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richy
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 Verfasst am: 18.05.2008, 03:46 Titel: Gaußsche Fehlerfunktion |
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Hi
Ab und zu verirren sich immer noch irgendwelche Schueler nach chaostheorie.de.
Meist mit ganz handfesten und interessanten Fragen.
@Eric
Uebrigends schwach von dir, dass dir bezueglich des Ljapunov Exponenten
insbesonders dessen numerischen Approximation anscheinend auch nix einfaellt.
Ok, versuchen wir es mal mit der Gaußschen Fehlerfunktion.
Die Anfrage eines anderen Schuelers :
http://www.chaostheorie.de/read.php?1,10001,10014#msg-10014
Einige Punkte konnte ich klaeren.
Welche Punkte ich nicht klaeren konnte sollte aus dem Link hervorgehen.
Konkret :
Wie kann ich
integral( t^2*c*exp(-a*t^2) dt);
ohne das Gaußsche Fehlerintegral elementar integrieren ?
Zuletzt bearbeitet von richy am 18.05.2008, 18:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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ralfkannenberg
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| Verfasst am: 18.05.2008, 11:00 Titel: Re: Gaußsche Fehlerfunktion |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | @Eric
Uebrigends schwach von dir, dass dir bezueglich des Ljapunov Exponenten
insbesonders dessen numerischen Approximation anscheinend auch nix einfaellt. |
Hallo richy,
wieso ist das "schwach" von Erik ? Wenn Du auf diesem Gebiet eine Antwort brauchst, dann musst Du halt zu einer Uni gehen und dort kostenpflichtig die Aufgabe lösen lassen.
Freundliche Grüsse, Ralf |
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Karl
Site Admin
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| Verfasst am: 18.05.2008, 13:30 Titel: Re: Gaußsche Fehlerfunktion |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | Konkret :
Wie kann ich
\[ \int{t^2 c\;{\rm e}^{-a t^2} {\rm d}t} \]
ohne das Gaußsche Fehlerintegral elementar integrieren ? |
Diese Integral hat keine elementare Lösung. Wenn du damit rechnen willst, dann benötigst du eine für deine Aufgabenstellung passende Näherungslösung. Zu empfehlen ist dafür z.B. "Handbook of Mathematical Functions", M. Abramovitz and I. E. Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, z.B. hier: http://www.amazon.de/Handbook-Mathematical-Functions-Formulas-Graphs/dp/0486612724/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books-intl-de&qid=1211110095&sr=1-1
Chapter 7, "Error Function and Fresnel Integrals",
Section "Rational Approximations $ (0\leq x < \infty) $", 7.1.25:
\[ \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x{{\rm e}^{-t^2}{\rm d}t}=1-(a_1 u+a_2u^2+a_3u^3)\;{\rm e}^{-x^2}+\epsilon(x),\qquad u=\frac{1}{1+px}, \]
\[ |\epsilon(x)|\leq 2.5\;10^{-5}, \]
\[ p=0.47047,\quad a_1=0.3480242,\quad a_2=-0.0958798,\quad a_3=0.7478556 \]
LG,
Karl
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„Wo ist meine kleine gelbe Chinalackdose?“ Der ganz normale Wahnsinn |
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richy
Anmeldedatum: 03.01.2007
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| Verfasst am: 18.05.2008, 18:08 Titel: |
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Hi
@ralf
Ich haette besser "schade" schreiben sollen.
Das Problem stellte sich auch im Rahmen einer Facharbeit. Nicht meiner 
@Karl
Danke fuer den Tip. Dass das Integral nicht elementar loesbar ist hab ich auch schon vermutet. In der Loesung von Maple ist die Gaußsche Fehlerfunktion enthalten. Fuer die Grenzen -00..00 gibt es zwar eine Moeglichkeit, aber der Schueler soll im Intervall von -1/2..1/2 integrieren.
Dazu ist eine Loesung angegeben.
Ich frage am besten nochmal nach ob der Integrand korrekt ist.
integral(t*exp(-a*t^2)) laesst sich mittels Substitution loesen. Gibt es eigentlich eine Regel bei welchen Gewichtsfunktionen das Integral loesbar ist. |
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El Cattivo
Anmeldedatum: 22.04.2007
Beiträge: 1556
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| Verfasst am: 18.05.2008, 18:21 Titel: |
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Hi ritchy
Muss es denn ein Riemannintegral sein?
mfg |
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richy
Anmeldedatum: 03.01.2007
Beiträge: 506
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| Verfasst am: 18.05.2008, 20:15 Titel: |
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Hi Cattivo.
