Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten
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Ich



Anmeldedatum: 29.06.2006
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BeitragVerfasst am: 06.06.2008, 16:05    Titel: Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten Antworten mit Zitat

Behauptung: ohne Metrik und so kommt man lokal auf die Zeitdilatation durch Gravitation:
Gegeben: Zwei Uhren in Gravitation g, in Höhe h übereinander.
1. Postulat (Äquivalenz): Situation = zwei gleich beschleunigte Uhren mit konstantem Abstand h. "gleich beschleunigt" relativiert sich noch, der konstante Abstand langt erst mal).
2. Postulat (Relativität): Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung der Uhren beschreiben als:
Uhr 1: x = g/2 t²
Uhr 2: x = g/2 t² + h
(Natürlich nur solange dx/dt<<c)
3. Postulat (Konstanz LG): Zu jedem Zeitpunkt kann ich die Bewegung von Lichtpulsen beschreiben mit:
Licht: x = ct

Wir schicken Lichtpulse von unten nach oben, zum Beispiel:
Puls 1: x = ct+h
Puls 2: x= ct

Wie groß ist der zeitliche Abstand der Pulse?

Oben:
\[dt2=\frac{c}{g}(1-\sqrt{1-\frac{2gh}{c^2}})\]
Unten:
\[dt1=\frac{c}{g}(1-\sqrt{1+\frac{2gh}{c^2}})\]

Oder, in erstbester Näherung:

Oben:
$dt2=\frac{h}{c}(1+\frac{gh}{2c^2})$
Unten:
$dt1=\frac{h}{c}(1-\frac{gh}{2c^2})$

oder, in selber Näherung:

dt2/dt1 = 1 + gh/c²

Weil das zu jedem Zeitpunkt so ist, kann man auf Zeitdilatation schließen.

Beispiel:
Uhr 2 geht nach oben (dauert nicht lang) und kommt erst wieder runter, wenn von Uhr 1 10^x Pulse eingetroffen sind (dauert sehr lang).
Dann kann man die reinen Geh- und Signallaufzeiten vernachlässigen und stellt fest:

Uhr 2 geht, es vergehen für Uhr 1 z.B. 10000 Jahre, Uhr 2 ist wieder da.
Für Uhr 2 sind aber definitv 10000 Jahre * (1+gh/c²) vergangen.

(Anmerkung: Mit dem unterschiedlichen Zeitverlauf wird das "gleich" beschleunigt zu "ausreichend gleich" beschleunigt, der Effekt ist aber von höherer Ordnung.)
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pauli



Anmeldedatum: 13.06.2007
Beiträge: 1551

BeitragVerfasst am: 06.06.2008, 16:26    Titel: Antworten mit Zitat

hm, und ist das jetzt gut oder schlecht Shocked
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Uli



Anmeldedatum: 09.06.2006
Beiträge: 472

BeitragVerfasst am: 06.06.2008, 17:30    Titel: Re: Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten Antworten mit Zitat

Hi Ich,

wenn ich recht verstehe, argumentierst du lediglich, dass die beiden Beobachter unterschiedliche zeitliche Abstände zwischen den Pulsen messen. Ich sehe nicht, dass da zwingend Zeitdilatation ins Spiel kommt.

Gruß,
Uli
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Joachim



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Beiträge: 1714

BeitragVerfasst am: 06.06.2008, 19:32    Titel: Re: Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten Antworten mit Zitat

Hi Uli,

Uli hat Folgendes geschrieben:

wenn ich recht verstehe, argumentierst du lediglich, dass die beiden Beobachter unterschiedliche zeitliche Abstände zwischen den Pulsen messen. Ich sehe nicht, dass da zwingend Zeitdilatation ins Spiel kommt.


Die Zeitdilatation bekommt man aufgrund der Symmetrie: Es soll sich ja um baugleiche Uhren handeln. Die obere misst größere Zeitabstände zwischen den Pulsen als die untere. Das kann aber nicht an den Uhren liegen, denn sie sind ja ununterscheidbar (im Experiment würde man sie probehalber vertauschen) also kann es nur an der Zeitdilatation liegen.

