SRT-Einfuehrung Teil II

[Optimist71]

Hallo Alpha Centauri,

auf Anregung von as_string mache ich zum Thema Vierervektoren einen eigenen Thread auf. Ich versuche mich also mal an einer Zusammenfassung zu diesem Thema. Ziel des Beitrages ist, darzulegen, wie in der Minkowski-Metrik gewisse physikalische Groessen (Raum+Zeit, Impuls+Energie) in einem festen Zusammenhang stehen und weder isoliert voneinander gesehen und behandelt werden duerfen, noch diese Groessen Invarianten sein koennen. Eine besonders elegante Darstellung dieser Groessen erfolgt durch Vierervektoren.

Hinweise auf evt. Fehler sind ausdruecklich erwuenscht!

1. Vorarbeit: Elektrodynamik und der F-Tensor
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a) Magnetisches Feld H als Tensor
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Grundlage der Herleitung sollen die Maxwellschen Gleichungen sein, die ja auch Grundlage fuer die Wellengleichung sind (Ausbreitung von elektromagnetischen Transversalwellen im Raum), die selbst wiederum Grundlage fuer das zweite Postulat der SRT - Konstanz und Unabhaengigkeit von c vom gewaehlten Inertialsystem - bildet.

Die Maxwell-Gleichungen lauten in SI-Einheiten:

$(1)\quad\quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $

$(2)\quad\quad \nabla \cdot \mathbf{H} = 0 $

$(3)\quad\quad \nabla \times \mathbf{E} = - \mu_0 \cdot \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} $

$(4)\quad\quad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \epsilon_0 \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $

Bedeutung von (1): Die Ladung (mit Ladungsdichte ρ) ist die Quelle des elektrischen Feldes E
Bedeutung von (2): Das magnetische Feld H ist quellenfrei
Bedeutung von (3): ein zeitlich veraenderliches Magnetfeld H erzeugt ein elektrisches (Wirbel-)feld E
Bedeutung von (4): Ein Strom (mit Stromdichte j) oder ein zeitlich veraenderliches elektrisches Feld E erzeugen ein magnetisches (Wirbel-)Feld H

μ0 : Permeabilitaetskonstante (Naturkonstante)
ε0: Dielektrizitaetskonstante (Naturkonstante)

Jetzt muss man zunaechst wissen, dass man diese Gleichungen auch anders schreiben kann. Im cgs-System z.B. ist eine wesentlich symmetrischere und damit elegantere Darstellung ueblich. Die Definitionen der E- und H-Felder ist dadurch veraendert worden, was aber zulaessig ist solange die Definitionen der Energiedichte der Felder sowie der elektrischen und der magnetischen Kraft unveraendert bleiben.
Ab sofort verwende ich hier also die cgs-Darstellung fuer die magnetische und elektrische Feldstaerke!

Mit
$c^{2}=\frac{1}{\epsilon_{0} \mu_{0}}$
gilt:

$(5)\quad\quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho $

$(6)\quad\quad \nabla \cdot \mathbf{H} = 0 $

$(7)\quad\quad \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} $

$(8)\quad\quad \nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \cdot \mathbf{j} + \frac{1}{c} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $

Diese Gleichungen lauten etwas ausfuehrlicher geschrieben

$(5')\quad\quad\frac{\partial E_1}{\partial x_1} + \frac{\partial E_2}{\partial x_2} + \frac{\partial E_3}{\partial x_3} = \rho $

$(6')\quad\quad\frac{\partial H_1}{\partial x_1} + \frac{\partial H_2}{\partial x_2} + \frac{\partial H_3}{\partial x_3} = 0 $

$(7a')\quad\quad\frac{\partial E_3}{\partial x_2} - \frac{\partial E_2}{\partial x_3} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{\partial H_1}{\partial t}$

$(7b')\quad\quad\frac{\partial E_1}{\partial x_3} - \frac{\partial E_3}{\partial x_1} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{\partial H_2}{\partial t}$

$(7c')\quad\quad\frac{\partial E_2}{\partial x_1} - \frac{\partial E_1}{\partial x_2} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{\partial H_3}{\partial t}$

