Alpha Centauri :: Thema anzeigen - Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten

Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten
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Ich

Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624

Verfasst am: 17.06.2008, 09:03 Titel:

Zitat:

Aus lokal in hinreichend kleinen Intervallen dt (und bzgl. geeigneter Koordinaten) gültigen
Näherungen kann man nicht eine in beliebigen Intervallen gültige Näherung zusammenkleben.

Freilich kann man. Nicht immer, aber hier.

Zitat:

Folgt daraus, daß jede differenzierbare
Funktion in einem beliebigen Intervall durch eine lineare Funktion angenähert werden kann?

Habe ich das behauptet?

Zitat:

Das ginge nur, wenn sie tatsächlich linear ist, was sich global feststellen läßt.

Genau. Falls ralfkannenberg noch mitlliest: Daher kommt bei Einstein S.899 der Satz "da tau eine lineare Funktion ist". Die Frage war mal im anderen Thread.

Zitat:

Genauso hier: dt1/dt2 läßt sich global und exakt ausrechnen, ist abhängig von den
Sendezeiten und nicht formal mit der RT-Rechnung identisch.

Das möchte ich sehen. Ich kann's in meiner Näherung nicht global und exakt ausrechnen. Du redest hier von etwas anderem. Das exakte dt1/dt2 ist auf keinen Fall abhängig von den Sendezeiten.

Zitat:

Dies läßt sich nicht
durch Murmeln der Zauberformel "Zeitsymmetrie" wegdiskutieren. Die exakte Formel ist nun mal
nicht zeitsymmetrisch, sondern hängt von mehreren Zeitpunkten explizit ab.

Nochmal: wo hast du eine exakte Formel her?
Die Zauberformel "Zeitsymmetrie" murmle ich übrigens vor allen Formeln. Es ist klar, dass dt1/dt2=const. exakt gilt, die Rechnung im mitbewegten Bezugssystem nur in Näherung, für hinreichend kleine dt und gh.

Zitat:

Ich warte auch immer noch auf einen Grund warum ich nicht mit genau demselben Argument
v=const. für beliebige Dt schließen darf.

Hab ich erst mal wieder ausgraben müssen:

Zitat:

Lokal gültig (für kleine Zeitdifferenzen) ist auch die Näherung v=const. Trotzdem gilt v=const. nicht
für beliebige Zeitdifferenzen, nichtmal im Bereich v<<c.

Da warte ich erst mal auf einen Grund, warum man darauf schließen dürfte.

Zitat:

Aber selbst wenn man in einem Spezialfall zufällg formale Gleichheit erreichen könnte, hielte
ich nicht viel von der Idee, Zeitdilatation mit Newtonscher Mechanik ausrechnen zu
wollen.

Einspruch!
Die Gleichheit ist weder "zufällig" noch rein "formal". Sie folgt direkt aus dem Äquivalenzprinzip.

Zitat:

Das ist auch in Newtonscher Mechanik der
Normalfall und es bringt IMHO nicht viel diesen Sachverhalt in einem konkreten Fall als
"Zeitdilatation" zu bezeichnen und sonst nicht.

Was ist der Normalfall? Dass zwei zueinander ruhende Beobachter Rotverschiebung sehen?
Ich hab nicht diese Form von Rotverschiebung einfach als Zeitdilatation "bezeichnet", sondern ich habe im Gedankenexperiment gezeigt, dass es tatsächlich ZD ist. Schon rein aus Trotz werde ich das Gedankenexperiment nicht noch exakter zu formulieren versuchen. Du kannst dich auch mal bemühen, die Begündung nachzuvollziehen (sie ist m.E. wasserdicht), statt einen mathematischen Beweis zu fordern.

Zitat:

Das wesentliche an Zeitdilatation ist, daß es keine absolute Zeit gibt und Dauer
nicht nur von Anfangs- und Endereignis abhängt, sondern ein Funktional der Weltlinie ist,
auf der zwischen beiden Ereignissen (oder entsprechenden gleichzeitigen
Ereignissen) die Zeit gestoppt wird. Das würde aus einer Newtonschen Rechnung nicht deutlich,
selbst wenn die Formel stimmen würde.

Die Formel stimmt, die Frage ist nur, ob die Herleitung korrekt ist.
Und ich finde genau das eine schöne Herausforderung an das Vorstellungsvermögen: Man erkennt in der Herleitung, dass die Newtonsche Mechanik (bzw. die Galileische Kinematik) nicht global gültig sein kann. Wie sieht so ein globales Bezugssysteme aus?

Zitat:

Aber die Metrik
des Minkowski-Raums bleibt die Metrik des Minkowski-Raum, egal ob sich da beschleunigte
Beobachter mit konstantem Abstand drin bewegen.

Weißt was? Ich hab mich wirklich bei der Formulierung mit meinem Rechtsbeistand beraten, und der hat mir versichert, dass der Passus "eine neue (Formulierung der) Metrik" vor Gericht Bestand haben wird, auch wenn die Gegenseite ihn bestimmt anfechten wird.
Ich überleg mir mittlerweile echt bei fast jedem Satz, wie ich ihn formulieren muss, dass du ihn nich missverstehen kannst. Das ist echt anstrengend, und irgendwie brauchen wir so auch immer mindestens 100 Beiträge zur Klärung eines Sachverhalts. Naja, ich nehms mal als Übung in Juristendeutsch, kann man vielleicht mal brauchen.

Zitat:

Die Schwarzschildmetrik hat damit
nicht viel zu tun, insbesondere verschwindet in ihr ja die Krümmung nicht.

Hast den "Tangentialraum" überlesen?
Außerdem schwör' ich, dass der Satz verdammt viel Sinn ergibt (ok, mein Rechtsbeistand hat davon abgeraten, "Metrik" und "Raum" gleichzusetzen sowie "kanonisch isomorph" als humoristischen Seitenhieb eizustreuen), wenn man ihn richtig formuliert. Kannst ja mal versuchen.

Aber das Wichtigste nochmal:
hamma dt1/dt2 = const unter Dach und Fach, oder nicht?
Und wenn ja, ist das edankenexperiment klar? In dem zeige ich, dass Anfangs- bzw. Endzeitpunkt oben und unten ausreichend gleichzeitig sind, dass Zeitdilatation bewiesen ist.

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Ich

Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624

Verfasst am: 17.06.2008, 11:42 Titel:

Joachim hat Folgendes geschrieben:

Erik hat Folgendes geschrieben:

Aus lokal in hinreichend kleinen Intervallen dt (und bzgl. geeigneter Koordinaten) gültigen
Näherungen kann man nicht eine in beliebigen Intervallen gültige Näherung zusammenkleben.

Richtig. Worum es hier geht ist: Wenn man Dt genügend klein hält, dann gilt die Näherung hinreichend genau. Näherungen erster Ordnung sind immer streng genommen falsch, aber oft sehr nützlich. Bei der im Maryland-Experiment gemessenen Rotverschiebung ist die lineare Näherung tatsächlich bereits recht gut.

Erik bezweifelt ja, dass die Ableitung der Näherungsformel 1+gh/c² gültig ist. Um die Gültigkeit zu zeigen, muss ich in der Tat das exakte Ergebnis für kleine dt zu großen Dts zusammenkleben können. Dass ich das kann folgt m.E. beinahe trivial aus der Zeittranslationsinvariaz der Situation, aber genau den Punkt diskutieren wir noch.

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Joachim

Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714

Verfasst am: 17.06.2008, 15:19 Titel:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Musst du die Zeittranslationsinvariaz nicht sowieso als zusätzliches Postulat hinzunehmen, damit die Ableitung gültig ist? Näherungsweise gilt sie ja tatsächlich, streng nur, wenn die Beschleunigungen so erfolgen, dass der gemessene Abstand h konstant bleibt.

Ich verstehe jetzt immerhin, wie du es meinst. Aber dass es sich um eine Ableitung mit Newtonscher Mechanik handelt, sehe ich immer noch nicht ein. Nach Newton gibt es kein Äquivalenzprinzip. Außerdem sehe ich nicht, inwiefern diese Herleitung für Laien einsichtiger sein soll. Gerade die Äquivalenz der Schwerkraft zur Beschleunigung ist schwer einsehbar. Wenn wir konstant nach oben Beschleunigen, warum bleibt dann die Entfernung zu Australien immer gleich? Der Weg über Geometrie scheint mir einfacher.

Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv)

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Ich

Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624

Verfasst am: 17.06.2008, 16:15 Titel:

Zitat:

Ja, klar. Den konstanten Abstand habe ich explizit hingeschrieben, mit Hinweis darauf, dass es egal ist, wie das genau zu erreichen ist. Das zusätzliche Postulat nehme ich auch mit, ich will da gerne wieder aus Einsteins Arbeit seinerzeit zitieren, um wichtig zu wirken: "Zunächst ist klar, dass die Gleichungen linear sein müssen wegen der Homogenitätseigenschaften, welche wir Raum und Zeit beilegen." Ich brauchs hier natürlich nur für die Zeit.

Zitat:

Ich verstehe jetzt immerhin, wie du es meinst. Aber dass es sich um eine Ableitung mit Newtonscher Mechanik handelt, sehe ich immer noch nicht ein.

