Gase und Vakua

[pauli]

ich denke ich verstehe dich, wollte auch kein Plädoyer für eine Forumstrennung halten, auch in der IT müssen wir letzendlich zusammenwirken, die "Mischung" machts und die Anwesenheit erhöht auch die Hemmschwelle, über die jeweils anderen herzuziehen

[Uli]

[Jack]

kleines OT noch: Das Bild zum Forum erscheint nicht, sondern nur ein "?" Platzhalter.....




Jack

[zeitgenosse]

[Ich]

[zeitgenosse]

[zeitgenosse]

Na ja, ich konnte es nicht lassen und habe mich gleich selbst mit Bleistift und Papier ans Werk gemacht. Entschuldige mich, "Ich", wenn ich Dir zuvorgekommen bin!

Frei nach Kuchling kommen mir die Fallgesetze des Herrn Galilei in den Sinn:

v = g*t und v = sqrt(2*g*h)

Leider gelten diese Gesetze nur für den freien Fall im luftleeren Raum (nur dort fallen alle Körper gleich schnell). In der vorliegenden Aufgabe findet der Fall aber in der Atmosphäre, somit in Luft, statt. Also eine grundlegend andere Ausgangssituation. Ich überlege mir nun, wie das Weg-Zeit-Gesetz in modifizierter Form aussehen könnte. Eine "fertige Formel" gibt es dafür nicht.

Beim Fall durch die Atmosphäre muss ich den Strömungswiderstand der Luft berücksichtigen. Irgendwann werden sich - so meine Mutmassung - Gewichtskraft und Luftreibungskraft die Balance halten und es wird ein quasi-stationärer Zustand mit G = R die Folge sein. Wir müssen noch herausfinden, ob der unfreiwillige Fall aus der Ballongondel mit Newtonscher oder Stoke'scher Reibung stattfindet und entscheiden uns für eine turbulente Strömung mit R ~ v^2.

Diese Überlegungen führen mich geradewegs zur halbempirischen Gleichung für den Strömungswiderstand eines Fluids:

R = (1/2)c_w*ρ*A*v^2 ≡ k*v^2

Übrigens unterscheidet sich ein Sprung ohne Fallschirm von einem mit Fallschirm prinzipiell nur durch den unterschiedlichen k-Wert. Der Widerstandsbeiwert c_w muss aus Tabellen entnommen werden; er ist von der Körperform abhängig und wird im Strömungskanal ermittelt.

Gebräuchliche Standartwerte aus Tabellenwerken sind z.B.:

- Platte, von vorne angeströmt: c_w = 1,1 ... 1,3
- langer Zylinder, radial angeströmt: c_w = 1,2
- langer Zylinder, stirnseitig angeströmt: c_w = 1,0
- Kugel: c_w = 0,45
- Halbkugel mit Boden, gegen die Bombierung angeströmt: c_w = 0,4
- Halbkugel mit Boden, gegen den Boden angeströmt: c_w = 1,2
- Halbkugel offen, gegen die konvexe Seite angeströmt: c_w = 0,34
- Halbkugel offen, gegen die konkave Seite angeströmt: c_w = 1,3
- stromlinienförmiger Körper: c_w = 0,05

a) Befindet sich der Fallende in der sog. X-Lage, nehmen wir einen Wert von 1,2; fällt er mit den Füssen oder mit dem Kopf voran, nehmen wir 0,8. Hat der Springer einen geöffneten Fallschirm, können wir mit einem c_w von > 1,3 rechnen.

b) Die Angriffsfläche, die der menschliche Körper der Luftströmung anbietet, kann ebenfalls gut abgeschätzt werden (zwischen 0.2 bis 0.8 m^2 - je nach Körperlage -, somit durchschnittlich 0,5 m^2).

c) Die Bestimmung der Dichte der Luft bereitet uns jedoch gewisse Schwierigkeiten, weil mit zunehmender Höhe nahezu exponentiell abnehmend. In 7 km Höhe beträgt sie nur noch die Hälfte. Nur auf Meeresniveau (bei 20 °C) hat ρ den Wert von 1.3 kg/m^3. Vorerst gehen aber auch wir bei unserer Modellbildung von einer gemittelten Luftdichte von 90% aus (behalten das Gesagte aber im Hinterkopf). Um ein physikalisches Verständnis für die gestellte Aufgabe zu erhalten, ist diese Näherung ausreichend. Ansonsten müssten wir unverzüglich eine numerische Lösung anbieten.

Die Parameter betragen also im Mittel:

c_w = 1,0
ρ = 1,17 kg/m^3
A = 0,5 m^2

Nun kann die Bewegungsgleichung aufgestellt werden:

m*s''(t) = -mg + k*s'^2(t)

Das negative Vorzeichen ergibt sich aus dem Umstand, dass die Gewichtskraft der Reibungskraft entgegengesetzt ist. Bei Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems erfolgt die Fallbewegung somit in negativer Richtung (-z).

