Beweis Energieerhaltung

[submarine]

Annette Winkler hatte nach der Ableitung der Energieerhaltung aus der zeitlichen Homogenität gefragt:

Anmerkung:
- "partial/partial x" bezeichne die partielle ableitung nach x
- "d/dx" die ableitung nach x

- aus gründen der übersichtlichkeit verzichte ich auf summen - mathematisch korrekt muss bei den meisten termen noch über die einzelnen generalisierten koordinaten summiert werden, an der grundsätzlichen vorgehensweise ändert sich jedoch nichts (und ohne latex wäre dies kaum übersichtlich darzustellen gewesen)

Sei L Lagrangefunktion mit L := T - V

wobei T kinetische Energie und V Potential

q seien generalisierte orte (kann man sich ähnlich wie "anschuliche" orte vorstellen)

q_punkt sei die generalisierte geschwindigkeit (ableitung des generalisierten ortes nach der zeit)

V hänge dabei NUR von den generalisierten Orten ab V = V (q)

T sei homogen in den generalisierten geschwidigkeiten vom grad 2
-> partial / partial q_punkt T * q_punkt = 2 T

veranschaulichung: im anschauungsraum können wir q_punkt durch die geschwindigkiet r_punkt = v ersetzen:

(d/dr_punkt T) * r_punkt = ( d/dr_punkt 1/2 m (r_punkt)^2) * r_punkt = m r_punkt * r_punkt = 2 T



es gilt lagrange gleichung zweiter art:

d/dt partial L / partial q_punkt - partial L / partial q = 0

(argh ich will tex)

Nun kommt die zeitliche homogenität ins Spiel:

L(q, q_punkt, t + delta_t) = L(q, q_punkt, t)

-> L hängt nicht explizit von t ab (die partielle ableitung von L nach t ist null)


betrachten wir nun die ableitung (nicht partielle ableitung) von L nach der Zeit:

d/dt L = einige Umformungen = d/dt ( partial L/ partial q_punkt * q_punkt)

-> d/dt L- d/dt ( partial L/ partial q_punkt * q_punkt) = 0

-> d/dt (L - partial L/ partial q_punkt * q_punkt) = 0

man bezeichnet "partial L/ partial q_punkt" auch als generalisierten impuls p
-> d/dt (L - p * q_punkt) = 0 wobei H := L - p * q_punkt als Hamiltonfunktion bezeichnet wird


aber weiter mit d/dt (L - partial L/ partial q_punkt * q_punkt) = 0:
da L = T - U aber U nicht von q_punkt abhängt (partial U /partial q_punkt = 0) ergibt sich

d/dt (L - partial T/ partial q_punkt * q_punkt) = 0

Ersetze L durch T - U und beachte, dass T homogen vom grad 2 in den gen. geschwindigkeiten

-> d/dt ( T - U - 2 T ) = - d/dt(T+U) = 0

-> T+U = E = const


habe einige matehmatische formalitäten nicht mitgeschrieben, dürfte auch so schon schwierig genug sein. aber als nicht-physiker beachte man vor allem zwei vorraussetzungen die wir ausgenutzt haben:

das potential U ist geschwindigkeitsunabhängig und die kinetsiche energie homogen vom grad 2 in den geschwindigkeiten

nur wenn dies der fall ist UND die lagrange und damit auch die hamilton funktion NICHT explizit zeitabhängig sind, gilt die energieerhaltung

[ralfkannenberg]

in the town, where I was born
lived a man who sailed to see

Hallo submarine, darf ich Deinen Eintrag auch ins astroforum kopieren ? Da habe ich mal vor Unzeiten zu diesem Thema einen Thread eröffnet. Ich würde gerne den Wortlaut kopieren, da sich links manchmal verschieben und dann nicht mehr aufrufbar sind.

