweise für kleine v gilt, dass wir diese Näherung aber für jedes beliebige v nehmen können, weil sie Physik Geschwindigkeitinvariant ist.

Also kurz in Stichworten:

1) Von Newton nehmen wir nur die Kinematik im Kartesischen Raum.
2) Koordinatenzeit=Eigenzeit ergibt sich aus der Symmetrie der Beschreibung (keine Näherung)
3) Unter der Annahme, dass c Geschwindigkeitsinvariant ist, gilt unsere Formel nur für kleine Zeiten.
4) Aus Geschwindigkeitsinvarianz folgt aber auch, dass dt2/dt1 immer gleich sein muss.
5) Deshalb kann man dt2/dt1 als Zeitdilatation auffassen.

Viele Grüße,
Joachim
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Erik

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Beiträge: 565

Verfasst am: 25.06.2008, 15:37 Titel:

Zeitdilatation bedeutet, daß für mich zwischen zwei Ereignissen A und B mehr Eigenzeit vergeht, als für einen anderen Beobachter zwischen den den Ereignissen A' B', die für mich gleichzeitig zu A und B sind. Wenn nun die Metrik statisch ist, gibt es einen wohldefinierten Unterschied zwischen gravitativer und kinematischer ZD. Erstere ist dann gegeben, wenn man die Weltlinien der beiden Beobachter Integralkurven der Zeittranslationssymmetrie sind ("ruhende Beobachter"). Nur in diesem Spezialfall, kann man die ZD direkt an der jeweiligen Eigenzeitdauer zwischen zwei Sende- bzw. Empfangsereignissen von Lichtsignalen ablesen. Trotzdem gilt die Aussage über gleichzeitige Ereignisse auch hier nach wie vor. Damit ist für mich klar, daß es unter der Bedingung Eigenzeit=Koordinatenzeit (ob es nun eine Näherung ist oder aus sonstwas folgt) bzw. immer, wenn wir nur eine Zeitvariable zur Verfügung haben, um sowohl Gleichzeitigkeit, als auch Zeitdauern zu definieren, keine ZD mehr geben kann. (Wie du Koordinatenzeit=Eigenzeit aus Symmetrien geschlußfolgert haben willst, ist mir allerdings nicht klar. Alle diese Symmetrien gelten ja auch in der SRT.) Die Aussage, die wir hier abgeleitet haben, ist m.E. ein ziemliches Durcheinander aus einer Folgerung von gravitativer ZD--dem Spezialfall für lichtartige Ereignispaare--, und der Verwendung von nur einer Koordinatenzeit für zwei Zeitdauern, die eigentlich von zwei verschiedenen Eigenzeiten gemessen werden müßten. Welche Aussage verstehst du unter Zeitdilatation?

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Joachim

Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714

Verfasst am: 25.06.2008, 16:03 Titel:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Damit ist für mich klar, daß es unter der Bedingung Eigenzeit=Koordinatenzeit (ob es nun
eine Näherung ist oder aus sonstwas folgt) bzw. immer, wenn wir nur eine Zeitvariable zur Verfügung
haben, um sowohl Gleichzeitigkeit, als auch Zeitdauern zu definieren, keine ZD mehr geben kann.

Dann kann es allerdings nie Zeitdilatation geben, denn die Einsteingleichung ist hinreichend unterbestimmt, dass ich in jeder Situation Koordinaten entwerfen kann, für die überall $g_{00}=-1{/tex} gilt.

Erik hat Folgendes geschrieben:

(Wie du
Koordinatenzeit=Eigenzeit aus Symmetrien geschlußfolgert haben willst, ist mir allerdings
nicht klar. Alle diese Symmetrien gelten ja auch in der SRT.)

Das ist ein missverständnis. Ich muss es nicht folgern, ich kann die Koordinaten einfach so wählen.

Erik hat Folgendes geschrieben:

Welche Aussage verstehst du unter Zeitdilatation?