Eine weitere Zwischenüberlegung: Wie verhält es sich mit der Gravitationsbeschleunigung? In 30 km Höhe bspw. weicht sie um ca. 1% vom Standardwert ab, so dass wir sie für unseren fiktiven Versuch als konstant annehmen.

Mit den getroffenen Annahmen können wir nun fortfahren, um die Geschwindigkeit v(t) des Fallenden zu berechnen; dessen Masse betrage 80 kg.

Wir substituieren obige Gleichung und erhalten eine Dgl. für v:

-m*v'(t) = - mg + k*v^2(t)

Durch weitere Vereinfachung erhalten wir:

v'(t) = g - k*v^2(t)/m

Nachdem wir bereits auf dem richtigen Wege sind, machen wir eine grundsätzliche Überlegung:

Ist die Fallgeschwindigkeit noch sehr klein, kann der quadratische Term vernachlässigt werden. In diesem Fall nähme die Dgl. eine besonders einfache Form an, nämlich die des freien Falls ohne Luftreibung. Dieser Zustand ist aber nur kurz zu Beginn vorhanden. Aus den vorherigen Überlegungen wissen wir, dass sich irgendwann ein Kräftegleichgewicht zwischen Gewichtskraft und Luftreibungskraft einstellt. Deshalb können wir darüber hinausgehend eine Endgeschwindigkeit v_e = const. postulieren.

In die Dgl. eingesetzt bedeutet dies (wegen v' = 0):

g - k*v^2(t)/m = 0

Was wir noch nicht wissen, ist der genaue Verlauf des Funktionsgraphen im t-v-Diagramm. Dazu müssen wir die Dgl. lösen. In anderer Notation geschrieben lautet diese:

dv/dt = g - k*v^2/m

Nun trennen wir die Variablen und erhalten:

dt = dv/(g - k*v^2/m)

Was nun folgt heisst Integration (der Mathematiker übe Nachsichtigkeit mit mir, es geht hemdsärmelig zu):

Int dt = Int dv/(g - k*v^2/m) ; mit den Integrationsgrenzen t_o bis t_e bzw. v(t_o) bis v(t_e)

Dazu suche zunächst das Grundintegral (Bronstein, Bartsch etc.) für:

Int dx/(a - b*x^2) = [1/sqrt(ab)]artanh[sqrt(b/a)x] ; für a*b > 0

Sind die Anfangsbedingungen t_o = 0 und v(t_o) = 0, ergibt sich nach Auflösung nach v (und in der Hoffnung, die Klammern jeweils am richtigen Ort gesetzt zu haben):

v(t) = [sqrt(g*m/k)]tanh[sqrt(g*k/m)t]

Daraus folgt:

v_e = sqrt(g*m/k)

Diese Funktion hat einen Graphen, der sich nach einem linearen Anstieg zunehmends abflacht und asymptotisch der Endgeschwindigkeit annähert.
Mit den angenommenen Parametern gelangt man auf eine Geschwindigkeit von rund 50 m/s (= 180 km/Std.). Solches steht in guter Übereinstimmung mit der Empirie.

Jedem Kenner der Materie dürfte klar sein, dass sich der reale Fall vom von uns skizzierten fiktiven unterscheidet. Dafür gibt es verschiedene Gründe wie veränderte Körperhaltung, zunehmende Luftdichte, Luftströmungen usw. In grosso modo ist die analytische Lösung für den Anfang jedoch gelungen. Es muss dann nur noch unterschieden werden zwischen "vor dem Öffnen des Fallschirms" und "nach dem Öffnen des Fallschirms" (falls einer vorhanden ist, ansonsten wird die Landung ziemlich hart). Beim Übergang von "geschlossen" nach "geöffnet" findet eine abrupte Parameteränderung statt, was den Kurvenverlauf wiederum beeinflusst. Moderne Fallschirme öffnen sich immerhin weniger ruckartig. Der geübte Springer versucht zudem, seine Geschwindigkeit vor dem Öffnen noch weiter zu verringern.

Nun könnten wir fortfahren, um auch noch die Gleichung für die Höhe zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen. Weil die Lösung der diesbezüglichen Dgl. (Weg-Zeit-Diagramm) sogar einfacher als das Zuvorgesagte ist, überlasse ich die Vorgehensweise gerne weiteren Teilnehmern.