Musst du auch nicht einsehen, das habe ich nie behauptet (glaube ich). Meine Wortwahl war "von Galileo weg", also Äquivalenzprinzip anwenden, die konstante LG in die bekannte Mechanik eingesetzt und los gehts. "Von Newtonscher Mechanik ausgehend" meinte ich, im Sinne von "kein weiteres Vorwissen nötig".

Zitat:

Außerdem sehe ich nicht, inwiefern diese Herleitung für Laien einsichtiger sein soll.

Hmm, einsichtiger als was? Ich sehe mittlerweile, dass sie wohl nicht einsichtig ist, aber ich sehe keine alternative Herleitung. Wenn du sagst, "Der Weg über Geometrie scheint mir einfacher.", wie sieht dieser Weg aus?

Zitat:

Gerade die Äquivalenz der Schwerkraft zur Beschleunigung ist schwer einsehbar.

Hilft aber nichts. Alles andere ist "Lügen für Kinder", wie Terry Pratchett sagt. Sonst kannst du nicht auf Geometrie kommen.

Zitat:

Wenn wir konstant nach oben Beschleunigen, warum bleibt dann die Entfernung zu Australien immer gleich?

Wie gesagt, das ist ein PAL. Das kann man sich für den Fall aufsparen, dass man die Situation lokal überrissen hätte. Macht's unnötig kompliziert für den Einstieg, denke ich.

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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 17.06.2008, 16:56 Titel:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Zitat:

Folgt daraus, daß jede differenzierbare
Funktion in einem beliebigen Intervall durch eine lineare Funktion angenähert werden kann?

Habe ich das behauptet?

Es ist genau dieselbe Logik.

Zitat:

Das ginge nur, wenn sie tatsächlich linear ist, was sich global feststellen läßt.

Genau. Falls ralfkannenberg noch mitlliest: Daher kommt bei Einstein S.899 der Satz "da tau eine lineare Funktion ist". Die Frage war mal im anderen Thread.

Woher kommt er? Aus einer falschen Schlußweise? Ich hoffe nicht.

Zitat:

Genauso hier: dt1/dt2 läßt sich global und exakt ausrechnen, ist abhängig von den
Sendezeiten und nicht formal mit der RT-Rechnung identisch.

Das möchte ich sehen. Ich kann's in meiner Näherung nicht global und exakt ausrechnen.

Wenn ich sage "exakt" meine ich ja gerade "ohne Näherung".

Zitat:

Du redest hier von etwas anderem. Das exakte dt1/dt2 ist auf keinen Fall abhängig von den Sendezeiten.

Bei mir schon. Ich rechne für beliebige Sendezeiten folgendes aus:

\[ dt_1/dt_2 = \frac{\sqrt{1 + (...) (h+a)} - \sqrt{ 1 - (...)b}}{\sqrt{1+ (...)a } - \sqrt{1-(..)(h+b)} } , \]

wobei a+h und -b die Orte der Lichstrahlen bei t=0 sind, also von den Sendezeiten abhängen. (...)
bedeutet immer dieselbe Konstante.

Um hier zu folgern, daß sich a und b rausheben, muß ich schon nähern dürfen. Das darf ich
aber erst, wenn a und b klein sind, gilt also nicht für beliebige Lichtstrahlen.

Zitat:

Dies läßt sich nicht
durch Murmeln der Zauberformel "Zeitsymmetrie" wegdiskutieren. Die exakte Formel ist nun mal
nicht zeitsymmetrisch, sondern hängt von mehreren Zeitpunkten explizit ab.

Nochmal: wo hast du eine exakte Formel her?

Ich habe einfach die Zeiten der Schnittpunkte der Lichtstrahlen ct + a+h und ct - b mit beiden
Uhren ausgerechnet ohne zu nähern. Dann die Differenzen und den Quotienten gebildet.

Zitat:

Es ist klar, dass dt1/dt2=const. exakt gilt, die Rechnung im mitbewegten Bezugssystem nur in Näherung, für hinreichend kleine dt und gh.

Aha, also postulierst du eigentlich dt1/dt2 = const. und verbietest dann eine Rechnung
im mitbewegten System für belibig große Dt, die nach Newton vollkommen korrekt wäre?
Warum postulierst du nicht gleich das richtige Ergebnis, dann könnte man sich das Rechnen sparen
und es wäre klar, daß die Behauptung man könne Zeitdilatation problemlos mit Newtonscher
Mechanik herleiten, so nicht stimmt.

Zitat:

Ich warte auch immer noch auf einen Grund warum ich nicht mit genau demselben Argument
v=const. für beliebige Dt schließen darf.

Hab ich erst mal wieder ausgraben müssen:

Zitat:

Lokal gültig (für kleine Zeitdifferenzen) ist auch die Näherung v=const. Trotzdem gilt v=const. nicht
für beliebige Zeitdifferenzen, nichtmal im Bereich v<<c.

Da warte ich erst mal auf einen Grund, warum man darauf schließen dürfte.

Ich nehme denselben Grund wie du. Ich nähere erst in geeigneten Koordinaten und für kleine
Zeitintervalle v(t) = v0 (für t1 -dt < t < t1+dt) . Zu anderen Zeiten t2 transformiere ich
erst in das System, in dem auch v(t2) =v0, und verwende wieder die Näherung v(t) = v0, (diesmal
für t2-dt < t < t2 +dt) u.s.w. Dann klebe ich alle Intervale zu einem großen Dt zusammen
und behaupte v(t) = v0 für alle t aus Dt. Das geht für beliebige differenzierbare
Funktionen v(t).

Zitat:

Das ist auch in Newtonscher Mechanik der
Normalfall und es bringt IMHO nicht viel diesen Sachverhalt in einem konkreten Fall als
"Zeitdilatation" zu bezeichnen und sonst nicht.

Was ist der Normalfall? Dass zwei zueinander ruhende Beobachter Rotverschiebung sehen?

Daß zwischen zwei Ereignissen A und B eine andere absolute Zeit vergeht als zwischen zwei
anderen Ereignissen C und D.

Zitat:

Ich hab nicht diese Form von Rotverschiebung einfach als Zeitdilatation "bezeichnet", sondern ich habe im Gedankenexperiment gezeigt, dass es tatsächlich ZD ist. Schon rein aus Trotz werde ich das Gedankenexperiment nicht noch exakter zu formulieren versuchen. Du kannst dich auch mal bemühen, die Begündung nachzuvollziehen (sie ist m.E. wasserdicht), statt einen mathematischen Beweis zu fordern.

Ich fordere gar nichts, sondern sehe eine logische Lücke in der Begründung. Sowas behaupte
ich normalerweise erst, wenn ich versucht habe die Begründung zu verstehen.

Aber schmoll ruhig. Mir egal.

Zitat:

Die Formel stimmt, die Frage ist nur, ob die Herleitung korrekt ist.

Ich sage, es ist egal, ob sie stimmt und du antwortest, daß sie stimmt. Wer bemüht sich
hier nicht, wessen Argumente nachzuvollziehen?

Zitat:

Und ich finde genau das eine schöne Herausforderung an das Vorstellungsvermögen: Man erkennt in der Herleitung, dass die Newtonsche Mechanik (bzw. die Galileische Kinematik) nicht global gültig sein kann.

Man sieht höchstens, daß es unvereinbar ist mit dt1/dt2 = const. Na und? Warum sollte man das
fordern? Damit am Schluß die richtige Formel da steht?

Zitat:

Wie sieht so ein globales Bezugssysteme aus?

Bei Newton? t=absolute Zeit, x = irgendeine gerade Linie im Raum.

Zitat:

Aber die Metrik
des Minkowski-Raums bleibt die Metrik des Minkowski-Raum, egal ob sich da beschleunigte
Beobachter mit konstantem Abstand drin bewegen.

Gegen den Passus "eine neue (Formulierung der) Metrik" hatte ich gar nichts, also krieg
dich wieder ein.

Bevor ich sage, daß der Satz keinen Sinn ergibt, probiere ich typischerweise mehrere
naheliegende Interpretationen aus, weil ich weiß, daß Jargon (auch mathematischer)
vergleichsweise unwesentlich ist. Ich fechte also keine unsachgemäße Verwendung von
Fachbegriffen an, wie du wohl mit diesem neuen humoristischen Seitenhieb auszudrücken
versuchtest. Kann aber durchaus sein, daß du das immer in dem Sinne falsch verstanden hast.

Zitat:

Die Schwarzschildmetrik hat damit
nicht viel zu tun, insbesondere verschwindet in ihr ja die Krümmung nicht.

Hast den "Tangentialraum" überlesen?

Nein, stell dir vor, ich habe jedes Wort gelesen, aber keine zwei passen zusammen, wie
du ja selbst weißt. Auf die Krümmung kam ich gerade deshalb, weil ich vermutete,
daß die Erwähnung von Tangentialraum, so was wie "lokal ununterscheidbar" bedeuten soll.
Krümmung ist aber an jedem Punkt definiert, also auch im Tangentialraum feststellbar.

Zitat:

Außerdem schwör' ich, dass der Satz verdammt viel Sinn ergibt (ok, mein Rechtsbeistand hat davon abgeraten, "Metrik" und "Raum" gleichzusetzen sowie "kanonisch isomorph" als humoristischen Seitenhieb eizustreuen), wenn man ihn richtig formuliert.