Gute Frage. Aufgrund der Relativität ist es nämlich schwer Zeitdilatation begrifflich scharf vom Dopplereffekt abzugrenzen. Ich bevorzuge auch den Begriff "gravitative Rotverschiebung", der im englischen Sprachraum für diesen Effekt verbreiteter ist. Gerade in beschleunigten Bezugssystemen ist es nämlich gar nicht so einfach festzulegen, welcher Beobachter denn nun einer Zeitdilatation erliegen soll. Sie sind ja völlig gleichberechtigt. Dass es dort aber einen Dopplereffekt gibt, ist wohl nicht zu bestreiten. Diesen Dopplereffekt hat Ich in diesem Thread beschrieben.

Gruß,
Joachim
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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 25.06.2008, 16:25 Titel:

Joachim hat Folgendes geschrieben:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Dann hängt die Zeittransformation aber auch von den alten Ortskooridnaten ab und g_00 reicht
zur Berechnung der Eigenzeiten nicht mehr.

Beachte, daß meine Definition von ZD nur auf koordinatenunabhängige Größen bezug nimmt.
Da kannst du nichts wegtransformieren.

Zitat:

Erik hat Folgendes geschrieben:

(Wie du
Koordinatenzeit=Eigenzeit aus Symmetrien geschlußfolgert haben willst, ist mir allerdings
nicht klar. Alle diese Symmetrien gelten ja auch in der SRT.)

Das ist ein missverständnis. Ich muss es nicht folgern, ich kann die Koordinaten einfach so wählen.

Es geht um die Gleichheit von Eigenzeiten, zwischen definierten Ereignissen auf irgendwelchen Weltlinein.
Die hängen von deiner Koordinatenwahl nicht ab.

Zitat:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Welche Aussage verstehst du unter Zeitdilatation?

Gute Frage. Aufgrund der Relativität ist es nämlich schwer Zeitdilatation begrifflich scharf vom Dopplereffekt abzugrenzen.

Ich finde meine Definition grenzt das ganz gut ab. Obwohl natürlich im Sezialfall beides dasselbe sein
kann was im Falle der gravitativen ZD z.B. ja auch so ist.

Zitat:

Ich bevorzuge auch den Begriff "gravitative Rotverschiebung", der im englischen Sprachraum für diesen Effekt verbreiteter ist. Gerade in beschleunigten Bezugssystemen ist es nämlich gar nicht so einfach festzulegen, welcher Beobachter denn nun einer Zeitdilatation erliegen soll.

Auch das ist kein Problem. Die Aussage bezieht sich auf invariante Objekte, nämlich
Eigenzeiten. Welche davon größer oder kleiner ist, ist genau definiert.

Zitat:

Sie sind ja völlig gleichberechtigt.

Das ist egal. Da die Definition ja auf explizit auf die "Gleichzeitigkeit" für einen der Beobachter Bezug nimmt.

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Joachim

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Beiträge: 1714

Verfasst am: 26.06.2008, 07:43 Titel:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Beachte, daß meine Definition von ZD nur auf koordinatenunabhängige Größen bezug nimmt.
Da kannst du nichts wegtransformieren.

Deine Definition war:

Zitat:

Zeitdilatation bedeutet, daß für mich zwischen zwei Ereignissen A und B mehr Eigenzeit vergeht,
als für einen anderen Beobachter zwischen den den Ereignissen A' B', die für mich gleichzeitig
zu A und B sind.

(Hervorhebung von dir)

Wie definierst du Gleichzeitigkeit koordinatenunabhängig? Für den Begriff der Gleichzeitigkeit brauche ich ein ortsunabhängiges Maß der Zeit, wie bekomme ich das ohne Koordinaten?

Gruß,
Joachim
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Erik

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Beiträge: 565

Verfasst am: 26.06.2008, 18:38 Titel:

Joachim hat Folgendes geschrieben:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Beachte, daß meine Definition von ZD nur auf koordinatenunabhängige Größen bezug nimmt.
Da kannst du nichts wegtransformieren.