Wesentlich ist hier auch, dass die Beschleunigung beider Uhren gleich ist, an Beschleunigung kann es als auch nicht liegen, nur an der Lage. Es ist also Geometrie.

Gruß,
Joachim
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Ich



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Beiträge: 624

BeitragVerfasst am: 06.06.2008, 20:25    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
hm, und ist das jetzt gut oder schlecht

Das ist prima, weil ich das schon vor einem Jahr herleiten wollte, und mich auf Teufel komm raus immer um einen Faktor 2 verrechnet habe.
Was ich lustig finde ist, dass man die Relativitätstheorie quasi überspringen kann und von Galileo weg auf die Zeitdilatation kommt. Wenn nicht ein Fehler drin ist, selbstverständlich.

Das wär jetzt eigentlich fürn Kurt gewesen, soll er sich selber ausenken warum das so ist. Ohne Potenzial und Metrik und so. Aber ich glaub da nicht so dran, dass das was wird.
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pauli



Anmeldedatum: 13.06.2007
Beiträge: 1551

BeitragVerfasst am: 06.06.2008, 20:56    Titel: Antworten mit Zitat

klingt gut (bis auf die 1jährige Verrechnungsphase) Very Happy

Kurt ist mit der Rettung seines universellen Taktstocks beschäftigt, das wird wohl noch paar Äonen dauern
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Uli



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Beiträge: 472

BeitragVerfasst am: 06.06.2008, 21:37    Titel: Re: Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten Antworten mit Zitat

Joachim hat Folgendes geschrieben:
Hi Uli,

...
Die Zeitdilatation bekommt man aufgrund der Symmetrie: Es soll sich ja um baugleiche Uhren handeln. Die obere misst größere Zeitabstände zwischen den Pulsen als die untere.


Größere ???
Schätze, dann habe ich wirklich nichts verstanden.
Ich dachte, der Effekt kommt doch dadurch zustande, dass die obere Uhr eine Idee länger fällt und deshalb schneller ist als die untere und deshalb die Impulse in schnellerer Folge auftreffen.
Wenn die Pulse von oben kämen, wäre es gerade umgekehrt.

Muss mir nochmal genauer die Formeln anschauen, was der gute "Ich" da geschrieben hat.

Gruß,
Uli
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FrankSpecht



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BeitragVerfasst am: 07.06.2008, 00:31    Titel: Re: Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten Antworten mit Zitat

Moin, Uli,
Uli hat Folgendes geschrieben:
Größere ???
Schätze, dann habe ich wirklich nichts verstanden.

An dem Punkt bin ich auch gerade. Schätze es liegt daran:
Joachim hat Folgendes geschrieben:
Wesentlich ist hier auch, dass die Beschleunigung beider Uhren gleich ist

Eine Uhr auf einem Berg und eine Uhr auf Meereshöhe sind aber nicht gleich beschleunigt. In dieser Diskussion geht es wohl um etwas anderes...
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CS, Frank
http://www.rainbow-serpent.de/
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Uli



Anmeldedatum: 09.06.2006
Beiträge: 472

BeitragVerfasst am: 07.06.2008, 02:25    Titel: Re: Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten Antworten mit Zitat

FrankSpecht hat Folgendes geschrieben:
Moin, Uli,
Uli hat Folgendes geschrieben:
Größere ???
Schätze, dann habe ich wirklich nichts verstanden.

An dem Punkt bin ich auch gerade. Schätze es liegt daran:
Joachim hat Folgendes geschrieben:
Wesentlich ist hier auch, dass die Beschleunigung beider Uhren gleich ist

Eine Uhr auf einem Berg und eine Uhr auf Meereshöhe sind aber nicht gleich beschleunigt. In dieser Diskussion geht es wohl um etwas anderes...


Hi Frank,

dagegen könnte man sagen, das Gravitationsfeld ist hinreichend homogen für solche Höhenunterschiede (V~mgh); in so einer Näherung wäre die Beschleunigung gleich.

Und wenn nun beide Uhren auf ihren Höhen ruhen, dann gibt es also keine "Zeitdilatation"; sie müssen frei fallen, damit der "Effekt" da ist ?