Keine Sorge, der humoristische Seitenhieb ist hier schon angekommen, der Sinn aber immernoch
nicht.

Zitat:

Kannst ja mal versuchen.

Zu freundlich. Daß mein Einwand vielleicht aus fehlgeschlagenen Intepretationsversuchen
deiner Aussage resultiert, die ich dir lediglich nicht im Detail mitteile, kommt dir wohl
nicht in den Sinn?

1. Versuch "Rindler-Raumzeit (RRZ) ist isometrisch zur Schwarzschid-Raumzeit (SRZ)". Fehlsschlag
2. Versuch: "RRZ ist diffeomorph zur SRZ." Wieder Fehlschlag.

Beides funktioniert auch nicht lokal, wie man am Krümmungstensor sieht. Funktioniert
höchstens, wenn man in dem Bereich ist, wo Schwarzschild schon fast flach ist, aber
dann gibt es auch keine gravitative Zeitdilatation mehr zwischen zwei ruhenden Beobachtern,
obwohl es die Zeitdilatation zwischen den Rindler-Beobachtern unverändert gibt. Und weiter?

Zuletzt bearbeitet von Erik am 17.06.2008, 18:10, insgesamt 3-mal bearbeitet

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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 17.06.2008, 17:01 Titel:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Zitat:

Ich verstehe jetzt immerhin, wie du es meinst. Aber dass es sich um eine Ableitung mit Newtonscher Mechanik handelt, sehe ich immer noch nicht ein.

Deine Wortwahl war auch, "ich kann ganz einfach nach Newtonscher Mechanik rechnen".

Ich schlage für die Zukunft folgendes vor: entweder fängst du an dein eigenes Gerede ernster
zu nehmen oder du sparst dir die Unterstellung, andere würden sich beim Verstehen desselben nicht
genug Mühe geben. Gar nichts von beidem finde ich unfair.

Bleibt erstmal die Frage: wenn du nicht nach Newton rechnest, wonach rechnest du dann?
Was ist die "bekannte Mechanik", wenn nicht Newtonsche?

Zitat:

Der Weg sieht nach meinem Geschmack so aus, daß man Eigenzeitintegrale zwischen genau definierten Ereignissen
auswertet und miteinander vergleicht.

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Ich

Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624

Verfasst am: 17.06.2008, 20:56 Titel:

Zitat:

Wenn ich sage "exakt" meine ich ja gerade "ohne Näherung".

Zitat:

Bei mir schon. Ich rechne für beliebige Sendezeiten folgendes aus:

Zitat:

Um hier zu folgern, daß sich a und b rausheben, muß ich schon nähern dürfen. Das darf ich
aber erst, wenn a und b klein sind, gilt also nicht für beliebige Lichtstrahlen.
Moment, ich hab geschrieben:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung der Uhren beschreiben als:
Uhr 1: x = g/2 t²
Uhr 2: x = g/2 t² + h
(Natürlich nur solange dx/dt<<c)

Ich arbeite von vornherein mit der Näherung v<<c, und die Abweichungen, die du siehst, verschwinden erst mit v gegen 0. Wichtig ist, dass ich nicht in diesen Abweichungen mein Ergebnis suche, sondern eine Ordnung niedriger.

Zitat:

Ich habe einfach die Zeiten der Schnittpunkte der Lichtstrahlen ct + a+h und ct - b mit beiden
Uhren ausgerechnet ohne zu nähern.

Die Näherung steckt doch in der Newtonschen Mechanik, z.B. in a=g/2t². Aus der kriegst du auch mit exakter Rechnung kein exaktes Ergebnis, du siehst nur die Restabweichung, die drin steckt.

Zitat:

Aha, also postulierst du eigentlich dt1/dt2 = const. und verbietest dann eine Rechnung
im mitbewegten System für belibig große Dt, die nach Newton vollkommen korrekt wäre?

Ja. Weil ich den Gültigkeitsbereich der Newtonschen Mechanik von vornherein eingeschränkt habe.

Zitat:

Warum postulierst du nicht gleich das richtige Ergebnis, dann könnte man sich das Rechnen sparen
und es wäre klar, daß die Behauptung man könne Zeitdilatation problemlos mit Newtonscher
Mechanik herleiten, so nicht stimmt.

Wo ist das Problem? Ich brauche die Gültigkeit von Newton für kleine v, und dann kann ich damit rechnen.

Zitat:

Da hat doch der Fehler die selbe Ordnung wie der Effekt. v ändert sich in erster Ordnung mit dt, die Zeitdilatation erst mit zweiter.

Mich würde interessieren, wo du die logische Lücke siehst.
-gilt für ein bestimmtes dt1, dass die korrespondierende Zeit oben dt1*(1+gh/c²) ist?
-gilt das für jedes dt1?
-gilt das dementsprechend auch für beliebig viele aneinandergereihte dt1 bzw. dt2?
-sind die Anfangs- und Endereignisse eines solchen ausgedehnten Intervalls ausreichend gleichzeitig, dass Zeitdilatation nachgewiesen werden kann?

Zitat:

Man sieht höchstens, daß es unvereinbar ist mit dt1/dt2 = const. Na und? Warum sollte man das
fordern? Damit am Schluß die richtige Formel da steht?

Du fragst, warum man dt1/dt2=const. fordern sollte? Ist nicht dein Ernst, oder?

Zitat:

Auf die Krümmung kam ich gerade deshalb, weil ich vermutete,
daß die Erwähnung von Tangentialraum, so was wie "lokal ununterscheidbar" bedeuten soll.
Krümmung ist aber an jedem Punkt definiert, also auch im Tangentialraum feststellbar.

Der Tangentialraum ist flach, wie willst du da Krümmung feststellen?

Zitat:

1. Versuch "Rindler-Raumzeit (RRZ) ist isometrisch zur Schwarzschid-Raumzeit (SRZ)".

Isometrisch ist schön. Wo ist der Tangentialraum hin?
Bevor wir da noch lange rumtun (diffeomorph z.B. ist nicht so schön, außerdem hab ich wirklich keine Ahnung, welche Begriffe die Richtigen sind), was ich meine ist: Die SRZ ist bei gegebener Genauigkeit in einem ausgedehnten Raumgebiet mit der Rindler-Metrik beschreibbar.

Zitat:

Beides funktioniert auch nicht lokal, wie man am Krümmungstensor sieht. Funktioniert höchstens, wenn man in dem Bereich ist, wo Schwarzschild schon fast flach ist, aber dann gibt es auch keine gravitative Zeitdilatation mehr zwischen zwei ruhenden Beobachtern, obwohl es die Zeitdilatation zwischen den Rindler-Beobachtern unverändert gibt.

Irgendwie hast du was gegen Näherungen. Wenn ich die Krümmung in einer bestimmten Umgebung vernachlässige, verschwindet dadurch doch die Zeitdilatation nicht. Bloß die Rechnung wird einfacher, und die Genauigkeit ergibt sich aus der Größe der Umgebung.

Zitat:

Deine Wortwahl war auch, "ich kann ganz einfach nach Newtonscher Mechanik rechnen".

Tu ich ja auch. Sie ist eine für die Herleitung ausreichende Näherung.

Zitat:

Ich schlage für die Zukunft folgendes vor: entweder fängst du an dein eigenes Gerede ernster
zu nehmen oder du sparst dir die Unterstellung, andere würden sich beim Verstehen desselben nicht
genug Mühe geben. Gar nichts von beidem finde ich unfair.

Ich nehme mein Gerede durchaus ernst, meistens zumindest. Ich würde meinen Eingangsbeitrag auch immer noch genau so formulieren, ich glaube ihn nämlich zu verstehen. Ich bemühe mich hier auch seit geraumer Zeit, zu verstehen, warum du das nicht schlüssig findest. Aber wenn ich mal konkret nachfrage, dann lässt du genau diese Fragen als einzige aus.
Vielleicht machen wir weiter, indem du den konkreten Schritt nennst, mit dem du nicht einverstanden bist, und warum.

Zitat:

Der Weg sieht nach meinem Geschmack so aus, daß man Eigenzeitintegrale zwischen genau definierten Ereignissen
auswertet und miteinander vergleicht.

Mach ich doch. Lokale Koordinatenzeit=Eigenzeit, in ausreichender Genauigkeit.

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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 18.06.2008, 14:03 Titel:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Zitat:

Wenn ich sage "exakt" meine ich ja gerade "ohne Näherung".

Zitat:

Bei mir schon. Ich rechne für beliebige Sendezeiten folgendes aus:

Zitat:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung der Uhren beschreiben als:
Uhr 1: x = g/2 t²
Uhr 2: x = g/2 t² + h
(Natürlich nur solange dx/dt<<c)

Von mir aus, aber es folgt eben, wie du selbst bemerkst, daß v auch für die
Sendezeiten klein sein muß. Die beiden Sendezeiten sind aber völlig unabhängig, also
kann man die Bedingung v << c nur dann für den ganzen Vorgang erreichen, wenn man
Bedingungen an die Sendezeit stellt. Dies ist in der RT aber nicht so.

Zitat:

Da hat doch der Fehler die selbe Ordnung wie der Effekt. v ändert sich in erster Ordnung mit dt, die Zeitdilatation erst mit zweiter.