Deine Definition war:

Zitat:

Nimm einfach "gleichzeitig zum Eigenzeitpunkt tau", als "orthogonal zu meiner Weltlinie
im Punkt tau". Für den Orthogonalitätsbegriff brauchst du, genau wie bei Euklid, keine
Koordinaten und du kannst es auch auf gekrümmte Räume übertragen (zumindest in einer Umgebung
der Weltlinie). Dafür mußt du nur die senkrechten Geraden im Minkowskiraum durch
raumartige Geodäten ersetzen.

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Joachim

Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714

Verfasst am: 27.06.2008, 09:42 Titel:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Naja, die Definition ist zwar koordinatenunabhängig, dafür aber objektabhängig. Jedes Objekt trägt seine eigen Definition von Gleichzeitigkeit mit sich herum, die zudem auch noch nur lokal gültig ist. Zur Fortführung dieser Gleichzeitigkeit jenseits von infinitesimalen Größen wird man nicht um die Einführung von Koordinaten herumkommen und sei es nur implizit durch Beschreibung einer Konstruktionsvorschrift und ohne konkrete Angabe der Koordinaten.

Gruß,
Joachim
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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 27.06.2008, 10:39 Titel:

Joachim hat Folgendes geschrieben:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Naja, die Definition ist zwar koordinatenunabhängig, dafür aber objektabhängig. Jedes Objekt trägt seine eigen Definition von Gleichzeitigkeit mit sich herum,

Und das wundert dich in der RT, daß jeder Beobachter seine eigene Gleichzeitigkeit hat?
Daß es keine absolute Gleichzeitigkeit gibt, kann ich leider nicht ändern. Im übrigen, jede
Linie trägt in der euklidischen Geometrie ihre eigene Definition von "senkrecht" mit
sich herum. Schlimm, schlimm.

Erkläre mal wofür ich eine beobachterunabhängige Definition von gleichzeitig
brauchen sollte.

Zitat:

die zudem auch noch nur lokal gültig ist.
Zur Fortführung dieser Gleichzeitigkeit jenseits von infinitesimalen Größen wird man nicht um die Einführung von Koordinaten herumkommen und sei es nur implizit durch Beschreibung einer Konstruktionsvorschrift und ohne konkrete Angabe der Koordinaten.

Nein, erstens ist "lokal" nicht "infinitesimal", alles was ich brauche ist, daß das Ereignis durch eine
raumartige Geodäte, senkrecht zu irgendeinem Ereignis meiner Weltlinie, erreicht werden kann.
Normalerweise überdeckt man damit schon einen Großteil der Raumzeit. Dann haben die
Koordinaten genau dasselbe Problem, sogar noch schlimmer. Wenn ich nur daran interessiert
bin welche Ereignisse gleichzeitig sind, muß ich nicht fordern, daß die orthogonale raumartige
Geodäte eindeutig ist. Wenn ich Koordinaten draus machen will, muß ich das tun.

In weiterer Entfernung kann ich dann natürlich andere Koordinaten verwenden, aber
Gleichzeitigkeit kann ich damit nicht mehr definieren (welche Koordinaten sollte ich denn dafür
nehmen?) Also gibt es i.a. keine Gelcihzeitigkeitsdefinition für alle Ereignisse. Das ist halt in der RT so.

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Joachim

Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714

Verfasst am: 27.06.2008, 10:52 Titel:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Erkläre mal wofür ich eine beobachterunabhängige Definition von gleichzeitig
brauchen sollte.

Zum Beispiel in der Geodäsie. Für die Funktionsweise des GPSystems ist es wichtig eine beobachterunabhängige Definition der Gleichzeitigkeit zu haben. Die Uhren der Satelliten gehen nach deiner objektabhängigen Definition nicht synchron. Dafür aber nach der erdzentrierten GPS-Systemzeit. Ich wage zu behaupten, dass objektunabhängige Zeitdefinitionen in praktischen Fällen beinahe immer handlicher sind als objektabhängige.