$(8a')\quad\quad\frac{\partial H_3}{\partial x_2} - \frac{\partial H_2}{\partial x_3} = \frac{1}{c} \cdot j_1 + \frac{1}{c} \cdot \frac{\partial E_1}{\partial t}$

$(8b')\quad\quad\frac{\partial H_1}{\partial x_3} - \frac{\partial H_3}{\partial x_1} = \frac{1}{c} \cdot j_2 + \frac{1}{c} \cdot \frac{\partial E_2}{\partial t}$

$(8c')\quad\quad\frac{\partial H_2}{\partial x_1} - \frac{\partial H_1}{\partial x_2} = \frac{1}{c} \cdot j_3 + \frac{1}{c} \cdot \frac{\partial E_3}{\partial t}$

Mit Hilfe der Grundlagen der Tensorrechnung kann man jetzt argumentieren, dass, wenn rho ein Skalar ist und j und E Vektoren sind, H eigentlich ein Tensor zweiter Stufe sein muss, z.B. mit Hilfe des Gleichungssatzes (8').
Denn ein Vektor (Tensor erster Stufe) abgeleitet nach einer der anderen Koordinaten ergibt einen Tensor zweiter Stufe (Vorgang der Erweiterung).

Deshalb wird folgende Umbenennung vereinbart:

$ H_{23}:=H_{1} $
$ H_{31}:=H_{2} $
$ H_{12}:=H_{3} $

Mit Hilfe des Gleichungssatzes (7') kann man auch sehen, dass der H-Tensor antisymmetrisch sein muss:

$ H_{32}=-H_{23}=-H_{1} $
$ H_{13}=-H_{31}=-H_{2} $
$ H_{21}=-H_{12}=-H_{3} $

Die Elemente der Hauptdiagonalen H11, H22 und H23 sind Null. Die Gleichungen (6) und (8) kann man also auch so schreiben (mit m,n,l = Indizes von 1 bis 3):

$(6c'')\quad\quad\frac{\partial H_{mn}}{\partial x_l} + \frac{\partial H_{nl}}{\partial x_m} + \frac{\partial H_{lm}}{\partial x_n} = 0$

$(8c'')\quad\quad\sum_{n=1}^3 \frac{\partial H_{mn}}{\partial x_n} = \frac{1}{c} \cdot j_m + \frac{1}{c} \cdot \frac{\partial E_m}{\partial t}$

b) Minkowski-Raum und F-Tensor
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In Anlehnung an die oben besprochenen Minkowskidiagramme kann man den Abstand zweier Punkte im 3D-Raum, die ich mit einem Lichtsignal verbinde, so darstellen:

$dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} = c^{2} dt^{2} $

bzw.

$(9)\quad\quad dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} - c^{2} dt^{2} = 0 $

Linke Seite: Pythagoras / Komponentendarstellung der Strecke, rechte Seite: Lichtgeschwindigkeit mal Zeitintervall, die der Lichtstrahl benoetigt, vom einen zum anderen Raumpunkt zu gelangen.
Fuer langsamere Signale gilt natuerlich

$(10)\quad\quad dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} - c^{2} dt^{2} < 0 $

Fuer "raumartig getrennte" Punkte, die nicht mit einem Lichtstrahl verbunden werden koennen, gilt entsprechend

$(11)\quad\quad dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} - c^{2} dt^{2} > 0 $

Mit der Einfuehrung einer vierten, imaginaeren Raumkoordinate

$x_{4} = i \cdot ct $

kann man schreiben

$(12)\quad\quad dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} + dx_{4}^{2} = ds^{2} $

ds² ist der Abstand zweier Ereignisse (Raum-Zeit-Punkte im Minkowskidiagramm) und damit eine Invariante.