Ich verstehe hier leider nur Bahnhof. Wenn es nicht gerade "Ich" gepostet hätte, würde ich es für Unfug halten. So nehme ich eher an, ich habe ein Brett vorm Kopf und habe keine Ahnung, worum es geht.

Gruß,
Uli
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Erik



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Beiträge: 565

BeitragVerfasst am: 07.06.2008, 14:28    Titel: Re: Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten Antworten mit Zitat

Uli hat Folgendes geschrieben:

Ich verstehe hier leider nur Bahnhof.


Beruhigend, ich auch. Wink

Mir fehlt irgendwie eine Aussge dazu, zwischen welchen Ereignissen hier die Zeit gemessen wird. Und dann braucht
man doch noch eine Gleichzeitigkeitsdefinition, oder? Sonst nehme ich einfach "Gleichzeitig = gleiches t"
und dann gibts auch keine Zeitdilatation.

Außerdem verstehe ich die Näherung nicht. Ist das für kleines h? Dann erhalte ich doch nach Entwicklung der Wurzel

\[
dt = {c\over g}\left(1 - \sqrt{1 \pm {2 gh \over c^2}}\right) \approx \mp{c\over g}{gh\over c^2} = \mp{h\over c}
\]


Zuletzt bearbeitet von Erik am 07.06.2008, 16:25, insgesamt 3-mal bearbeitet
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Erik



Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

BeitragVerfasst am: 07.06.2008, 15:47    Titel: Re: Gravitations-Zeitdilatation direkt aus den 3 Postulaten Antworten mit Zitat

Erik hat Folgendes geschrieben:

Außerdem verstehe ich die Näherung nicht.


Achso, du nimmst noch eine Ordnung mehr mit. Also

\[ \sqrt{1 + x} \approx 1 +{1\over 2} x - {1\over 8}x^2 \]

[Letztes Edit: Nehm alles bzgl. der Näherung zurück. Hab mich verrechnet.]
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Erik



Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

BeitragVerfasst am: 07.06.2008, 17:16    Titel: Antworten mit Zitat

Menno, doch noch mal zur Näherung. Ist heut nicht mein Tag. Also ich setze
$ |x| = {2gh\over c^2} $. Und entwickle

\[ dt_{1/2} = {c\over g}\left( 1 - \sqrt{1+x}\right) \approx {c\over g}\left( 1 - \left[ 1 + {x\over 2} - {x^2\over 8}\right]\right) = {c\over g}\left( -{x\over 2} + {x^2\over 8}\right)
\]

Bei dt1 ist $ x = +{2gh\over c^2} $ und damit doch

\[ dt_1 \approx {h\over c}\left( -1 + {gh\over 2c^2}\right). \]

Das ist im Gültigkeitsbereich der Näherung $ |x|<1 $ negativ. Kann es sein, daß die Wurzel in dt1 das falsche Vorzeichen hat?
Dann kommt aber irgendwie was ganz anderes raus.
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Ich



Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624

BeitragVerfasst am: 07.06.2008, 19:32    Titel: Antworten mit Zitat

Was ich mache:

Ich gehe ins momentan mitbewegte Inertialsystem. Für gh<<c² sind alle Geschwindigkeiten darin beliebig klein, und ich kann ganz einfach nach Newtonscher Mechanik rechnen, es gibt keine Schwierigkeiten mit Gleichzeitigkeit und Zeitdilatation, SRT brauch ich nicht.
In diesem System habe ich die beiden Uhren auf ihren Bahnen (nach oben offene, übereinanderliegende Parabeln).
Noch zwei Lichtstrahlen dazu, im Diagramm von links unten nach rechts oben.
Der erste trifft Uhr1 bei t=0, der zweite trifft Uhr 2 bei t=0.
Jetzt kann man schon am Diagramm erkennen, dass die Zeitabstände, in denen die Strahlen auf Uhr1 bzw. Uhr 2 treffen, unterschiedlich sind.
Das rechne ich nur noch aus.
Erik hat Folgendes geschrieben:
Mir fehlt irgendwie eine Aussge dazu, zwischen welchen Ereignissen hier die Zeit gemessen wird. Und dann braucht
man doch noch eine Gleichzeitigkeitsdefinition, oder? Sonst nehme ich einfach "Gleichzeitig = gleiches t"
und dann gibts auch keine Zeitdilatation.