Zitat:

In weiterer Entfernung kann ich dann natürlich andere Koordinaten verwenden, aber
Gleichzeitigkeit kann ich damit nicht mehr definieren (welche Koordinaten sollte ich denn dafür
nehmen?) Also gibt es i.a. keine Gelcihzeitigkeitsdefinition für alle Ereignisse. Das ist halt in der RT so.

Selbstverständlich kannst du mit Koordinaten Gleichzeitigkeit definieren. In den meisten Fällen sogar global und für alle Beobachter gleich. Dafür sind doch Koordinaten da.

Gruß,
Joachim
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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 27.06.2008, 17:47 Titel:

Joachim hat Folgendes geschrieben:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Erkläre mal wofür ich eine beobachterunabhängige Definition von gleichzeitig
brauchen sollte.

Zum Beispiel in der Geodäsie.

Ich erinnere nochmal daran, daß es darum ging ob Zeitdilatation koordinatenabhängig ist, also
wegtransformiert werden kann. Ist nun klar, daß das nicht der Fall ist?

Zitat:

Für die Funktionsweise des GPSystems ist es wichtig eine beobachterunabhängige Definition der Gleichzeitigkeit zu haben.

Es gibt keine absolute (d.h. beobachterunabhängige) Zeit. Da GPS trotzdem funktioniert, ist sie auch nicht notwendig.

Man nimmt einfach die Eigenzeit irgendeines Beobachters (wegen "erdzentriert" vermute ich mal,
auf der Erde ruhend), aber keine beobachterunabhängige Zeit. Ist kein Problem, solange
der Potentialunterschied und die relative Bewegung zu diesem Beobachter bekannt sind.

Wie kommst du darauf die von irgendeiner Uhr auf der Erde gemessene Zeit sei beobachterunabhängig oder durch
irgendetwas von anderen Zeiten ausgezeichnet?

Zitat:

Die Uhren der Satelliten gehen nach deiner objektabhängigen Definition nicht synchron. Dafür aber nach der erdzentrierten GPS-Systemzeit.

Näherungsweise schon. So groß ist ja die ZD zwischen den Satelliten wohl nicht, aber
welche Rolle spielt das? Es ist völlig egal, welche Ereignisse für einen Satelliten
gleichzeitig sind, wenn man sowieso nur die Erdzeit braucht.

Im übrigen ist das nicht meine Definition, sondern die der RT. Wie definierst du für
einen beliebigen Beobachter, welche Ereignisse gleichzeitig sind, ohne Bezug auf
einen anderen Beobachter zu nehmen?

Zitat:

Ich wage zu behaupten, dass objektunabhängige Zeitdefinitionen in praktischen Fällen beinahe immer handlicher sind als objektabhängige.

Und ich wage zu behaupten, daß es sowas gar nicht gibt. Was einen aber nicht daran hindert,
per Konvention eine bestimmte Zeit zu verwenden.

Ich bin ehrlich gesagt etwas verwundert. Hat man sich die Relativität der Gleichzeitigkeit nur ausgedacht um alles komplizierter zu
machen, obwohl man doch einfach eine beobachterunabhängige Zeit nehmen könnte?

Zitat:

Selbstverständlich kannst du mit Koordinaten Gleichzeitigkeit definieren.

Also verstehe ich das richtig, du hast was gegen beobachterabhängige
Definitionen, aber von einem absolut willkürlichen Koordinatensystem
darf sie dann schon abhängen?

Oder welches Koordinatensystem nehme ich denn nun?

Zitat:

In den meisten Fällen sogar global und für alle Beobachter gleich.

Koordinaten definieren Gleichzeitigkeit für alle Beobachter, die in diesen Koordinaten ruhen, aber sicher nicht für alle
Beobachter. Wenn ich wissen will, zu welchem Zeitpunkt ein Ereignis stattfindet, schaue ich einfach im richtigen Moment
auf die Uhr und frage nicht dich welches Koordinatensystem du gerade global für mich festgelegt hast.

Zitat:

Dafür sind doch Koordinaten da.

Wofür Koordinaten nicht alles da sind. Ich dachte immer sie dienen nur zur eindeutigen Bezeichnung von Ereignissen.

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