Es geht nicht um die Ordnung. Das Argument wäre auch falsch wenn du bis zur 10. Ordnung
näherst. (Nur nicht bei v, weil das ein lineare Funktion ist.) Vergiß mal die Funktion dt1/dt2 und
betrachte nur v(t), wäre das Argument dann richtig?

Du behauptest im Prinzip dasselbe, nämlich das sich dt1/dt2 = "komplizierter Wurzelausdruck"
in einem beliebigen Intervall durch ein Polynom approximieren läßt. Und das stimmt doch nicht.

Zitat:

Mich würde interessieren, wo du die logische Lücke siehst.
-gilt für ein bestimmtes dt1, dass die korrespondierende Zeit oben dt1*(1+gh/c²) ist?

Ja.

Zitat:

-gilt das für jedes dt1?

Wenn du damit meinst, für ein ungefähr gleich großes Intervall um einen anderen Zeitpunkt, dann auch ja.

Zitat:

-gilt das dementsprechend auch für beliebig viele aneinandergereihte dt1 bzw. dt2?

Nein, wenn es um die Lichtstrahlen geht, die zu Beginn des ersten und am Ende des letzten Intervalls gesendet werden.
Die Fehler die du machst, wachsen ja mit der Intervallgröße.

Zitat:

-sind die Anfangs- und Endereignisse eines solchen ausgedehnten Intervalls ausreichend gleichzeitig, dass Zeitdilatation nachgewiesen werden kann?

Meinst du a) S1/S2 ausreichend gleichzeitig zu E1/E2, oder b) S1 zu S2 und E1 zu E2?

a) ja, aber irrelevant, b) nein, nur wenn du das voraussetzt.

Zitat:

Man sieht höchstens, daß es unvereinbar ist mit dt1/dt2 = const. Na und? Warum sollte man das
fordern? Damit am Schluß die richtige Formel da steht?

Du fragst, warum man dt1/dt2=const. fordern sollte? Ist nicht dein Ernst, oder?

Frag nicht, ob ich es frage, sondern antworte doch einfach.

dt1/dt2=const. ergibt sich IMHO nicht aus Newtonscher Mechanik. Deswegen frage ich. Ziel der Übung
kann doch nicht sein, "ich postuliere, was ich brauche um eine Formel herzuleiten".
Ziel sollte doch ein Verständnis von gravitativer Zeitdilatation sein. Das kann ich nur
erreichen, wenn die Postulate nicht zu exotisch sind, also mit gängigen Theorien noch
was zu tun haben, z.B. aus ihnen folgen.

Zitat:

Der Tangentialraum ist flach, wie willst du da Krümmung feststellen?

Mit Krümmung ist auch nicht die des Tangentialraums gemeint, sondern die der Raumzeit,
in einem Punkt.

Der Krümmungstensor lebt auch auf dem Tangentialraum. Wenn ich da Vektoren einsetze
und es kommt nicht null raus, weiß ich, daß die RZ gekrümmt ist.

Zitat:

1. Versuch "Rindler-Raumzeit (RRZ) ist isometrisch zur Schwarzschid-Raumzeit (SRZ)".

Isometrisch ist schön. Wo ist der Tangentialraum hin?

Der wird durch das Differential der Isometrie abgebildet. Aber es gibt ja keine.

Zitat:

Bevor wir da noch lange rumtun (diffeomorph z.B. ist nicht so schön, außerdem hab ich wirklich keine Ahnung, welche Begriffe die Richtigen sind), was ich meine ist: Die SRZ ist bei gegebener Genauigkeit in einem ausgedehnten Raumgebiet mit der Rindler-Metrik beschreibbar.

Nicht vollständig, aber IMHO ok, solange wir z.B. bei Zeitdilatation für bestimmte Beobachter
bleiben. Wenn die Beobachter in der Schwarzschild-Metrik bewegt sind oder andere Beobachter
bei Rindler betrachtet werden, sieht es natürlich anders aus.

Zitat:

Wieso? Je flacher die SRZ wird, desto geringer wird doch bei festem Abstand auch
die gravitative Zeitdilatation. Irgendwann habe ich einfach zwei relativ zueinander
ruhende Beobachter im Beinahe-Minkowski-Raum. Da gibt es dann auch keine Zeitdilatation
mehr.

Zitat:

Die Fragen waren:

Zitat:

Aber das Wichtigste nochmal:
hamma dt1/dt2 = const unter Dach und Fach, oder nicht?

Ich dachte dies beantwortet sich von selbst, da ich wiederholt die exakte Formel hingeschrieben
habe, die nicht konstant ist. Darauf bist aber Du bis jetzt nicht so richtig eingegangen.
Ich halte die Formel im Rahmen der newtonschen Mechanik für korrekt.

Zitat:

Und wenn ja, ist das edankenexperiment klar? In dem zeige ich, dass Anfangs- bzw.
Endzeitpunkt oben und unten ausreichend gleichzeitig sind, dass Zeitdilatation
bewiesen ist.

Ich denke das du da nicht zeigst, sondern voraussetzen mußt, während in der RT
Anfangs- und Endereignis ja nicht hinreichend gleichzeitig sein müssen.

Zweitens, denke ich nicht, daß das Ergebnis, selbst bei lückenloser Herleitung der richtigen
Formel viel mit Zeitdilatation zu tun hat. Du hast halt eine Bedingung, in der das
Vehältnis zweier abslouter Zeitdauern genauso ist, wie das Verhältnis von Eigenzeiten im
Gravitationsfeld.

Zitat:

Vielleicht machen wir weiter, indem du den konkreten Schritt nennst, mit dem du nicht einverstanden bist, und warum.

Das habe ich bereits. Mehr kann ich dazu leider nicht sagen, fürchte ich.

Zitat:

Der Weg sieht nach meinem Geschmack so aus, daß man Eigenzeitintegrale zwischen genau definierten Ereignissen
auswertet und miteinander vergleicht.

Mach ich doch. Lokale Koordinatenzeit=Eigenzeit, in ausreichender Genauigkeit.

Da bleibt von Zeitdilatation eben nicht mehr viel übrig. Es bleibt nur die Situation, die es in der Newtonschen
Mechaik auch schon immer gibt, nämlich t(A) - t(B) ungleich t(C) - t(D).

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Ich

Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624

Verfasst am: 18.06.2008, 15:31 Titel:

Zitat:

Das ist in der RT nicht so, aber bei mir, weil ich die RT-Rechnung durch die einfachere Newtonsche Näherung ersetzen will.

Zitat:

Da hat doch der Fehler die selbe Ordnung wie der Effekt. v ändert sich in erster Ordnung mit dt, die Zeitdilatation erst mit zweiter.

Das Argument wäre weder für v(t) noch für manche andere Funktionen richtig. Es ist für dt1/dt2 richtig, weil dt2 eine lineare Funktion von dt1 ist.

Zitat:

Du behauptest im Prinzip dasselbe, nämlich das sich dt1/dt2 = "komplizierter Wurzelausdruck"
in einem beliebigen Intervall durch ein Polynom approximieren läßt. Und das stimmt doch nicht.

Nicht einmal Polynom, eher Oligonom. Hier und in den umliegenden Beiträgen glaube ich ein Missverständnis aufgespürt zu haben:
dt1/dt2 folgt aus grundlegenden Prinzipien, lange bevor ich mich entschieden habe, wie ich den Wert berechnen will. Meine Anwendung der Newtonschen Mechanik ist von vornherein eine Näherung für kleine v, und wenn dabei ein komplizierter Wurzelausdruck für dt1/dt2 folgt, dann nur deswegen, weil die Berechnung nicht exakt ist für ausgedehnte Intervalle. Das tut dem dt1/dt2 nichts, weil ich ja den exakten Wert für dt1 und gh gegen 0 verwende.

Zitat:

-gilt für ein bestimmtes dt1, dass die korrespondierende Zeit oben dt1*(1+gh/c²) ist?

Ja.

Zitat:

-gilt das für jedes dt1?

Wenn du damit meinst, für ein ungefähr gleich großes Intervall um einen anderen Zeitpunkt, dann auch ja.

Dann isses ja gut, dann haben wir ja dt1/dt2 = const festgestellt. Vergiß die Abweichungen, die in der Newtonschen Näherungen für endliches dt auftreten.
-gilt das dementsprechend auch für beliebig viele aneinandergereihte dt1 bzw. dt2?

Zitat:

Nein, wenn es um die Lichtstrahlen geht, die zu Beginn des ersten und am Ende des letzten Intervalls gesendet werden.
Die Fehler die du machst, wachsen ja mit der Intervallgröße.

Auch hier hängen wir wieder an den Fehlern der Näherung. Ich verwende die Näherung nicht für große Dt, eben weil dann Fehler reinkommen.
Wenn OBdA dieses große Intervall (wie in meiner Frage) gedacht ist als zusammengesetzt aus lauter klitzekleinen, lückenlos und überschneidungsfrei oben wie unten, und jedes kleine dt2 um exakt (1+gh/c²) größer ist als jedes dt1, gilt's dann?

Zitat:

-sind die Anfangs- und Endereignisse eines solchen ausgedehnten Intervalls ausreichend gleichzeitig, dass Zeitdilatation nachgewiesen werden kann?

Meinst du a) S1/S2 ausreichend gleichzeitig zu E1/E2, oder b) S1 zu S2 und E1 zu E2?