Freundliche Grüsse, Ralf

[submarine]

ja, allerdings ist das so nicht ganz korrek - ich habe bei den umformungen einige summen weggelassen (bringen keine neue erkenntnis, machen das ganze aber mathematisch korrekter ...) weil es sonst ohne latex einfach zu unübersichtlich wird....


ansonsten go ahead

[ralfkannenberg]

Danke

[Annett Winter]

[submarine]

in geschwindigkeitsabhängigen potentialen gilt der ees nicht - diese kannst du zum beispiel in der elektrydynamik erhalten wenn du irgendwelche geladenen teilchen in feldern betrachtest (wohlgemerkt gilt der ees dann zwar für das betrachtete system (geladenes teilchen) nicht, aber insgesamt natürlich schon)

genau, ist die hamiltonfunktion zeitunabhängig, dann bleibt die energie zeitlich konstant, also erhalten. mit dem gleichsetzen von hamiltonfunktion und energie des systems sollte man imho vorsichtiger sein, weil dies eben nur gilt, wenn man die beiden oben erwähnten annahmen macht. das ist zwar sehr häufig der fall, aber insbesondere wenn man mit geschwindigkeitsabhängigen potentialen arbeitet geht das so eben nicht mehr

f(x) homogen in x von grad 2 heisst:
wenn ich f nach x ableite und anschliessend mit x multipliziere erhalte ich 2 f

(leite kinetische energie 1/2m v^2 nach v ab und multipliziere mit v -> m v^2 = 2 T_kin

[Karl]

Hallo submarine,

ich habe einige Anmerkungen und Fragen zu deinem Posting:

1. Am Beginn deines Postings bezeichnest du die potenzielle Energie mit V am Ende des Postings mit U.
   
   
2. Mit der generalisierte Geschwindigkeit "q_punkt" ist wohl der Betrag |q_punkt| gemeint?
   
   
3. Wenn eine Funktion f(x) homogen vom Grad 2 in x ist, dann ist die allgemeinste mögliche Funktion f(x)=a x², a eine beliebige relle Zahl?
   [/list:AQKHOX]
   
   Liebe Grüße,
   
   Karl
   _________________
   „Wo ist meine kleine gelbe Chinalackdose?“ Der ganz normale Wahnsinn

[submarine]

1. sorry da habe ich bim schreiben nicht genau aufgepasst, aber beide bezeichnungen sind in der fachwelt recht häufig - gemeint ist natürlich dasselbe

2. nein, generalisierte koordinaten sind keine vektoren im anschaungsraum - ein beispiel:

wir betrachten ein pendel im homogenen gravitationsfeld, das an einem Punkt P1 = (x1, y1, z1) aufgehängt ist. die seillänge sei d. die punktförmige masse befinde sich bei P2 = (x2, y2, z2)

P1 und P2 sind also zwei vektoren im R^3; durch die aufhängung ergibt sich aber eine einschränkung der bewegungsfreiheit (das seil belibt ja gespannt)
es gilt also die zwangsbedingung

f(x1, y1, z1, x2, y2, z2) = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2 - d = 0

wir haben also 6 freiheitsgrade (die drei koordinaten von P1 und P2) aber auch 4 zwangbedingung (3 durch den festen aufhängepunkt + eine durch die kosnatnte seillänge

diese zwangsbedingung schränken die tatsächliche anzahl der freiheitsgrade auf 6 - 4 = 2 ein, wir können das problem also bereits mit 2 unabhängigen koordinaten beschreiben

die wahl dieser beiden generalisierten orte ist prinzipiell beliebig, hier bieten sich aber zwei winkel, die die auslenkung aus der ruhelage beschreiben, an. die ableitung dieser beiden koordinaten nach der zeit bezeichnet man als generalisierte geschwindigkeit

ich hoffe der unterschied zu "herkömmlichen" vektoriellen geschwindigkeiten ist klarer geworden


3. f(x) = a x^2 + b könnte sein, aber wie das bei funktionen mit mehreren variablen aussieht kann ich dir spontan nicht sagen - jedenfalls erfüllt die kinetische enrgie diese bedingungen - das ist wichtig