Diese Geometrie kann auf die Elektrodynamik uebertragen werden, indem man einen (antisymmetrischen) F-Tensor und einen J-Vektor folgendermassen definiert:

$(13)\quad\quad\left( \begin{array}{cccc}F_{11} & F_{12} & F_{13} & F_{14} \\ F_{21} & F_{22} & F_{23} & F_{24} \\ F_{31} & F_{32} & F_{33} & F_{34} \\ F_{41} & F_{42} & F_{43} & F_{44} \end{array} \right)$$= \left( \begin{array}{cccc}0 & H_{12} & -H_{31} & -i \cdot E_{1} \\ -H_{12} & 0 & H_{23} & -i \cdot E_{2} \\ H_{31} & -H_{23} & 0 & -i \cdot E_{3} \\ i \cdot E_{1} & i \cdot E_{2} & i \cdot E_{3} & 0 \end{array}\right)$


$(14)\quad\quad J_{1} = \frac{1}{c} \cdot j_{1}$ , $J_{2} = \frac{1}{c} \cdot j_{2}$ , $J_3 = \frac{1}{c} \cdot j_{3}$ , $J_4 = -i \cdot \rho$

Damit lassen sich die Maxwellgleichungen ziemlich kompakt schreiben (mit m, l, n = Indizes 1 bis 4):

$(15)\quad\quad \frac{\partial F_{mn}}{\partial x_l} + \frac{\partial F_{nl}}{\partial x_m} + \frac{\partial F_{lm}}{\partial x_n} = 0$

(equivalent zu (2) und (3))

$(16)\quad\quad \sum_{n=1}^{4} \frac{\partial F_{mn}}{\partial x_n} = J_m$

(equivalent zu (1) und (4))

Die Darstellung im Minkowskiraum ermoeglicht also eine elegante Vereinigung des elektrischen und magnetischen Feldes zum elektromagnetischen F-Tensor.

Fortsetzung folgt ...
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"Det er meget nedslående å leve i en tid da det er lettere å sprenge et atom enn en fordom."
A. Einstein

[Optimist71]

Fortsetzung ...

2. Vierervektoren
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Mit der oben geleisteten Vorarbeit koennen wir uns jetzt einem konkreten Beispiel in der Physik zuwenden, und zwar der Lorentzkraft F auf bewegte Ladungen.
Fuer die Kraft pro Volumeneinheit k= dF/dV kann man schreiben:

$(17)\quad\quad\mathbf{k} = \rho \cdot \mathbf{E} + \mathbf{j} \times \mathbf{H}$

also in Komponentenschreibweise

$(17')\quad\quad k_m = \rho \cdot E_m + j_n \cdot H_l - j_l \cdot H_n$

(mit m, n, l = 1 ... 3)

Mit Hilfe des F-Tensors und des J-Vektors kann man (17) umschreiben:

$(18)\quad\quad K_m = \sum_{n=1}^{4} F_{mn} \cdot J_n$

Die m, n repraesentieren hier wieder die Indizes 1 ... 4.

Aus (18) wird ersichtlich, dass es sich bei den $K_m$ offensichtlich um einen Vektor mit vier Komponenten handelt. Die ersten drei Komponenten entsprechen den drei gewoehnlichen Komponenten der Lorentzkraft pro Volumen, waehrend die vierte Komponente eine Leistung pro Volumen repraesentiert (EDIT 31.01.2008: ergo eine Leistungsdichte).

Wir haben bis jetzt also zwei Vierervektoren kennengelernt:
- $\mathbf{x}$ mit den Komponenten $x_1$, $x_2$, $x_3$ und $x_4 = i \cdot ct$
- $\mathbf{K}$ mit den Komponenten $K_1 = k_1$, $K_2 = k_2$, $K_3 = k_3$ und $K_4 = - \frac{i}{c} \cdot(E_1 \cdot j_1 + E_2 \cdot j_2 + E_3 \cdot j_3)$

Ein weiterer, wichtiger Vierervektor ist der Impuls-Energie-Vektor, den man durch Integration des $\mathbf{K}$ Vektors ueber das Volumen $dx_1 dx_2 dx_3$ und die Lichtzeit $dl = c \cdot dt$ erhaelt:

$(19)\quad\quad\int K_1 dx_1 dx_2 dx_3 dl = c \cdot I_1$
$(20)\quad\quad\int K_2 dx_1 dx_2 dx_3 dl = c \cdot I_2$
$(21)\quad\quad\int K_3 dx_1 dx_2 dx_3 dl = c \cdot I_3$
$(22)\quad\quad\int K_4 dx_1 dx_2 dx_3 dl = c \cdot (-\frac{i}{c}) E$

Diesen "Viererimpuls" kann man mit Hilfe der Minkowski-Metrik (12) ebenfalls herleiten:

$(23)\quad\quad -ds^{2} = d\tau^{2} = -(dx_1^{2} + dx_2^{2} + dx_3^{2}) - dx_4^{2} = dl^{2}(1 - q^{2})$

mit $l = ct$ und $q^{2} = \sum_{n} \frac{dx_n^{2}}{dl^{2}}$.

Im Ruhesystem eines Koerpers gilt folglich $d\tau = dl$.

Einen allgemeinen Vierervektor der Geschwindigkeit erhaelt man durch die Bildung von $u_n = \frac{dx_n}{d\tau}$, oder ausfuehrlich:

$(24)\quad\quad u_1 = \frac{dx_1}{d\tau} = \frac{\frac{dx_1}{dl}}{\sqrt{1 - q^2}} = \frac{q_1}{\sqrt{1 - q^2}}$
$(25)\quad\quad u_2 = \frac{dx_2}{d\tau} = \frac{\frac{dx_2}{dl}}{\sqrt{1 - q^2}} = \frac{q_2}{\sqrt{1 - q^2}}$
$(26)\quad\quad u_3 = \frac{dx_3}{d\tau} = \frac{\frac{dx_3}{dl}}{\sqrt{1 - q^2}} = \frac{q_3}{\sqrt{1 - q^2}}$
$(27)\quad\quad u_4 = \frac{dx_4}{d\tau} = \frac{i}{\sqrt{1 - q^2}}}$

Ganz analog zur klassischen Mechanik kann man jetzt den Viererimpulsvektor durch Multiplikation der Masse mit dem Vierergeschwindigkeitsvektor bilden:

$(28)\quad\quad\frac{I_1}{c} = m \cdot u_1 = m \cdot \frac{q_1}{\sqrt{1 - q^2}}$
$(29)\quad\quad\frac{I_2}{c} = m \cdot u_2 = m \cdot \frac{q_2}{\sqrt{1 - q^2}}$
$(30)\quad\quad\frac{I_3}{c} = m \cdot u_3 = m \cdot \frac{q_3}{\sqrt{1 - q^2}}$
$(31)\quad\quad -\frac{iE}{c^2} = m \cdot u_4 = m \cdot \frac{i}{\sqrt{1 - q^2}}$

Wenn man $q$ wieder ersetzt durch $\frac{v}{c}$, Gleichungen (28) - (30) nach den Impulsen $I_1$, $I_2$ bzw. $I_3$ und Gleichung (31) nach der Energie E aufloest, erhaelt man die bekannten Gleichungen der SRT fuer Energie und Impuls:

$(32)\quad\quad I_1 = \frac{m \cdot v_1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
$(33)\quad\quad I_2 = \frac{m \cdot v_2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
$(34)\quad\quad I_3 = \frac{m \cdot v_3}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
$(35)\quad\quad E = \frac{m \cdot c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Wobei Formel (35) fuer v = 0 (Ruheenergie) die wohl beruehmteste Formel der SRT darstellt.

Als letzten Schritt moechte ich noch zeigen, dass man den Kraft-Vierervektor auch noch anders schreiben kann. Aus (16) und (18) erhaelt man:

$(36)\quad\quad K_m = \sum_{n} F_{mn} \cdot J_n = \sum_{n} (F_{mn} \cdot \sum_{l} \frac{\partial F_{nl}}{\partial x_l}) = \sum_{n} \frac{\partial T_{mn}}{\partial x_n}$

Dabei wird $T_{mn}$ als Impuls-Energie-Tensor bezeichnet. Der Tensor ist symmetrisch ($T_{mn} = T_{nm}$). Dieser Tensor ist hier speziell fuer den Fall der Elektrodynamik hergeleitet worden, nicht jedoch auf diesen beschraenkt.
Die Tensorelemente haben folgende Bedeutung:

$T_{11}$, $T_{22}$, $T_{33}$: Stresse/Spannungen, radiale Komponenten (Druck)
$T_{12}$, $T_{13}$, $T_{21}$, $T_{23}$, $T_{31}$, $T_{32}$: Stresse/Spannungen, tangentiale Komponenten (etwa: Viskositaet)
$T_{14}$, $T_{24}$, $T_{34}$ bzw. $T_{41}$, $T_{42}$, $T_{43}$: Impulse pro Volumeneinheit in $x_1$, $x_2$ und $x_3$ Richtung
$T_{44}$: Energiedichte

Fazit: Durch die SRT werden Raum und Zeit sowie Masse, Impuls und Energie in einen festen Zusammenhang gebracht. Raum und Zeit sowie Impuls und Energie werden als Vierervektoren formuliert, die Komponenten dieser Vektoren sind damit keine Invarianten bei Wechsel des Inertialsystems (im Gegensatz etwa zur Galilei-Transformation). Masse, Impuls und Energie stehen zudem durch (32) - (35) in einem festen Zusammenhang. Insbesondere kann Masse als Ruheenergie eines Koerpers aufgefasst werden.
Die Invariante der Lorentztransformation ist dagegen der Abstand $ds$ zwischen zwei Raum-Zeit-Punkten (Ereignissen), der im Minkowskidiagramm abgelesen werden kann.

So, jetzt hoffe ich erstmal auf Rueckmeldungen.

Ærbødigst
-- Optimist
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A. Einstein

[Ich]

Hi,

das ist eher was für Fortgeschrittene, glaub ich. Man kriegt's hier leider auch nicht wirklich formatiert, dann sieht's noch schwieriger aus als es eh schon ist.
Aber Respekt, hast du das schon früher mal vorbereitet?
Warum nimmmst du nicht Index 0 für die Zeit? Und den metrischen Tensor statt i? Die beiden Schreibweisen findet man schon gar nicht mehr.

[Optimist71]

Hallo Ich,

ich verwende die Schreibweise, die Einstein selbst verwendet hat (z.B. in seinem Buch "The Meaning of Relativity", ca. 1920). Mir ist klar, dass diese Schreibweisen heute eigentlich nicht mehr ueblich sind, aber ich hab mich nun mal bereits daran gewoehnt. Allerdings hat auch Einstein selbst die Definition der Invarianten zu ds² = -dx1² -dx2² -dx3² +dx4² geaendert, gerade deshalb, damit im Ruhesystem die Invariante ds² gerade der Eigenzeit entspricht.

Diese Vorzeichenumkehr hat Einstein in der ART eingefuehrt, soweit mir bekannt. Spaeter ist dann x4 in x0 umbenannt worden.

Ærbødigst
-- Optimist
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A. Einstein

[as_string]

Hallo Optimist71!

Ich schaue mir gerade Deinen kleinen Kurs im Rahmen meiner Prüfungsvorbereitung an. Erstmal: Vielen Dank dafür!

Bei den Maxwell-Gleichungen im cgs-System (Gl. 5 bis 8 ) habe ich allerdings in meinem Buch einen kleinen Unterschied: Da steht bei Gl. 5 vor der Ladungsdichte rho nocht ein Faktor 4·pi, genau so vor der Stromdichte j in Gleichung 8. Ist zwar nicht wirklich wichtig, aber ich meine, dass diese Faktoren da hin müssten, oder?

Gruß
Marco

[Erik]

[as_string]

Ich dachte, cgs und Gauß sei das gleiche?

Ich schau mir das mal genauer an. Das mit Einheiten-System habe ich noch nie so richtig verstanden, muss ich sagen. Ich glaube zwar eher nicht, dass in einer Diplomprüfung so was wirklich gefragt wird, aber man sollte schon fähig sein, irgendwelche Werte zuverlässig vom einen System ins andere umzurechnen. Ich komme da immer massiv ins schwimmen.