Ich mein b. Wie steht's z.B. mit unendlichem Dt und endlichem Synchronisierungsfehler (die Uhren sind ja nur wenig räumlich getrennt)?

Zitat:

dt1/dt2=const. ergibt sich IMHO nicht aus Newtonscher Mechanik.

Nein. Und ich hab auch schon mehrfach ausdrücklichst darauf hingewiesen, dass ich das nicht aus der Newtonschen Mechanik folgere, sondern unabhängig aus den Postulaten - bevor ich überhaupt mit Newtonscher oder relativistischer Rechnung anfange.

Zitat:

Ziel der Übung
kann doch nicht sein, "ich postuliere, was ich brauche um eine Formel herzuleiten".
Ziel sollte doch ein Verständnis von gravitativer Zeitdilatation sein. Das kann ich nur
erreichen, wenn die Postulate nicht zu exotisch sind, also mit gängigen Theorien noch
was zu tun haben, z.B. aus ihnen folgen.

Hm, Zeittranslationsinvarianz. Blödes Wort, aber ich hab schon exotischeres gehört. Nochmal, unabhängig von der Nähernug, die ich zum Rechnen verwende: die Bestimmung von dt1/dt2 ist ein Experiment, dessen Ausführung zu jedem beliebigen Zeitpunkt dasselbe Ergebnis liefern muss. Da stimmen wir doch überein. Also ist dt1/dt2 konstant.

Zitat:

Nein es sieht gleich aus. Im anderen Thread habe ich gezeigt, dass die Rindlermetrik nur eine Umformulierung der Schwarzschildmetrik im Tangentialraum ist. Da ist keine neue Physik. Demenstprechend sind alle Ergebnisse gleich, solange der Tangentialraum nicht zu sehr von der gekrümmten RZ abweicht, also bis auf Gezeiteneffekte. Die spielen aber für uns keine Rolle.

Zitat:

Wieso? Je flacher die SRZ wird, desto geringer wird doch bei festem Abstand auch
die gravitative Zeitdilatation.

Nein, die Krümmung hat nichts mit der Zeitdilatation zu tun. Nah am Ereignishorizont eines supermassiven SL ist die RZ so gu wie flach, viel flacher als an der Erdoberfläche. Trotzdem hat's dort immense Zeitdilatation und hier nicht.

Zitat:

Irgendwann habe ich einfach zwei relativ zueinander
ruhende Beobachter im Beinahe-Minkowski-Raum. Da gibt es dann auch keine Zeitdilatation
mehr.

Doch, Zeitdilatation (pro Weg) ergibt sich aus der Frage, ob und wie stark diese "ruhenden" Beobachter beschleunigt sind. Krümmung hat gar nichts damit zu tun.

Zitat:

Ich halte die Formel im Rahmen der newtonschen Mechanik für korrekt.

Ist sie auch, aber wie mehrfach betont, die Newtonsche Mechanik selbst ist die Näherung.

Zitat:

Und wenn ja, ist das Gedankenexperiment klar? In dem zeige ich, dass Anfangs- bzw.
Endzeitpunkt oben und unten ausreichend gleichzeitig sind, dass Zeitdilatation
bewiesen ist.

Ich denke das du da nicht zeigst, sondern voraussetzen mußt, während in der RT
Anfangs- und Endereignis ja nicht hinreichend gleichzeitig sein müssen.

Ich denke doch, dass ich das zeige, mit meinem Hinweis auf die relativ kleine Synchronisationsunsicherheit (=Zeit fürs hin- und herlaufen).

Zitat:

Zweitens, denke ich nicht, daß das Ergebnis, selbst bei lückenloser Herleitung der richtigen
Formel viel mit Zeitdilatation zu tun hat. Du hast halt eine Bedingung, in der das
Vehältnis zweier abslouter Zeitdauern genauso ist, wie das Verhältnis von Eigenzeiten im
Gravitationsfeld.

Da bin ich hundertprozent anderer Meinung, das können wir vielleicht getrennt im anderen Thread diskutieren.

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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 19.06.2008, 10:25 Titel:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Das Argument wäre weder für v(t) noch für manche andere Funktionen richtig.
Es ist für dt1/dt2 richtig, weil dt2 eine lineare Funktion von dt1 ist.

Nicht für beliebige dt1 (c=1):

\[
dt_2 = {1\over g}\left[ \sqrt{ (1 - g dt_1)² - 2gh }- \sqrt{ 1 - 2gh }\right].
\]

h ist von mir aus klein, aber dt1 kann ich beliebig wählen. Was auch immer du da jetzt
transformierst oder aus kleinen dt zusammensetzt, wenn für große dt1 was anderes rauskommt,
steht es im Widerspruch zur Newtonschen Mechanik.

Zitat:

dt1/dt2=const. ergibt sich IMHO nicht aus Newtonscher Mechanik.

Nein. Und ich hab auch schon mehrfach ausdrücklichst darauf hingewiesen, dass ich das nicht
aus der Newtonschen Mechanik folgere, sondern unabhängig aus den Postulaten - bevor ich
überhaupt mit Newtonscher oder relativistischer Rechnung anfange.

Egal woraus du es folgerst. Danach brauchst du mit Newton gar nicht anfangen, sonst gibt
es einen Widerspruch.

Zitat:

Nein es sieht gleich aus. Im anderen Thread habe ich gezeigt, dass die Rindlermetrik nur
eine Umformulierung der Schwarzschildmetrik im Tangentialraum ist.

Nein, du hast die Näherung verwendet, in der Schwarzschild ungefähr Minkowski ist.
Also den Grenzwert für große r. Frag dich mal, ob deine Ableitung immer noch gilt wenn r klein ist,
also nicht nur die Metrikkoeffizienten, sondern auch deren y-Ableitung bei y=r groß sind.

Was du also gezeigt hast, ist nicht, daß Schwarzschild in denselben Situationen,
dieselbe ZD ergibt, wie Minkowski (=Rindler). Minkowski ergibt z.B. für relativ zueinander ruhende
Uhen keine Zeitdilatation, Schwarzschild schon.

Zitat:

Wieso? Je flacher die SRZ wird, desto geringer wird doch bei festem Abstand auch
die gravitative Zeitdilatation.

Nein, die Krümmung hat nichts mit der Zeitdilatation zu tun.

In der SRZ geht die Krümmung irgendwie mit 1/r^n (n=1, 2 glaube ich, je nach Komponente des
Riemanntensors). Die verschwindet genau in dem Grenzfall, in dem auch die gravitative ZD
verschwindet, nämlich r-> unendlich. Daß die Krümmung was mit der ZD zu tun hat, habe ich
nicht gesagt.

(Andererseits ein bißchen hat sie schon damit zu tun. Sie hat nichts mit der Eigenzeit selbst zu tun, aber
wir vergleichen ja die Eigenzeiten von Beobachtern an verschiedenen Orten. Der Unterschied ihrer Eigenzeiten
hängt also von der Änderung der Metrik zwischen diesen Punkten ab, also auch von der Krümmung, wenn auch nur
von höherer Ordnung.)

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Ich

Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624

Verfasst am: 20.06.2008, 14:54 Titel:

Zitat:

wenn für große dt1 was anderes rauskommt,
steht es im Widerspruch zur Newtonschen Mechanik.

Ja freilich steht's im Widerspruch zur Newtonschen Mechanik.

Zitat:

Egal woraus du es folgerst. Danach brauchst du mit Newton gar nicht anfangen, sonst gibt
es einen Widerspruch.

Ich fang aber mit Newton an, und aufhören tu ich, indem ich Zeitdilatation herleite. Irgendwie hab ich den Eindruck, dass dir das ganze Konzept der Näherung und ihrer Nützlichkeit fremd und ein Gräuel ist. Ich nehme Newton her, wo es erlaubt ist (lokal), und mit weiteren Argumenten zeige ich erstens ZD und zweitens dass Newton global nicht anwendbar ist. Das hab ich gefühlte hundert mal so gesagt, kann es also sein, dass du auf irgendwas anderes raus willst?

Was ist eigentlich mit den Rückfragen zu den beiden Punkten, denen du nicht zugestimmt hast?

Zitat:

Natürlich gilt die noch.

Zitat:

Was du also gezeigt hast, ist nicht, daß Schwarzschild in denselben Situationen,
dieselbe ZD ergibt, wie Minkowski (=Rindler). Minkowski ergibt z.B. für relativ zueinander ruhende
Uhen keine Zeitdilatation, Schwarzschild schon.

Unsinn. Konstantes Dx bei Rindler ist nach allen erdenklichen Definitionen "zueinander ruhend", und da hat's ZD.

Zitat:

RabcdRabcd geht wohl mit M²/r^6, und es ist einerseits völlig irrelevant, wann dieser Wert verschwindet, ich muss halt nur die betrachtete Region möglichst klein machen, andererseits divergiert die Zeitdilatation bei rs - bei endlicher und durchaus möglicherweise geringen Krümmung - so dass klar sein sollte, dass die Krümmung zur Erklärung der ZD nichts beiträgt.

Zitat:

Daß die Krümmung was mit der ZD zu tun hat, habe ich
nicht gesagt.

Warum unterhalen wir uns dann über sie, und dass sie erst bei r gegen unendlich verschwindet? Dieser Punkt ist einfach irrelevant.

