RT-Diskussion aus dem Zoo-Sequel

[Jack]

[garfield335]

[Erik]

[Ich]

Es gibt dazu zwei Konventionen:
Die erste, nach wie vor (vor allem im Einsteigerbereich) übliche bezieht sich auf Koordinatensystem: SRT wird definiert durch den Gebrauch von Inertialsystemen, in denen die Koordinaten mittels Standardprozedur ziemlich direkt physikalischen Größen zugeordnet werden. (Metrik -1,1,1,1 konstant). Beschleunigte Bewegungen können natürlich auch beschrieben werden, beschleunigte Koordinatensysteme gehören aber nicht dazu.
Davon spricht Ralf, und auch die meisten, die auf einen Unterschied SRT/ART hinweisen, z.B. im Zwillingsparadox.
In der Wissenschaft selbst setzt sich aber mehr die zweite Definition durch, die natürlich auch Erik als alter Weißblattmaler verwendet, dass die SRT flache Raumzeiten behandelt, allerdings in beliebigen KS oder auch ganz ohne solche. Der mathematische Formalismus, der für die ART entwickelt wurde (z.B. beliebige Koordinaten ohne direkt einsichtige physikalische Bedeutung), wird hier durchaus in der SRT verwendet.

[Erik]

[Ich]

[Erik]

[zeitgenosse]

Koordinaten kann man im Prinzip beliebige verwenden. Ob es im konkreten Anwendungsfall nützlich ist, ist eine andere Frage. Hier soll man zweckdienliche Koordinaten einführen.

In der Euklidischen Geometrie sind geradlinige bzw. affine Koordinaten in der Regel von Vorteil. In vielen Fällen eignen sich sogar einfachste Kartesische Koordinaten. Aber es gibt bekanntlich Ausnahmen, wenn z.B. Zylinderkoordinaten oder Polarkoordinaten sich in der Elektrotechnik zur Beschreibung eines Sachverhaltes empfehlen. Und auf einer Kugeloberfläche benutzt man lieber Kugelkoordinaten oder dann - äuserst pragmatisch - Gradnetze.

Die eigentlichen "krummlinigen Koordinaten" der ART sind Gaußsche Koordinaten. Es ist dazu anzumerken, dass diese ihrer Natur nach zur Flächentheorie gehören. Diese befasst sich mit Flächen, deren Krümmung nicht vom umgebenden Raum abhängig ist (siehe das "theorema egregium" von Gauß):

http://mathworld.wolfram.com/GausssTheoremaEgregium.html

In der modernen Fassung der Differentialgeometrie sagt man dem aber vermutlich anders. Im Riemannschen Kontinuum, wo die kovariante Ableitung bestimmend ist, sind krummlinige Koordinaten ihrer Natur nach jedenfalls heimisch. Dass auch in der ART krummlinige Koordinaten Verwendung finden, ist lediglich eine Folge der Erweiterung der Gaußschen Flächentheorie auf beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Historisch gesehen ist es jedenfalls so und aus pragmatischer Hinsicht ist es bestimmt von Vorteil.

Literatur zur elementaren Differentialgeometrie, die ich im Kontext als nützlich betrachte:

- 'Differentialgeometrie von Kurven und Flächen' von do Carmo
- 'Vektoren, Tensoren, Spinoren' von Kästner

Um den Faden nicht zu verlieren, könnte man sagen, dass sich die ART einer pseudo-riemannschen Geometrie mit Riemannscher Metrik bedient, wo Krümmung insbesondere durch Massen bestimmt wird.

Einstein selbst äusserte sich zur vollendeten Theorie der Gravitation wie folgt:

Dem Zauber dieser Theorie wird sich niemand entziehen können, der sie wirklich erfasst hat; sie bedeutet einen wahren Triumph der durch Gauss, Riemann, Ricci und Levi-Civita begründeten Methode des allgemeinen Differentialkalküls.

Solches geht natürlich weit über Minkowski hinaus. Und es ist erstaunlich, dass Einstein, der einer der weniger guten Schüler von Minkowski war, die Feldgleichungen der Gravitation unabhängig von Hilbert fand. Man könnte deshalb auch sagen, dass in der SRT der Vierervektor-Formalismus (Minkowski) dominiert, in der ART hingegen der Tensorkalkül (Ricci). Einsteins Gravitationstheorie bildet somit einen Endpunkt in der Entwicklung einer empirischen Wissenschaft (Geometrie), die von Euklid über Galilei, Newton, Gauß und Riemann zu Ricci, Levi-Civita und Hilbert führte.

Im Grenzfalle verschwindender Massen geht diese Geometrie in eine pseudo-euklidische über, die auch als Minkowski-Geometrie bekannt ist. Weil der Energie-Impuls-Tensor dort verschwindet, gibt es in der Minkowski-Welt der SRT keine Krümmung, sie ist völlig flach. Das bedeutet nicht a priori, dass es in der SRT keine Beschleunigung gäbe. Eine solche steht aber nicht im Zentrum der Kernthesen der SRT.

Gr. zg

[pauli]

[El Cattivo]

[Erik]

[Erik]

[zeitgenosse]

[Erik]

[pauli]

Hi Erik