Die Aufgabenstellung war in dem Forum bischen wackelig formuliert :
Es geht dabei wohl um eine Wahrscheinlichkeitswelle und deren Kennwerte.
Zu Uebungszwecken wurde wohl eine Gaußsche Verteilung angenommen.
| Zitat: |
z.b. Eine Funktion f heist Fensterfunktion, wenn neben f(t) auch t*f(t) in L(R,C) liegt und f die Normierungsbedingung
||f||=Wurzel[Integral von minus unedlich bis unendluch von |f(t)|² dt] = 1
Wie kann ich |f(t)|² berechnen und was ist das.
Habe noch ein Beispiel,dass es zu berechnen gibt:
g tiefgestellt lamda (t)=1/(vierte Wurzel von 2*pi*lamda)*e hochgestellt(-t²/(4*lamda)
Ich soll |f(t|² berechnen und ||f(t||
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Fuer das Betragsquadrat von g(t) ergibt sich :
g (t)=1/( Wurzel von 2*pi*lamda)*exp((-t²/(2*lamda))
Die Normierungsbedingung laesst sich ueberpruefen, da das Fehlerintegral ueber die Schranken -00..00 berechnet wird.
http://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerintegral
(Normierung) Das Integral ergibt Wurzel(2*Pi)
(Mit der Laurantreihe und dem Residuensatz koennte man den Teil wahrscheinlich auch alternativ loesen.)
Setzt man konkret die Funktion ein ist die Normierung erfuellt.
| Zitat: |
ch soll von der obigen Funktion nun noch den Erwartungswert mü berechnen mit der Formel Integral von minus unendlich bis unendlich t*|f(t)|² dt.
Und dann noch die Standardabweichung bzw Unschärfe mit der Formel
Wurzel aus[Integral(t-mü)²*|f(t)|² dt]
Kann das mir mal bitte jemand vorrechnen. Ergbnis zur Kontrolle
mü=0 und unschärfe=wurzel aus lamda.
Nun Habe ich auch noch eine weitere Fensterfunktion
f(x)=Wellenzeichen von integral -1/2 bis 1/2 von t
Auch hier soll ich |f(t)|² ||f(t)|| und mü und unschärfe berechnen...
Ergebnisse hier mü=0 und unschärfe=1/(2*wurzel lamda).
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Den Mittelwert kann man ueber Substitution elemtar berechnen. Der ergibt Null.
Um die Standartabweichung zu berechnen komme ich dann aber beim letzten Aufgabenteil auf ein Integral ( t^2*exp(-a*t^2) dt, t=-1/2..1/2 )
wenn ich in
Wurzel aus[Integral(t-mü)²*|f(t)|² dt]
mue zu Null setze.
Man koennte fuer die Schranken -00..00 die Varianz aus einer Tabelle der Normalverteilung ablesen.
Aber bei dem Intervall -1/2..1/2 bin ich eben ueberfragt.
Hast du eine Idee ?
Ich habe das Integral bei Maple eingetippt um zu ueberpruefen ob es ueberhaupt einen Sinn macht eine Loesung zu suchen. Und da kommt eben die erfc Funktion vor. |
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richy
Anmeldedatum: 03.01.2007
Beiträge: 506
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| Verfasst am: 18.05.2008, 20:30 Titel: |
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Es fehlt also nur noch der letzte Aufgabenteil.
Zum Ljapunow :
Ein numerischer Algo fuer dessen Berechnung bei unbekanntem Prozess halte ich persoenlich fuer interessanter als die Fehler von JL oder Friebe aufzuzeigen.
Und ungerecht: Die bekommen dies tatsaechlich kostenlos vorgerechnet
Und wissen es nichteinmal zu schaetzen. |
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ralfkannenberg
Anmeldedatum: 22.02.2006
Beiträge: 4788
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| Verfasst am: 19.05.2008, 09:22 Titel: |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | @ralf
Ich haette besser "schade" schreiben sollen. |
Hi richy,
das gefällt mir viel besser
Herzlichen Dank und freundliche Grüsse, Ralf |
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richy
Anmeldedatum: 03.01.2007
Beiträge: 506
Wohnort: 76
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| Verfasst am: 19.05.2008, 14:46 Titel: |
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Sorry nochmals fuer den Ausrutscher.
Ich kann mir auch vorstellen, dass die Aufgabenstellung mit dem Ljapunow Exponenten allgemein gar nicht loesbar ist.
Ansonsten koennte man zum Beispiel die Stabilitaet der Aktienkurse genau beurteilen. Und in der Branche arbeiten sicherlich jede Menge Mathematiker.