Zitat:

(Andererseits ein bißchen hat sie schon damit zu tun. Sie hat nichts mit der Eigenzeit selbst zu tun, aber
wir vergleichen ja die Eigenzeiten von Beobachtern an verschiedenen Orten. Der Unterschied ihrer Eigenzeiten
hängt also von der Änderung der Metrik zwischen diesen Punkten ab, also auch von der Krümmung, wenn auch nur
von höherer Ordnung.)

Ja, höhere Ordnung. Wir sind bei 1+gh/c², und Krümmung kommt frühestens 2 Ordnungen höher (schätze ich).
Diesen Teil der Diskussion sollten wir drüben weiterführen. Ich schreib später noch was.

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Erik

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Beiträge: 565

Verfasst am: 20.06.2008, 17:00 Titel:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Zitat:

wenn für große dt1 was anderes rauskommt,
steht es im Widerspruch zur Newtonschen Mechanik.

Ja freilich steht's im Widerspruch zur Newtonschen Mechanik.

Ok, wenigsten mal Einigkeit.

Zitat:

Egal woraus du es folgerst. Danach brauchst du mit Newton gar nicht anfangen, sonst gibt
es einen Widerspruch.

Keineswegs, es ging mir hier darum, daß deine Nährung in Newtonscher Mechanik
die Gültigkeit deiner Formel stärker einschränkt, als es die Newtonsche Näherung
der ART tut. Weswegen es nicht dieselbe Aussage ist, auch nicht in schwachen
Feldern bei kleinen Abständen, in denen sie eigentlich gelten müßte. Gegen die
Näherung selbst habe ich ja gar nichts.

Zitat:

Ich nehme Newton her, wo es erlaubt ist (lokal), und mit weiteren Argumenten zeige ich erstens ZD und zweitens dass Newton global nicht anwendbar ist. Das hab ich gefühlte hundert mal so gesagt, kann es also sein, dass du auf irgendwas anderes raus willst?

Ok, sehen wir mal, ob ich es jetzt richtig verstanden habe.

Ich interpretiere mal das "lokal" als "wegen konstantem g, nur für kleine Zeitintervalle".
Dann folgt also auch die Gültigkeit der ZD erstmal nur für kleine Intervalle. Jetzt
verwendest du "weitere Argumente", die m.E. im wesentlichen folgendes besagen: "Die erhaltene
Gl. gilt aber auch für beliebig großes Intervall Dt". Dagegen habe ich ja vom logischen
Standpunkt aus nichts. Es ist halt nur alles andere als eine harmlose Forderung und hat
auch mit Zeittranslationsinvarianz nichts zu tun. Diese Invarianz gilt ja auch exakt bei Newton und
trotzdem ergibt sich dort eine andere Formel. Sie fehlt also zumindest in deinen Axiomen.

Zitat:

Was ist eigentlich mit den Rückfragen zu den beiden Punkten, denen du nicht zugestimmt hast?

Den stimme ich immernoch nicht zu, weil sie der Formel für dt2 und dt1 aus meinem letzten
Beitrag widersprechen.

Aber warten wir mal ab, ob du meiner Beschreibung deines Arguments zustimmst.

Zitat:

Natürlich gilt die noch.

Natürlich nicht. Wir haben übrigens einen festen Abstand h durch das Problem vorgegeben
und können nicht y in Abhängigkeit von r einschränken. Also hängt von der Größe der
Ableitungen n-ter Ordnung bei r ab, ob du sie noch mitnehmen mußt oder nicht und du kannst nicht
einfach immer nach dem linearen Term abbrechen.

Ich würde gern mal wissen, wozu man deiner Meinung nach eigentlich überhaupt die ART
braucht. Schließlich gilt an einem Punkt x in geeigneten Koordinaten immer
g_mn(x) = diag(1,-1,-1,-1) und ich kann dx immer soweit einschränken, daß in der Entwicklung

\[
g_{ij}(x + dx) = \eta_{ij} + A_{ijk}(x) dx^k + B_{ijkl}(x) dx^k dx^l,
\]

alle Terme außer dem ersten vernachlässigbar sind. Also braucht man die ART gar nicht,
SRT reicht immer, Krümmung spielt nie eine Rolle.

Um die Antwort gleich mit zu geben. Die Raumzeitbereiche, die hier relevant sind, sind
durch das Problem vorgegeben, hier die Größe von h. Du kannst zwar sagen, daß h "klein"
sein soll, nur ist das sinnlos ohne die Angabe im Vergleich zu was. Kleines h kann hier
für verschiedene x (bzw. r) nicht dasselbe bedeuten.

Zitat:

Unsinn. Konstantes Dx bei Rindler ist nach allen erdenklichen Definitionen "zueinander ruhend", und da hat's ZD.

Ach komm, es geht bei gravitativer ZD in SRZ um die ruhenden Beobachter auf den Weltlinien
mit Schwarzschildkoordinaten

\[
t \mapsto (t, r, \phi, \theta),
\]

mit konsantem $ r, \phi, \theta $.

Das werden für r->unendlich und g_mn -> Minkowski einfach relativ zueinander ruhende inertiale Beobachter, und keine
beschleunigten. Daß auch die beschleunigten Rindler-Beobachter zueinander ruhen ist
also unerheblich. Damit sind wir jetzt aber mehr als quit, was das Wortklauben angeht.

Zitat:

RabcdRabcd geht wohl mit M²/r^6, und es ist einerseits völlig irrelevant, wann dieser Wert verschwindet, ich muss halt nur die betrachtete Region möglichst klein machen,

Ja, natürlich mit r-abhängigem "klein". Warum gibt es eigentlich so viele verschiedene
differenzierbare Funktionen? Jede differenzierbare Funktion ist doch linear,
man muß halt nur die betrachtete Region möglichst klein machen. Zwar richtig, aber
vollkommen irrelevant.

Zitat:

andererseits divergiert die Zeitdilatation bei rs - bei endlicher und durchaus möglicherweise geringen Krümmung - so dass klar sein sollte, dass die Krümmung zur Erklärung der ZD nichts beiträgt.

Weil kleine Krümmung zur gravitativen ZD nichts beitragen kann, kann Krümmung zur gravitativen ZD
nie was beitragen?

Das ist nicht klar, sondern unter bestimmten Umständen falsch.

Gravitative Zeitdilatation hängt von der Änderung der Metrik zwischen den betrachteten
Punkten ab. Diese beiden Punkte definieren das zu betrachtende Raumzeitgebiet.
Die Änderung der Metrik hängt u.a. von der Krümmung ab. Ob man Krümmung bei der Berechnung
der ZD berücksichtigen muß, hängt also von der Größe der Krümmung in dem betrachteten
Gebiet ab. Wenn sie klein ist, trägt sie natürlich trivialerweise auch nichts bei.

Zitat:

Daß die Krümmung was mit der ZD zu tun hat, habe ich
nicht gesagt.

Warum unterhalen wir uns dann über sie, und dass sie erst bei r gegen unendlich verschwindet? Dieser Punkt ist einfach irrelevant.

Es ging ursprünglich um deine Aussage Minkowski sei iso-irgendwas zu Schwarzschild.
Da Schwarzschild gekrümmt ist und Minkowski nicht, spricht das gegen einige
sinnvolle Interpretationen von "iso-irgendwas", z.B. "isometrisch". Es geht auch darum,
ob Minkowski in allen Situationen dieselbe ZD liefern kann wie Schwarzschild. Du hattest
m.E. an einem Punkt sogar letzteres bejaht.

Zitat:

Ja, höhere Ordnung. Wir sind bei 1+gh/c², und Krümmung kommt frühestens 2 Ordnungen höher (schätze ich).

Krümmung spielt ab 2. Ordnung eine Rolle ($ g_{00,jk} \sim R^0_{jk0} $). Du
scheinst aber davon auszugehen "höhere Ordnung" sei dasselbe wie "klein" und zweite Ordnung
immer kleiner als erste oder so. n-te Ordnung bedeutet aber nur $ = C h^n $ mit i.a.
ortsabhängigem C. Ob dies wesentlich ist, hängt für festes h von C am betrachteten Ort
ab, also für n=2 von der Krümmung an diesem Ort.

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Ich

Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624

Verfasst am: 20.06.2008, 20:42 Titel:

Zitat:

Keineswegs, es ging mir hier darum, daß deine Nährung in Newtonscher Mechanik
die Gültigkeit deiner Formel stärker einschränkt, als es die Newtonsche Näherung
der ART tut.

Nein. "Meine" Formel ist 1+gh/c², für kleine gh/c² gültig und für beliebige Zeiträume. Ich muss nur über d(gh) integrieren, nud komm auf die Newtonsche Näherung.

Zitat:

Dann folgt also auch die Gültigkeit der ZD erstmal nur für kleine Intervalle. Jetzt
verwendest du "weitere Argumente", die m.E. im wesentlichen folgendes besagen: "Die erhaltene
Gl. gilt aber auch für beliebig großes Intervall Dt". Dagegen habe ich ja vom logischen
Standpunkt aus nichts.

Ja. Dann isses gut, wenn du dagegen nichts hast.

