Steinewerfen

[El Cattivo]

Hi Kurt.

Ich weiß aber nicht, ob Ralf dir schon gesagt hat, das man auch addieren kann.. Die streng formale Definition ist noch mal ein bisl anders, aber hier sieht man es gut:

$ \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
Alle vier zusammengenommen sind linear abhängig. Nur zwei, wie du es gemacht hast, sind linear unabhängig.
Da kommt noch was nach, mir hat grad jemand die Zeit gestohlen...

mfg

[ralfkannenberg]

[Kurt]

Hallo Ralf,

bevor ich mich selbst durcheinander bringe, -meine- Vorstellung dazu.


Linear:

"ist eben Linear", gleichförmig, in gleichen Schritten, in gleicher Steigung in immer gleichen Millimetern (der Meterstab).

Linear abhängig ist demnach das etwas nach dem gleichen Spielregeln
abgeht.

Linear abhängig:

(1,1,1,1) > (2,2,2,2) > (10,10,10,10)

Jedes Zahlenpaket ist zu den anderen "Kompatibel"

(1,2,3,4) > (5,10,15,20)

(10,20,30) > (2,4,6) > (1,2,3) > (0.5,1,1.5) > (1000,2000,3000)

(1,0,5) > (5,0,25)


Alles was nicht -zusammenpasst- ist somit linear unabhängig.

[ralfkannenberg]

Hallo Kurt,

es geht aber nicht um Deine Vorstellung - auch wenn sie wohl tatsächlich der Ausgangspunkt der Idee der Linearen Unabhängigkeit im Eindimensionalen war, sondern es geht um die Definition.

Bitte lies nochmal meinen Anleitung zum Beweis, der sich an die korrekte Definition anlehnt, in Ruhe durch - der Beweis selber ist fast vollständig aufgeschrieben, Du musst ihn nur noch verstehen. Dann ist übrigens der letzte noch ausstehende Schritt trivial.

Ausserdem kannst Du Dich auch noch an diese Aufgabe mit diesen beiden symmetrischen Bilinearformen wagen - hier ist Deine Idee ja völlig richtig.

Ich bin erst wieder am Montag online, lass' Dir also Zeit.

Freundliche Grüsse, Ralf

[El Cattivo]

Dann doch mal die fast genaue Definition:

$ \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + \ldots + \lambda_n \vec{a_n}=0$

Wenn es lambdas gibt, die diese Gleichung erfüllen, dann sind die Vektoren linear abhängig. Wobei die Lambdas jede Zahl außer Null sein dürfen. Denn für λ=0 ist die Gleichung sinnigerweiße immer erfüllt. Das ist offensichtlich oder trivial. Gefragt ist also nach der nichttrivialen Lösung der Gleichung.
Wenn du mehrere Vektoren hast, die zu einem Raum gehören, dann ist die Frage nach der Dimension, die Frage nach der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren. In Ralfs Beispiel gab es vier Vektoren, mit 6 Komponenten.

$ \vec{v_1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}; \quad \vec{v_2}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}; \quad \vec{v_3}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}; \quad \vec{v_4}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} $

Sind die 4 Vektoren linear abhängig? Die Antwort lautet: Ja, denn es gibt eine nichttriviale Lösung der obigen Gleichungung. Man setzt einfach ein:

$ \lambda_1 \vec{v_1} + \lambda_2 \vec{v_2} + \lambda_3 \vec{v_3}+ \lambda_4 \vec{v_4}=0$
Mit etwas Rechnerei kommt sieht man, das die Gleichung erfüllt ist, wenn z.B.:
$ \lambda_1=(-1) \quad \lambda_2 =1 \quad \lambda_3 =1 \quad \lambda_4 =1 $
Ausführlicher geschrieben:
$(-1) \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 0 \\ (-1) \cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 1+1\cdot 0 \\ (-1) \cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 0+1\cdot 1 \\ (-1) \cdot 0+1\cdot 0+1\cdot 0+1\cdot 0 \\ (-1) \cdot 0+1\cdot 0+1\cdot 0+1\cdot 0 \\ (-1) \cdot 0+1\cdot 0+1\cdot 0+1\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=0$

Das waren alle vier Vektoren...

mfg

[ralfkannenberg]

Hallo Kurt,

und jetzt auch noch mal eine anschauliche Version:

Eine Gerade (1-dimensionaler Vektorraum) kann man mit einem Vektor darstellen; somit wird jeder weitere Vektor auf der Geraden linear abhängig sein, denn dieser weitere Vektor kann als Vielfaches des ersten Vektors dargestellt werden.

Eine Ebene (2-dimensionaler Vektorraum) kann man mit zwei linear unabhängigen Vektoren darstellen; somit wird jeder weitere Vektor auf der Ebene linear abhängig sein, denn dieser weitere Vektor kann als Vielfaches der Summe der beiden ersten Vektoren dargestellt werden.