Die obige analytische Lösung - das muss nachdrücklich betont werden - gilt nur für einen Sturz durch die Atmosphäre bei konstanter Luftdichte. Leider verlieren einige Lehrbuchautoren bereits hier den Überblick. Um Lösungen bei variabler Luftdichte anzubieten, muss zur numerischen Integration gegriffen werden (was einige Leser vermutlich momentan etwas überfordert). Für Experimentalphysiker sollte es das tägliche Brot sein. Es ist aber der m.E. einzige Weg zum Praxiserfolg.

Gr. zg
_________________
Make everything as simple as possible, but not simpler!

[Aragorn]

Hallo zeitgenosse,

es kann doch nicht sein, daß wir hier immer wieder deine Hausaufgaben lösen sollen!

Zukünftig sollte das jedenfalls so sein: Stellst du uns eine Aufgabe, bekommst du auch welche von uns vorgesetzt.

Auf AC gibt es sicher genug Cracks die dich ordentlich in Schwitzen bringen könnten, wenn sie wollten.

Leider bin ich nur Ingenieur (FH) und daher zu doof um mir, deinem Intellekt entsprechende Aufgaben, auszudenken
Daher fange ich mal mit den einfachen Aufgäbchen für dich an:

1) Ein Zeitgenosse öffnet einen Wasserhahn. Warum wird der Wasserstrahl um so dünner, je weiter er vom Hahn entfernt ist?

2) Ein Zeitgenosse läuft durch den Regen. Kann der Zeitgenosse mir erklären warum es besser ist, möglichst schnell zu laufen, damit er weniger naß wird?

3) "mmgarbsen" hält die ganze Newtonsche Physik für unsinnig. Sein Physiklehrer hatte ihm gesagt: Massen ziehen sich entsprechend dem Gravitationsgesetz an. Einige Jahre später zeigte ihm ein böser Zeitgenosse, wie es möglich ist, daß die Anziehungskraft zwischen zwei Körpern abnimmt, wenn diese sich einander nähern. Das verwirrte den armen Manni so sehr, daß er daraufhin nur noch wünschelrutend durch die Lande zog, und das Ende der Physik verkündete.
Mit welcher Massenkonfiguration hatte der Zeitgenosse den armen Manni so verwirrt?

4) Sehr häufig wird als Argument dafür, warum Glas fließt die unten dickeren Kirchenfenster genannt. Warum ist dieses Argument nicht stichhaltig und spricht eher für das Gegenteil?

5) Drei Zeitgenossen streiten sich über veraltete Begriffe. Es geht dabei um den nicht mehr verwendeten Begriff der relativistischen Masse und einem von Gottvater ausgerichteten Autorennen.
Es wurden zwei völlig identische Elektro-Rennwagen gebaut. Newton hatte ausgerechnet: die in der Batterie gespeicherte Energie reicht aus, um seinen Rennwagen auf v=0,9c zu beschleunigen. Gottvater hatte Jesus hinunter auf die Erde geschickt und ihm befohlen, die Naturgesetze für den Newtonwagen, während des Wettrennens so zu manipulieren, daß er sich entsprechend der klassischen Physik verhält.

Die drei Zeitgenossen konnten sich nicht einigen, welches Auto das Rennen gewinnt:

a) der Einsteinwagen verliert, weil seine relativistische Masse zunimmt
b) Newton- und Einsteinwagen kommen beide gleichzeitig ins Ziel
c) der Einsteinwagen gewinnt das Rennen, weil seine rel. Masse abnimmt.

Wer hat recht?

6) Zur Abwechslung auch noch was leicht mathematisches. Ein Auto beschleunigt dergestalt, daß in einem Diagramm dargestellt seine Geschwindigkeit v, aufgetragen entlang der Zeit t, einen Halbkreis beschreibt (siehe Skizze).



Welche Strecke hat das Auto zurückgelegt?

Nun gibt es zwei Zeitgenossen die sich nicht einigen können:
a) s = 0,5*Pi*v_max^2
b) s = 0,5*Pi*(t/2)^2
c) ?

Wer hat recht?


7) Sherlock Holmes und die Radfahrer

In irgendeinem Roman hat Sherlock Holmes mal die Richtung eines Fahrradfahrers anhand der Radspuren von Vorder- und Hinterrad festgestellt. Laut Doyle soll er dies durch die tiefere Spur des schwerer belasteten Hinterrades erkannt haben. Meiner Ansicht nach ist dies nicht möglich, da er so nur die Spuren unterscheiden aber nicht die Fahrtrichtung feststellen kann.
Mit einer anderen Methodik kann man aber imho, anhand der Radspuren feststellen in welche Richtung er fuhr.

Wie kann man anhand der Radspuren feststellen in welche Richtung der Radfahrer fuhr?

Gruß Helmut

[zeitgenosse]

[zeitgenosse]

[zeitgenosse]

[Aragorn]

[Sebastian Hauk]

[zeitgenosse]

[zeitgenosse]