Zitat:

Es ist halt nur alles andere als eine harmlose Forderung und hat
auch mit Zeittranslationsinvarianz nichts zu tun. Diese Invarianz gilt ja auch exakt bei Newton und
trotzdem ergibt sich dort eine andere Formel. Sie fehlt also zumindest in deinen Axiomen.

Richtig, sie fehlt in den Axiomen, die übrigens Postulate sind. Ich will gar keinen mathematischen Rahmen für alle Eventualitäten beweisen, sondern einfach die Näherungsformel für gravitative ZD herleiten.
Glaub es oder nicht, die Homogenitätsforderung fehlt bei mir aus "ästhetischen" Gründen. Weil ich die "3 Postulate" hernehmen will, aus denen die RT entstanden ist. Der Wiedererkennungswert ist einfach höher, wenn ich die "Homogenitätseigenschaften" der Zeit implizit dazunehme. Bei der SRT spricht man ja auch von "2 Postulaten", obwohl implizit noch Homogenität von Raum und Zeit sowie Isotropie des Raumes dazukommen. Ich hab mich dazu aber bereits ausführlich geäußert.
Inwiefern ich aber was anderes als Zeittranslationsinvarianz fordern soll erschließt sich mir überhaupt nicht. Das ist genau das, was ich brauche.

Zitat:

Was ist eigentlich mit den Rückfragen zu den beiden Punkten, denen du nicht zugestimmt hast?

Den stimme ich immernoch nicht zu, weil sie der Formel für dt2 und dt1 aus meinem letzten
Beitrag widersprechen.

Ich hab doch schon angedeutet, wofür diese Formel gut ist. Was heißt angedeutet, ich hab mindestens 5 mal explizit und laut hingeschrieben, dass du hier in höchstmöglicher Genauigkeit in einem für große dt völlig ungeeigneten Rahmen herumrechnest. Newton gilt für kleine v, also kleine dt, nicht für große. Wenn irgendwas deiner Rechnung widerspricht: vergiss sie.

Zitat:

Natürlich nicht. Wir haben übrigens einen festen Abstand h durch das Problem vorgegeben
und können nicht y in Abhängigkeit von r einschränken.

Doch, das ist mir gelungen.

Zitat:

Also hängt von der Größe der
Ableitungen n-ter Ordnung bei r ab, ob du sie noch mitnehmen mußt oder nicht und du kannst nicht
einfach immer nach dem linearen Term abbrechen.

Doch, kann ich. Die Größe der Fehler definiert dann den Gültigkeitsbereich meiner Näherung.

Zitat:

Ich würde gern mal wissen, wozu man deiner Meinung nach eigentlich überhaupt die ART braucht.

Auch dazu habe ich mich mehrfach geäußert, zuletzt im Eröffnungsbeitrag im anderen Thread.
Hier auch:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Das ganze mathematische Brimborium ist ja "nur" dazu da, dieses lokale Ergebnis global anwendbar zu machen und das resultierende krumme Etwas mit den Quellen der Gravitation zu verknüpfen. Aber hier, lokal, steckt der Kern der ganzen Sache.

Zitat:

Die Raumzeitbereiche, die hier relevant sind, sind
durch das Problem vorgegeben, hier die Größe von h.

Die relevanten Raumzeitbereiche geb immer noch ich vor. Meine Herleitung ist exakt für verschindendes gh, und solang gh<<c² kann ich zur Newtonschen Näherung integrieren. Mehr will ich hier gar nicht.

Zitat:

Unsinn. Konstantes Dx bei Rindler ist nach allen erdenklichen Definitionen "zueinander ruhend", und da hat's ZD.

Ach komm, es geht bei gravitativer ZD in SRZ um die ruhenden Beobachter auf den Weltlinien
mit Schwarzschildkoordinaten

\[ t \mapsto (t, r, \phi, \theta), \]

mit konsantem $r, \phi, \theta$.

Das werden für r->unendlich und g_mn -> Minkowski einfach relativ zueinander ruhende inertiale Beobachter, und keine
beschleunigten. Daß auch die beschleunigten Rindler-Beobachter zueinander ruhen ist
also unerheblich. Damit sind wir jetzt aber mehr als quit, was das Wortklauben angeht.

Hier geht es überhaupt gar nicht um Wortklauben, hier geht's um ein fundamentales Verständnisproblem. In meiner unendlichen Bescheidenheit suche ich das einfach mal bei dir:
Der Punkt ist, Beobachter mit konstanten Schwarzschild-Raumkoordinaten sind beschleunigt. Das ist einfach so, ich kann aus dem Stegreif ungefähr 12 Experimente nennen, die das bestätigen, und du keines, das das widerlegt. Und deswegen unterliegen benachbarte, relativ zueinander ruhende Beobachter genau der Zeitdilatation, von der ich rede. Und das ist wiederum genau die, der benachbarte Beobachter mit konstanten Rindler-Koordinaten unterliegen.

Zitat:

Es gibt keine andere

. Änderungen ergeben sich erst in höherer Ordnung durch das "Zusammenkleben" der flachen Teilräume.

Zitat:

Meine Aussage war von Anfang an - und ich hab das nie geändert - dass Rindler isopropyl ist zum Tangentialraum der Schwarzschildmetrik. Und das hab ich im anderen Thread hergerechnet. Beiden Schwarzschildkoordinaten r,t (bzw. y,t in der flachen Näherung) entsprechen mit leichter Verzerrung eineindeutig jeweils Rindlerkoordinaten x,t. Also jedem x genau ein y und so. Wie sowas heißt musst du dir ausdenken.

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Erik

Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

Verfasst am: 21.06.2008, 14:19 Titel:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Zitat:

Keineswegs, es ging mir hier darum, daß deine Nährung in Newtonscher Mechanik
die Gültigkeit deiner Formel stärker einschränkt, als es die Newtonsche Näherung
der ART tut.

Nein. "Meine" Formel ist 1+gh/c², für kleine gh/c² gültig und für beliebige Zeiträume. Ich muss nur über d(gh) integrieren, nud komm auf die Newtonsche Näherung.

Nein, deine Herleitung (nicht die Formel) gilt solange nur für kleine Zeiträume, bis du im
Widerspruch zu Newton was anderes forderst. Ich dachte, da wären wir uns schon einig.

Übrigens, über d(gh) integrieren ist gut. Könnte es also sein, daß ZD nicht
nur von der Beschleunigung g, sondern auch von deren Änderung zwischen zwei Punkten
abhängen kann?

Zitat:

Richtig, sie fehlt in den Axiomen, [...]

Inwiefern ich aber was anderes als Zeittranslationsinvarianz fordern soll erschließt sich mir überhaupt nicht. Das ist genau das, was ich brauche.

Was bedeutet denn Zeittranslationsinvarianz? Sowas wie: alle Formeln müssen linear in dt
sein? Normalerweise heißt es, invariant unter t --> t + d. Das reicht hier nicht, denn
es gilt für die Newtonsche Formel auch, sie hängt ja nur von dt ab.

Daß das richtige Ergebnis aus Zeittranslationsinvarianz gar nicht folgen kann siehst
du schon daran, daß auch Newton invariant unter Zeittranslation ist, dort aber, wie du
selbst sagst, eine völlig andere Formel rauskommt.

Zitat:

Was ist eigentlich mit den Rückfragen zu den beiden Punkten, denen du nicht zugestimmt hast?

Den stimme ich immernoch nicht zu, weil sie der Formel für dt2 und dt1 aus meinem letzten
Beitrag widersprechen.

Überhaupt nicht, meine Formel gilt bei Newton auch für kleine dt. Ich rechne also nicht
mit höchstmöglicher Genauigkeit in einem ungeeigneten Rahmen. Ist aber schon merkwürdig,
daß das "richtigere" Ergebnis erst nach einer Näherung rauskommt, also: falsches exaktes Ergebnis
--> richtige Näherung, und trotzdem behauptest du, die tiefe Erkenntnis sei in der Näherung einer
Näherung enthalten. Nicht nachvollziehbar.

Zitat:

Natürlich nicht. Wir haben übrigens einen festen Abstand h durch das Problem vorgegeben
und können nicht y in Abhängigkeit von r einschränken.

Doch, das ist mir gelungen.

Nein, du schränkst h einfach ein, wenn es dir zu groß wird. Du könntest genauso behaupten
"Es ist mir gelungen zu zeigen, daß alle differenzierbaren Funktionen linear sind."

Zitat:

Also hängt von der Größe der
Ableitungen n-ter Ordnung bei r ab, ob du sie noch mitnehmen mußt oder nicht und du kannst nicht
einfach immer nach dem linearen Term abbrechen.

Doch, kann ich. Die Größe der Fehler definiert dann den Gültigkeitsbereich meiner Näherung.

Und ob der Gültigkeitsbereich dieser Näherung nun dem Problem angemessen ist, kümmert dich
nicht. Wenn es sich nicht in die 1. Ordnung quetschen läßt, um so schlimmer für das Problem.
Hauptsache es kommen keine Zweifel auf, daß die 1. Näherung schon die gesamte Wahrheit
enthält.

Zitat:

Ich würde gern mal wissen, wozu man deiner Meinung nach eigentlich überhaupt die ART braucht.