Einen Raum (3-dimensionaler Vektorraum) kann man mit drei linear unabhängigen Vektoren darstellen; somit wird jeder weitere Vektor im Raum linear abhängig sein, denn dieser weitere Vektor kann als Vielfaches der Summe der drei ersten Vektoren dargestellt werden.

u.s.w.

Einen 6-dimensionalen Vektorraum kann man mit sechs linear unabhängigen Vektoren darstellen; somit wird jeder weitere Vektor im 6-dimensionalen Vektorraum linear abhängig sein, denn dieser weitere Vektor kann als Vielfaches der Summe der drei ersten Vektoren dargestellt werden.


Linear abhängige Vektoren kann man also als Summe von Vielfachen von linear unabhängigen Vektoren darstellen; einen linear unabhängigen Vektor indes kann man nicht als Summe von Vielfachen der anderen linear unabhängigen Vektoren darstellen. Subrtahiert man diesen betrachteten Vektor, so erhält man auf der linken Seite den Nullvektor und es gilt somit:

Den Nullvektor kann man nicht Summe von Vielfachen der linear unabhängigen Vektoren darstellen, ausser alle Vielfachen seien identisch gleich 0.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Kurt]

Muss weg,

am Abend mehr.

Kurt

[Lucas]

[Kurt]

Hallo Ralf,

[ralfkannenberg]

Hallo Kurt !

[Kurt]

[El Cattivo]

[Kurt]

Hallo ihr Geduldigen.

Heut hab ich mit dem Auto 500 KM runtergeradelt.
Dabei kann man in Ruhe die Gedanken spielen lassen.

Dabei ist aufgefallen das ich bei den eindimensionalen Vektoren (und bei allen anderen auch) eine Gemeinsamkeit angenommen habe die gar nicht existiert.

Ich habe bei allen versucht die gleiche Zuahl zur Erkennung auf linear abhängig zu verwenden.
Dabei ist ja jeder eigenständig und hat mit den Anderen nichts zu tun ausser der Eigenschaft eben eindimensional zu sein.

Das hat sich dann so geäussert:

Vq = (2)
Va = (4)
Vb = (5)

[ralfkannenberg]

Hallo Kurt,

als allererstes mal ein grosses Lob - Du zeigst in diesem Thread grosse Einsicht ! Darauf lässt sich aufbauen


Obgleich wir die Lineare Unabhängigkeit eigentlich nicht für das Verständnis zu alternativen Relativitätstheorien benötigen ist es sicherlich hilfreich, hier gewisse, aber wirklich nur minimale Grundkenntnisse zu haben.

Der eindimensionale Fall ist irgendwie zu speziell und somit wenig geeignet, sich das ganze vorzustellen - was nutzt ein Raum, in dem sowieso jeder andere Vektor linear abhängig ist ? Da kann man sich die Idee dieser Eigenschaft ja gar nicht richtig vorstellen.

Betrachten wir lieber die Ebene; hier ist alles noch einfach und anschaulich und wir Menschen können uns sogar problemlos eine weitere Raumdimension vorstellen, die nicht in der Ebene liegt.

Betrachten wir die beiden 45° geneigten Vektoren (1,1) und (-1,1):

(1,1) ist ja der Vektor, der eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben zeigt und
(-1,1) ist der Vektor, der eine Einheit nach links und eine Einheit nach oben zeigt.

Diese beiden Vektoren zeigen also in verschiedene Richtungen und es ist somit anschaulich klar, dass die linear unabhängig sind, denn man benötigt zwei linear unabhängige Vektoren, um eine Ebene auszuspannen.

Hingegen würde das mit den beiden Vektoren (1,1) und (-1,-1) nicht klappen, weil beide auf derselben Geraden liegen.

Nehmen wir noch zum System (1,1) und (-1,1) einen dritten Vektor in der Ebene hinzu, nämlich (0,2), also der Vektor, der 2 Einheiten nach oben zeigt.

(0,2) zeigt also in eine andere Richtung als (1,1) und er zeigt auch in eine andere Richtung als (-1,1). Ist er zu den beiden linear unabhängig oder linear abhängig ?

Tipp: Was ergibt (1,1) + (-1,1) ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Hallo Kurt,

lass mich dazu parallel eine Aufgabe zu den Bilinearformen stellen, damit wir das nicht ganz vergessen:

Seien:

f_1( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x + a_y * b_y
f_2( (a_x,a_y), (b_x, b_y) ) = a_x * b_x - a_y * b_y


Was ist dann:

f_1( (1,1), (-1,1) ) = ?
f_2( (1,1), (-1,1) ) = ?
f_1( (1,1), (0,2) ) = ?
f_2( (1,1), (0,2) ) = ?


Freundliche Grüsse, Ralf