Viele Gruesse
richy |
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pauli
Anmeldedatum: 13.06.2007
Beiträge: 1551
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| Verfasst am: 19.05.2008, 16:07 Titel: |
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| richy hat Folgendes geschrieben: |
Ansonsten koennte man zum Beispiel die Stabilitaet der Aktienkurse genau beurteilen. Und in der Branche arbeiten sicherlich jede Menge Mathematiker.
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Das kann ich nicht beurteilen, weiß aber aus meiner sehr lehrreichen Börsenzeit, dass es auf KI/neuronale Netze basierende Systeme gibt.
Bevor ich sie ausprobieren konnte war die Party allerdings vorbei  |
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richy
Anmeldedatum: 03.01.2007
Beiträge: 506
Wohnort: 76
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| Verfasst am: 19.05.2008, 17:31 Titel: |
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Die Elliott Wellen sind auch soch ein Analyseinstrument:
http://www.fxmarkets.de/chart/elliot.htm
Das ist aber recht Boersenspeziefisch.
Immerhin kann ich Birfurkationspunkte schon ueber die Z-Verteilung detektieren. Mal sehen ob ich an das Verfahren noch verbessern kann.
Solch eine rein numerische Stabilitaetanalyse waere sicherlich nicht nur fuer Aktienkurse nuetzlich. |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 20.05.2008, 06:50 Titel: |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | | Die Elliott Wellen sind auch soch ein Analyseinstrument |
"Elliott-Wellen" (Zigzag-Formationen) kannte ich bisher nicht. Mir war hingegen das "Nash-Gleichgewicht" (Equilibrium ) in etwa in Erinnerung.
Interessant in beiden Fällen ist der starke Einbezug der Mathematik. Bei Elliott sollen Fibonacci-Zahlen eine Rolle spielen. Das eine hat mit dem anderen nicht direkt zu tun. Beim Nash-Gleichgewicht geht es um einen Anwendungsfall aus der Spieletheorie (welche auf Morgenstern und v. Neumann zurückgeht). In gemischten Strategien ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zudem massgebend. Damit kommt aber auch die Gauß-Funktion erneut zum Zuge.
Schliesslich gibt es doch gemeinsame Felder zwischen Elliott und Nash, nämlich den Markt, wo mehrere miteinander konkurrierende Produkte über den Preis das Käuferverhalten beeinflussen. Für den Anbieter gilt dabei: Die Preise dürfen nur so weit gesenkt werden, dass gerade noch eine wirtschaftliche Arbeitsweise möglich ist. Eine noch tiefere Senkung würde auf Dauer den Anbieter in den Konkurs treiben, eine Erhöhung würde dazu führen, dass die Käufer auf die Konkurrenzprodukte ausweichen. In der Schweiz lässt sich dieses Verhalten sehr gut an den beiden Grossverteilern Coop und Migros beobachten. Der Ausweg besteht darin, gleichzeitig mit einer Preiserhöhung eine Produkte-Innovation anzubieten, um so die Motivation des Käufers zu erhöhen.
Interessant ist das Ganze (Volkswirtschaft, Strategien, Börsen und globale Märkte) alleweil. Auch für Physiker übrigens.
Anm.:
John Nash - der 1994 den Nobelpreis in Wirtschaftswissenschaften erhielt -, war für viele Jahre wegen "paranoider Schizophrenie" in psychiatrischer Behandlung (bekannt einem grösseren Publikum durch den Film 'A Beautiful Mind' mit Russell Crowe in der Hauptrolle). Nash hatte sich auch mit Erfolg der Differentialgeometrie zugewandt und eines der von Hilbert aufgenommenen Probleme gelöst (Satz von De Giorgi und Nash). Zudem entwarf er Strategiespiele wie "Hex" oder "So long Sucker".
Elliott hingegen kenne ich sogut wie gar nicht.
p.s.
Dir geht es vermutlich mehr um die spielerische Anwendung der Mathematik, währenddem es mir eher um die zugrunde liegenden Prinzipien und deren Durchdringung geht.
Gr. zg
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richy
Anmeldedatum: 03.01.2007
Beiträge: 506
Wohnort: 76
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| Verfasst am: 22.05.2008, 16:57 Titel: |
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Hi zeitgenosse
| Zitat: |
Dir geht es vermutlich mehr um die spielerische Anwendung der Mathematik ...
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Vom Schwerpunkt her schon, wobei mich die Frage nach den psychologischem Effekten auf den Aktienmarkt auch interessiert. Vornehmlich sehe ich darin aber einfach einen determiniert zufaelligen Zeitverlauf, mit dem man z-B. Algorithmen testen kann.
Wobei in diese Daten noch der Faktor Mensch involviert ist.