Gruß
Marco

[Erik]

Hm, ich werd da auch immer etwas konfus. cgs bedeutet doch nur cm, gramm, sekunde. Da müßten doch dieselben Konstanten vorkommen, wie im SI, oder?

[Optimist71]

Hallo Marco!

Es gibt mehrere alternative Beschreibungen der Maxwell-Gleichungen im cgs-System, bzw. man unterscheidet zwischen verschiedenen cgs-Systemen in Verbindung mit der Elektrodynamik. Der Unterschied liegt jeweils in der Defiition der Proportionalitaetskonstanten k1 (fuer die Definition der Coulombkraft), k2 (magnetische Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern) und k3 (Induktionsgesetz).

Die mir bekannten vier cgs Systeme werden als elektrostatisches, elektrodynamisches, Gauss'sches und Heaviside-Lorentz'sches cgs System bezeichnet. Eine gute Zusammenfassung habe ich hier (http://elektromagnetische_einheiten.know-library.net/) gefunden.

Demnach habe ich in meinem Beitrag die Heaviside-Lorentz Darstellung verwendet, waehrend die 4*pi in den Gausschen Darstellung auftauchen.

Ærbødigst
-- Optimist

P.S. Ich hoffe, dass ich demnaechst wieder Zeit finde, auch den Rest der Formeln in LaTeX zu konvertieren, um die Lesbarkeit zu erleichtern. Entschuldige, dass es so lange dauert, ich bin z.Z. eher selten online, da ich gerade ziemlich viel beruflich unterwegs bin ...
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[Optimist71]

Hallo Erik,

Du hast Recht, ich habe hier das Heaviside-Lorentz-System verwendet. Unter dem cgs System im engeren Sinne wird i.a. das Gauss'sche System verstanden, insofern ist es moeglicherweise etwas verwirrend, wenn ich Heaviside Lorentz (H.L.) Einheiten verwende und diese als cgs Einheiten bezeichne. Obwohl das H.L. System ebenfalls ein (spezielles) cgs System ist (http://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Lorentz-Einheitensystem).

Ærbødigst
-- Optimist
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A. Einstein

[Erik]

Stimmt natürlich, man kann ja eigentlich beide Einheitensysteme sowohl als spezielle cgs, als auch als
spezielle SI-Systeme ansehen. Es ändern sich ja nur die Einheiten für die Feldgrößen (und Ladungen?) , nicht
die für Masse, Länge und Zeit. Insofern hast Du schon recht, wenn Du es cgs-System nennst.
Die Verwirrung lag nur auf meiner Seite.

[as_string]

Oh je... So viele verschiedene Systeme, die man alle unter cgs nennt? Nee, die lerne ich nicht mehr alle für meine Prüfung. Da gibt es bestimmt wichtiger Dinge...

Aber trotzdem vielen Dank Euch beiden. Ich werde mir das mal später bei Gelegenheit reinziehen.

Gruß
Marco

[Optimist71]

Hallo AC,

nach einem halben Jahr hab ich es also doch noch geschafft, die ganzen Formeln in eine hoffentlich etwas besser lesbare Form zu konvertieren. Ich hoffe, irgendjemand findet diese Einfuehrung in den Formalismus der Vierervektoren nuetzlich, trotz der etwas veralteten Indizierung.

Ærbødigst
-- Optimist
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A. Einstein

[Karl]

[Ich]

Hi Optimist,

das sieht jetzt echt gut aus.
Ich kann mich aber nicht so ganz mit deiner Herleitung des Energie-Impuls-Vektors anfreunden. Diese Kraftintegrale sind ja nur die Änderungen desselben, wobei z.B. die Ruheenergie nie mit dabei ist. Schöner wär's vielleicht, mit dem Energie-Impuls-Vektor anzufangen und die Kraft dann als $dP^\mu/d\tau$ einzuführen. Ebenso dann die Vierergeschwindigkeit als $P^\mu/m$, weil's P immer gibt und U nur für massebehaftete Teilchen.
Du hast bei (23)ff noch für jedes $\tau$ das $c$ vergessen.
Seht ihr, jetzt hab ich's auch verwendet.