Auch dazu habe ich mich mehrfach geäußert, zuletzt im Eröffnungsbeitrag im anderen Thread.
Hier auch:

Ich hat Folgendes geschrieben:

Was reimst du dir da für einen Unsinn zusammen? Inwiefern macht man, z.B. bei der
Berechnung der Planetenbahnen ein "Ergebnis global anwendbar", das man schon
im flachen Raum (also der SRT) erhalten kann? Was spielt es bei der Berechnung von Geodäten in gekrümmten
Räumen für eine Rolle, was die Ursache dieser Krümmung (Quelle der Gravitation) ist?

Wir haben hier auch einfach kein lokales Problem, sondern vergleichen Weltlinien,
an verschiedenen Orten. Daß du unbedingt nur nahe beieinander liegende (und ruhehnde)
Weltlinien vergleichen willst, löst das Problem nicht, sondern ignoriert es zu einem
Großteil.

Zitat:

Die Raumzeitbereiche, die hier relevant sind, sind
durch das Problem vorgegeben, hier die Größe von h.

Nicht c², sondern $ (R^0_{zz0} + g^2) h^2 $ ist die relevante Vergleichsgröße.
Das ist der Term 2. Ordnung.

Ich erinnere nochmal, was du ursprünglich wolltest, nämlich ein Verständnis gravitativer ZD.

Dafür betrachtest du nun das Phänomen bis zur 1. Ordnung und behauptest "Das schöne daran ist,
daß man sieht, daß die eigentliche Ursache für gravitative ZD, der Term erster Ordnung ist".
Auf den Hinweis, daß man Situationen, in denen höhere Ordnungen relevant wären, nicht mit der
ersten Ordnung verstehen kann, antwortest du "Stimmt doch gar nicht, ich kann die Situation
immer so verändern, daß wieder nur die erste Ordnung relevant ist, schließlich gebe immer
noch ich vor, welche Situationen ich betrachte. Und in denen spielen Effekte höherer
Ordnung grundsätzlich keine Rolle." Merkst du wirklich nicht, wie absurd das ist?

Übrigens, da du verschwindende Krümmung mal als Argument gebracht hast, daß sie nichts
mit ZD zu tun haben kann: das kann ich ja auch umdrehen. Was ist in Situationen, in denen
die Beschleunigung g ganz klein ist, weil die Uhren z.B. gar nicht im Gravitationsfeld ruhen,
sondern im konstanten Abstand schwach beschleunigt werden? Dann überleben von den Termen
in der Entwicklung der Metrik bis zu zweiter Ordnung nur die Krümungsterme. Wie verstehst
du ZD in dieser Situation? Oder ist der Effekt so klein, daß er dich nicht mehr
interessiert?

Zitat:

Unsinn. Konstantes Dx bei Rindler ist nach allen erdenklichen Definitionen "zueinander ruhend", und da hat's ZD.

Ach komm, es geht bei gravitativer ZD in SRZ um die ruhenden Beobachter auf den Weltlinien
mit Schwarzschildkoordinaten

\[ t \mapsto (t, r, \phi, \theta), \]

mit konsantem $r, \phi, \theta$.

Das werden für r->unendlich und g_mn -> Minkowski einfach relativ zueinander ruhende inertiale Beobachter, und keine
beschleunigten. Daß auch die beschleunigten Rindler-Beobachter zueinander ruhen ist
also unerheblich. Damit sind wir jetzt aber mehr als quit, was das Wortklauben angeht.

Hier geht es überhaupt gar nicht um Wortklauben, hier geht's um ein fundamentales Verständnisproblem. In meiner unendlichen Bescheidenheit suche ich das einfach mal bei dir:

Jaja, lenk nicht ab. Was wird aus den Schwarzschild-Beobachtern im Grenzfall
g_mn --> Minkowski? Werden es beschleunigte Rindler-Beobachter oder relativ
zueinander ruhende inertiale Beobachter?

Zitat:

Der Punkt ist, Beobachter mit konstanten Schwarzschild-Raumkoordinaten sind beschleunigt. Das ist einfach so, ich kann aus dem Stegreif ungefähr 12 Experimente nennen, die das bestätigen, und du keines, das das widerlegt.

Meine Güte, was soll das jetzt für ein Strohmann werden? Ich habe gar nicht vor das zu
widerlegen, woraus du schließen kannst, daß das wohl doch nicht der Punkt ist.

Ich behaupte nur: nicht alles folgt aus dieser Beschleunigung.

Zitat:

Und deswegen unterliegen benachbarte, relativ zueinander ruhende Beobachter genau der Zeitdilatation, von der ich rede. Und das ist wiederum genau die, der benachbarte Beobachter mit konstanten Rindler-Koordinaten unterliegen.

Es kommt eben darauf an wie benachbart sie sind. Ob sie ausreichend benachbart sind,
sagt dir die Größe der Krümmung zwischen den Uhren.

Zitat:

Es gibt keine andere

. Änderungen ergeben sich erst in höherer Ordnung durch das "Zusammenkleben" der flachen Teilräume.

Daß es keine andere gravitative ZD gäbe, ist falsch. Es gibt sogar Situationen, in denen die
zweite Ordnung mehr beiträgt, als die erste.

Zitat:

Meine Aussage war von Anfang an - und ich hab das nie geändert - dass Rindler isopropyl ist zum Tangentialraum der Schwarzschildmetrik.

Also, daß du eine dir bekanntlich sinnlose Aussage im Verlauf der Diskussion nicht änderst,
sondern immer wieder damit ankommst, von mir verlangst ein sinnvolles Argument draus zu
machen und auf meine Interpretationen, nach denen die Aussge falsch wäre, im Prinzip nur antwortest,
ich müsse sie eben so interpretieren, daß was richtiges rauskommt, ist schon recht witzig.

Sobald du es schaffst eine sinnvolle Aussage daraus zu machen, können wir darüber diskutieren.
Ich habe nicht mehr die geringste Lust, dir das abzunehmen. Es gibt übrigens nicht den
"Tangentialraum der Metrik", sondern an jedem Punkt der Raumzeit einen, an dem eine Metrik
definiert ist. Könnte wichtig sein, mir geht es ja darum, daß es bei gegebenem Abstand h und r0
darauf ankommt, an welchem Punkt du deine Näherung machst.

Zitat:

Und das hab ich im anderen Thread hergerechnet. Beiden Schwarzschildkoordinaten r,t (bzw. y,t in der flachen Näherung) entsprechen mit leichter Verzerrung eineindeutig jeweils Rindlerkoordinaten x,t. Also jedem x genau ein y und so. Wie sowas heißt musst du dir ausdenken.

Gibt es schon. Jede Metrik ist bis zur ersten Ordnung flach, das hat mit Schwarzschild gar nichts zu
tun. Du machst eine Entwickung und brichst vor dem Krümmungsterm ab, das wars. Betrachtest
also grundsätzlich nur Situationen, in denen der erste term viel größer als der zweite ist. Situationen,
in denen Krümmung relevant werden kann, interessieren dich nicht.

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Joachim

Anmeldedatum: 20.02.2006
Beiträge: 1714

Verfasst am: 23.06.2008, 16:26 Titel:

Hi Erik,

Erik hat Folgendes geschrieben:

Natürlich reicht das nicht. Ich hat ja mehrere Postulate. Aus der Zeittranslationsinvarianz folgt aber direkt, dass ich den Zeitnullpunkt immer so wählen kann, dass alle vorkommenden Zeiten klein sind, solange die vorkommenden Dauern kurz sind. Die Herleitung ist also so lange richtig, wie die Lichtwege zwischen Emission und Absorption kurz sind, so dass in der Laufzeit des Signals keine der Uhren eine Geschwindigkeit vergleichbar zu c erreichen kann. Diese Einschränkung beschränkt aber tatsächlich nur gh auf Werte <<c.

Zeittranslationsinvarianz besagt ganz klar: Wenn es im Intervall 0..dt eine Zeitdilatation gibt, dann gilt die selbe auch für das Intervall [T0..T0+dt].

Erik hat Folgendes geschrieben:

Daß das richtige Ergebnis aus Zeittranslationsinvarianz gar nicht folgen kann siehst
du schon daran, daß auch Newton invariant unter Zeittranslation ist, dort aber, wie du
selbst sagst, eine völlig andere Formel rauskommt.

Ihr streitet euch mal wieder nur um ein Wort. Was ist denn Newton? (Der Mann selbst war sicher nicht invariant.) Du, Erik, gehst offenbar davon aus, dass die Galileotransformation Bestandteil dessen ist, was in diesem Thread "Newtonsche Mechanik" genannt wird. Ich setzt aber nur einen kleinen Teil der Newtonschen Kinematik voraus, nämlich:

Allererstes Posting hat Folgendes geschrieben:

Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung der Uhren beschreiben als:
Uhr 1: x = g/2 t²
Uhr 2: x = g/2 t² + h
(Natürlich nur solange dx/dt<<c)

Und weiter setzt er das Postulat der SRT voraus:

Zitat:

Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung von Lichtpulsen beschreiben mit:
Licht: x = ct

Daraus folgt dann natürlich (ob man's herleitet oder nicht) dass die Lorentztrafo die Transformation zwischen Inertialsystemen ist. Das schöne an Ichs Ansatz ist nur, dass er ganz ohne explizite Transformationen auskommt. Implizit verwendet er natürlich Lorentz, nicht Galileo.

Gruß,
Joachim
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