Dabei bin ich eher der Auffassung, dass dies gar keine so grosse Rolle spielt.
So gilt das Benfordsche Gesetz nicht nur fuer den Verschleiss eines Teppichs oder Seiten einer Integraltabelle sondern sogar fuer die Fibonaccizahlen dirket. Deren erste Ziffer ist bevorzugt eine eins.
Das die Fibonacci Zahlen auch in den Aktienkurse eine Bedeutung spielen ist schon verblueffend, aber im Grunde schon zu erwarten.
Ich meine dass sie auch in Heims aspektbezogener Logik eine Rolle spielen muessten.
Eine Charakterisierung ist bekanntlich, dass der Quotient f(n+1)/f(n) gegen den goldenen Schnitt konvergiert. Und dieser sich am schlechtesten als ein Bruch approximieren laesst. Meine Auffassung ist, dass dadurch destruktive Periodizitaeten vermieden werden.
So wird auch der goldene Schnitt bei Pflanzen erklaert.
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Fibonacci-Folgen_in_der_Natur
| Zitat: |
Hintergrund ist der Umstand, dass die rationalen Zahlen, die den zugrunde liegenden Goldenen Schnitt am besten approximieren, Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen sind. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen.
Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute. Der Versatz der Blätter um das irrationale Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es z. B. bei 1/4 der Fall wäre (0° 90° 180° 270° | 0° 90° …). Dadurch wird der denkbar ungünstigste Fall vermieden, dass ein Blatt genau senkrecht über dem anderen steht und sich so die jeweils übereinanderstehenden Blätter maximalen Schatten machen oder maximale ‚Lichtlücken‘ entstehen.
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Ein exakt periodisch schwankenden Boersenkurs waere eine Geldpumpe.
Die Periodozitaet waere ohne spekulative Aspekte vielleicht Grundverhalten des Kurses. Der Spekulant versucht wie die Sonnenblume
eine maxiamale Ausbeute zu erzielen. Einmal Licht, einmal Geld.
Man koennte in so eine Sonnenblume vielleicht sogar prinzipielle Tendenzen des Boersenkurses wiederfinden. Noch besser geeignet waere
ein Blumenkohl oder Romanesco
Ich bin mir recht sicher, dass die Vermeidung von Periodizitaeten,Resonanzen die grundlegende Eigenschaft ist, warum der goldene Schnitt von der Natur bevorzugt wird.
Hmm, eigentlich muesste man das auch im Maschinenbau anwenden koennen. Ebenso sind im Lautsprecherbau Resonanzen unerwuenscht.
Ich hab gerade mal die Lage des Tieftoeners meine Kleinbox gemessen.
8cm /12cm
8/13 waere wahrscheinlich guenstiger.
Breite zu Hoehe :
20cm /13cm
Auch hier waere 21/13 akustisch wohl guenstiger. Aber nahe dran |
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zeitgenosse
Anmeldedatum: 21.06.2006
Beiträge: 1811
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| Verfasst am: 16.06.2008, 01:51 Titel: |
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| richy hat Folgendes geschrieben: | | Das die Fibonacci Zahlen auch in den Aktienkurse eine Bedeutung spielen ist schon verblueffend, aber im Grunde schon zu erwarten. |
Wenn einer nicht gerade verstockt ist, müsste er es sehen.
Eine gewisse Parallele zu den Elliott-Wellen sehe ich bei den Kondratjeff-Zyklen (die langen Wellen der Konjunktur), auch als Kondratjew geschrieben.
Ich habe mir kürzlich die Entwicklung des (realen) Bruttosozialproduktes der Schweiz (Anstieg zwischen 1800 bis 2000) angeschaut und auch dort ausgeprägte Wachstumszyklen mit einer Periodizität von etwa 60 Jahren - begleitet von Auf- und Abschwungphasen - gefunden.
Offensichtlich folgt auch die Volkswirtschaft gewissen Gesetzmässigkeiten, die man approximativ durch Polynome beschreiben kann. Eine exakte Wissenschaft ist die Konjunkturforschung zwar nicht, aber dafür immerhin interessant. Die Kondratjeff-Zyklen werden somit kontrovers gewertet.
Gr. zg
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pauli
Anmeldedatum: 13.06.2007
Beiträge: 1551
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| Verfasst am: 16.06.2008, 03:58 Titel: |
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Die Aufschwungphasen in der Schweiz hängen wohl auch mit der Anzahl aktiver Diktatoren und Großverbrecher auf der Welt zusammen, die das zusammengeraubte Geld in neutralen schweizer Tresoren verstecken.
Abschwungphasen durch Dezimierung o.g. Gruppe können möglicherweise positiv für den Rest der Welt sein. |
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