Aus Kemmethread ausgelagerte Bibeldiskussion

[Aragorn]

Hallo,

das ist aber eine komische Aufgabe. Normalerweise würde ich da die Lösung, ohne zu rechnen, aus dem Stegreif nennen.
Da muß ich entweder was falsch verstanden haben, oder du hast die Aufgabe gar zu stark vereinfacht?

Gruß Helmut

[criptically]

[zeitgenosse]

[zeitgenosse]

[Aragorn]

Ok,

Welche Temperatur hat der Körper nach 3 Stunden?

Ich nehme mal an das k der Kehrwert der Zeitkonstanten sein soll (k=1/20 min)

dT/dt = -k*(T-Tu)

dt = -dT/(k*(T-Tu))

t = -1/k*Integral(1/(T-Tu) dT)

(1) t = -1/k*ln(T-Tu) + C

Eine Lösung der obigen Gleichung (1) ist bekannt: Zum Zeitpunkt t=0 ist T=Ta (Anfangstemperatur)
Damit kann die Intergrationskonstante C ermittelt werden: C = ln(Ta-Tu)/k
Die wieder in (1) eingesetzt:

t = 1/k*(-ln(T-Tu)+ln(Ta-Tu))

k*t = ln((Ta-Tu)/(T-Tu))

e^k*t = (Ta-Tu)/(T-Tu)

T = T_u + (Ta - Tu)*e^-k*t

Der Proportionalitätsfaktor k muß die Einheit 1/t haben.
Ich nehme an k sei 1/20 min

Mit k = 1/20 min ergäbe sich für t = 180 min:

T = 20°C + (700°C - 20°C)*e^-180min/20min
T = 20,84°C

Nach 3 Stunden hat der Körper eine Temperatur von 20,84°C

Wann ist der Körper praktisch auf Umgebungstemperatur abgekühlt?

Legt man bsw. fest das dies der Fall ist, wenn delta_T/T = (T-Tu)/Tu kleiner gleich 1E-6 sein soll, wird:

delta_T/T*e^-k*t = 1E-6

t = -1/k*ln(delta_T/T*Tu/(Ta-Tu)

daraus folgt ein t = 293,15 min

Nach 293,15 min wäre der Körper bis auf ein Millionstel genau (entsprechend 0,000293 K) auf seine Umgebungstemperatur (293 K) abgekühlt.

Gruß Helmut

[zeitgenosse]