Doch, gleiches t ist gleichzeitig im IS.
Zitat:
Achso, du nimmst noch eine Ordnung mehr mit.

Ja, die erstbeste, nicht die erste.
$dt_1 \approx {h\over c}\left( -1 + {gh\over 2c^2}\right)$
Ja, aber das ist nicht mein "dt1", sonder ein Zeitpunkt. dt1 ist das Intervall von diesem Zeitpunkt bis 0.

Also, kurz: Im frei fallenden Bezugssystem sieht man, dass für die beschleunigten Uhren unterschiedliche Zeiten zwischen den Pulsen vergehen. Und zwar immer.
Damit kann ich dann im Gedankenexperiment begründen, dass daraus zwangsläufig echte Zeitdilatation folgt, der Effekt sich also nicht wegdiskutieren lässt.

Wenn man drüber nachdenkt, ist die Begründung ziemlich komisch: Die unterschiedlichen Zeiten kommen eigentlich daher, dass die LG vom Emitter unabhängig (also immer gleich) ist, der Absorber aber immer ein Stückchen weiter wegfährt. Dass er trotzdem gleich weit weg bleibt, ist das, was so richtig Spaß macht an solchen Sachen.
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Ich



Anmeldedatum: 29.06.2006
Beiträge: 624

BeitragVerfasst am: 07.06.2008, 20:50    Titel: Antworten mit Zitat

Noch was:
Frank Specht hat Folgendes geschrieben:
Eine Uhr auf einem Berg und eine Uhr auf Meereshöhe sind aber nicht gleich beschleunigt. In dieser Diskussion geht es wohl um etwas anderes...

Uli hat Folgendes geschrieben:
dagegen könnte man sagen, das Gravitationsfeld ist hinreichend homogen für solche Höhenunterschiede (V~mgh); in so einer Näherung wäre die Beschleunigung gleich.

Ja, die Herleitung funktioniert auch, wenn die beiden Beschleunigungen leicht unterschiedlich sind.
Es ist aber ein wichtiger Punkt, dass das Ergebnis für genau gleiche Beschleunigungen rauskommt: Bei beiden Uhren herrschen exakt dieselben Bedingungen, trotzdem laufen sie unterschiedlich. Das ist immer so in der RT, deswegen heißt sie Relativitätstheorie - weil es um Relationen, also Verhältnisse A <-> B geht, nicht um absolute Veränderungen von A oder B. Diese Erkenntnis ist eigentlich was richtig schönes, aber in bestimmten - weit gefassten - Kreisen, z.B. auch der "breiten Öffentlichkeit" oder Schülern, nicht kommunizierbar. Es sitzt ganz tief drinnen, dass bei A selbst irgendwas anders sein muss als bei B.
Man sagt gerne, dass das "Potenzial" dafür verantwortlich wäre. Das hat den Vorteil, dass es zwar richtig ist und andererseits suggeriert, dass da bei A tatsächlich etwas anders ist. Dann sind alle glücklich. Der Nachteil ist, dass dieses "Potenzial" in Wirklichkeit gar nicht direkt messbar ist, sondern seinerseits "nur" eine Relation ist.
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Erik



Anmeldedatum: 28.03.2006
Beiträge: 565

BeitragVerfasst am: 07.06.2008, 21:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hat Folgendes geschrieben:

Es sitzt ganz tief drinnen, dass bei A selbst irgendwas anders sein muss als bei B.
[...]
Der Nachteil ist, dass dieses "Potenzial" in Wirklichkeit gar nicht direkt messbar ist, sondern seinerseits "nur" eine Relation ist.


Das macht doch nichts. Man vergleicht ja auch nur die Zeiten von zwei Uhren an verschiedenen Orten
auf unterschiedlichem Potential. Potentialunterschiede kann man aber schon messen. Die Aussage bei
Punkt A sei das Potential wirklich anders, als bei Punkt B, ist ja durchaus sinnvoll.
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